Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 6 - Dạng toán chứng minh chia hết, tài liệu bao gồm 2 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng của dạng toán chứng minh chia hết

Chuyên đề 6: Dạng toán chứng minh chia hết

1. Kiến thức vận dụng:

*Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

*Chữ số tận cùng của 2ⁿ, 3ⁿ,4ⁿ, 5ⁿ, 6ⁿ, 7ⁿ, 8ⁿ, 9ⁿ

* Tính chất chia hết của một tổng

2. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì:

3ⁿ⁺² – 2ⁿ⁺² +3ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 10

HD: ta có 3ⁿ⁺² – 2ⁿ⁺² +3ⁿ – 2ⁿ=3ⁿ⁺²+3ⁿ – 2ⁿ⁺² – 2ⁿ

=3ⁿ(3²+1) – 2ⁿ(2²+1)

=3ⁿ.10 – 2ⁿ.5 =3ⁿ.10 – 2^n-1.10

=10(3ⁿ – 2ⁿ)

Vậy \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n} \vdots 10\) với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

A= 75(4²⁰⁰⁴+4²⁰⁰³+…+4²+4+1)+25 là số chia hết cho 100

HD: A= 75.( 4²⁰⁰⁴+4²⁰⁰³+…+4²+4+1)+25=75(4²⁰⁰⁵ – 1)\( \vdots \)3+25

=25(4²⁰⁰⁵ – 1+1)=25.4²⁰⁰⁵ chia hết cho 100

Bài 3: Cho \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\)và p là số nguyên tố thỏa mãn: \(\frac{p}{{m - 1}} = \frac{{m + n}}{p}(1)\)

Chứng minh rằng: p²=n+2

HD: + Nếu m+n chia hết cho p\( \Rightarrow p \vdots (m - 1)\) do p là số nguyên tố và \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Rightarrow m = 2\)hoặc m=p+1 khi đó từ (1) ta có p²=n+2

+ Nếu m+n không chia hết cho p, từ (1) \( \Rightarrow \)(m+n)(m – 1)=p²

Do p là số nguyên tố và \(m,n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow m - 1 = {p^2}\)và m+n=1

\( \Leftrightarrow m = {p^2} + 1\)và n= - p²<0 (loại)

Vậy p²=n+2

Bài 4: a) Số A= 10¹⁹⁹⁸ – 4 có chia hết cho 3 không? Có chia hết cho 9 không?

b) Chứng minh rằng: A= 36³⁸+41³³ chia hết cho 7

HD: a) Ta có 10¹⁹⁸⁸=(9+1)¹⁹⁹⁸=9.k+1 (k là số tự nhiên khác không)

4= 3.1+1

Suy ra: A = 10¹⁹⁹⁸ – 4 =(9.k+1) – (3.1+1)=9k – 3 chia hết cho 2, không chia hết cho 9

b) Ta có 36³⁸=(36²)¹⁹=1296¹⁹=(7.185+1)¹⁹=7.k+1(\(k \in {\mathbb{N}^*}\))

41³³=(7.6 – 1)³³=7.q – 1(\(q \in {\mathbb{N}^*}\))

Suy ra A= 36³⁸+41³³=7k+1+7q – 1=7(k+q)\( \vdots \)7

Bài 5:

a) Chứng minh rằng:3ⁿ⁺² – 2ⁿ⁺⁴+3ⁿ+2ⁿ chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương

b) Chứng minh rằng: 2a – 5b+6c \( \vdots \)17 nếu a – 11b+3c \( \vdots \)17\((a,b,c \in \mathbb{Z})\)

Bài 6: a) Chứng minh rằng: \(3a + 2b \vdots 17 \Leftrightarrow 10a + b \vdots 17(a,b \in \mathbb{Z})\)

b) Cho đa thức f(x) = ax²+bx+c (a,b,c nguyên).

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD a) ta có 17a – 34b \( \vdots \)17 và 3a+2b\( \vdots \)17

\( \Rightarrow \)17a – 34b +3a+2b \( \vdots \)17\( \Leftrightarrow \)2(10a – 16b) \( \vdots \)17

\( \Leftrightarrow \)10a – 16b \( \vdots \)17 vì (2,7) =1

 \( \Leftrightarrow 10a + 17b - 16b \vdots 17 \Leftrightarrow 10a + b \vdots 17\)

b) Ta có f(0) =c do \(f(0) \vdots 3 \Rightarrow c \vdots 3\)

f(1) – f( -1) =(a+b+c) – (a – b+c) =2b, do f(1) và f( - 1) chia hết cho 3

\( \Rightarrow 2b \vdots 3 \Rightarrow b \vdots 3\)vì (2,3) =1

\(f(1) \vdots 3 \Rightarrow a + b + c \vdots 3\) do b và c chia hết cho 3\( \Rightarrow a \vdots 3\)

Vậy a, b, c đều chia hết cho 3

Bài 7: a) Chứng minh rằng \(\frac{{{{10}^{2006}} + 53}}{9}\)là số tự nhiên

b) Cho 2ⁿ+1 là số nguyên tố (n>2). Chứng minh 2ⁿ – 1 là hợp số

HD: b) ta có (2ⁿ+1)(2ⁿ – 1) =2²ⁿ – 1=4ⁿ – 1 (1). Do 4ⁿ – 1 chia hết cho 3 và 2ⁿ+1 là số nguyên tố (n>2) suy ra 2ⁿ – 1 chia hết cho 3 hay 2ⁿ – 1 là hợp số