Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 7 - Bất đẳng thức, tài liệu bao gồm 2 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng bất đẳng thức

Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

1. Kiến thức vận dụng

* Kỹ thuật làm trội: Nếu a₁<a₂<a₃<…<a_n thì n a₁<a₁+a₂+…+a_n<na_n

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{n{a_n}}} < \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}} < \frac{1}{{n{a_1}}}\)

*a(a – 1)<a²<a(a+1)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a(a + 1)}} < \frac{1}{{{a^2}}} < \frac{1}{{a(a - 1)}}\)

*a²+2.ab+b²=(a+b)²\( \ge \)0,*a² – 2.ab+b²=(a – b)²\( \ge \)0 với mọi a, b

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho a, b, c >0. Chứng tỏ rằng: \(M = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\)không là số nguyên

HD: Ta có

\(\begin{array}{l}M = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\\ > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow M > 1\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}M = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\\ = \frac{{(a + b) - b}}{{a + b}} + \frac{{(b + c) - c}}{{b + c}} + \frac{{(c + a) - a}}{{c + a}}\end{array}\)

\(3 - (\frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + c}}) = 3 - N\)Do N>1 nên M<2

Vậy 1<M<2 nên M không là số nguyên

Bài 2: Chứng minh rằng:\(a + b \ge 2\sqrt {ab} (1),a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}(2)\)với \(a,b,c \ge 0\)

HD:\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0(*)\end{array}\)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3: Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

a)\((a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4(1)\)

b)\((a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9(2)\)

HD: a) Cách 1: Từ \((a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4 \Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab\)

\( \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0(*)\)

Do (*) đúng suy ra (1) đúng

Cách 2: Ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\)

\( \Rightarrow (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 2\sqrt {ab} .\frac{2}{{\sqrt {ab} }} = 4\)

Dấu “=” xẩy ra khi a=b

b) Ta có

\(\begin{array}{l}(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})\\ = 3 + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{a + c}}{b} + \frac{{a + b}}{c}\\ = 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{a}{c} + \frac{c}{a})\end{array}\)

Lại có \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2;\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2;\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\)

Suy ra \((a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)Dấu “=” xẩy ra khi a=b=c

Bài 4: a) Cho z,y,x là các số dương.

Chứng minh rằng \(\frac{x}{{2x + y + z}} + \frac{y}{{2y + z + x}} + \frac{z}{{2z + x + y}} \le \frac{3}{4}\)

b) Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng ab +bc+ ca\( \le \)0

HD: b) Tính (a +b +c )² từ cm được \(ab + bc + ca \le 0\)