Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 2 - Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tài liệu bao gồm 5 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Kiến thức vận dụng:

\( + )\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a.d = b.c\)

- Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a \pm c \pm e}}{{b \pm d \pm f}}\) với gt các tỉ số đều có nghĩa

- Có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k\)thì a=bk, c=dk, e=fk

2. Bài tập vận dụng

Dạng 1. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức

Bài 1: Cho \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{b}\)

HD: Từ \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\)suy ra c²=a.b

khi đó \(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + a.b}}{{{b^2} + a.b}} = \frac{{a(a + b)}}{{b(a + b)}} = \frac{a}{b}\\\end{array}\)

Bài 2: Cho a, b, c \( \in \mathbb{R}\) và a, b, c\( \ne \)0 thỏa mãn \({b^2} = ac.\)Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{c} = \frac{{{{(a + 2012b)}^2}}}{{{{(b + 2012c)}^2}}}\)

HD: Ta có (a+2012b)² = a² +2.2012.ab +2012².b²

= a² + 2.2012.ab +2012².ac

=a.(a+ 2.2012.b +2012².c)

(b+2012c)²= b² +2.2012.bc +2012².c²

=ac +2.2012.bc+2012².c²

=c(a+2.2012.b +2012².c)

Suy ra: \(\frac{a}{c} = \frac{{{{(a + 2012b)}^2}}}{{{{(b + 2012c)}^2}}}\)

Bài 3: Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)thì \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

HD: Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow \text{a=kb,c=kd.}$

Suy ra: \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{b(5k + 3)}}{{b(5k - 3)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}\)

và \(\frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}} = \frac{{d(5k + 3)}}{{d(5k - 3)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}\)

Vậy: \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

Bài 4: Biết \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\)với a, b, c, d \( \ne \)0. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)hoặc \(\frac{a}{b} = \frac{d}{c}\)

HD: Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\\ = \frac{{2ab}}{{2cd}} = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{c^2} + 2cd + {d^2}}}\\ = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{{{(c + d)}^2}}} = {(\frac{{a + b}}{{c + d}})^2}(1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\\ = \frac{{2ab}}{{2cd}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{c^2} - 2cd + {d^2}}}\\ = \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(c - d)}^2}}} = {(\frac{{a - b}}{{c - d}})^2}(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

 \(\begin{array}{l}{(\frac{{a + b}}{{c + d}})^2} = {(\frac{{a - b}}{{c - d}})^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{a - b}}{{c - d}}\\\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{b - a}}{{d - c}}\end{array} \right.\end{array}\)

Xét 2 TH đi đến đpcm

Bài 5: Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}.\) Chứng minh rằng:

\(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\)và \({(\frac{{a + b}}{{c + d}})^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}\)

HD: Xuất phát từ  \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)biến đổi theo các hướng làm xuất hiện\(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = {(\frac{{a + b}}{{c + d}})^2}\)

Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b}\\ = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}\end{array}\)

Tính \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\)

HD: Từ

  \(\begin{array}{l}\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b}\\ = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}\end{array}\)

Suy ra:

\[\begin{array}{l}\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} - 1\\ = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2d}}{d} - 1\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b}\\ = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\end{array}\]

Nếu a +b +c +d =0 \( \Rightarrow \)a+b = - (c+d); (b+c) = - (a+d)

\( \Rightarrow M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} =  - 4\)

Nếu \(a + b + c + d \ne 0 \Rightarrow a = b = c = d\)

\( \Rightarrow M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} =  - 4\)

Bài 7: a) Chứng minh rằng:

Nếu \(\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}}\)

thì  \(\frac{a}{{x + 2y + z}} = \frac{b}{{2x + y - z}} = \frac{c}{{4x - 4y + z}}\)

b) Cho \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\).

Chứng minh: \({(\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}})^3} = \frac{a}{d}\)

HD: a) Từ \[\begin{array}{l}\frac{x}{{a + 2b + c}} = \frac{y}{{2a + b - c}} = \frac{z}{{4a - 4b + c}}\\\end{array}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + 2b + c}}{x} = \frac{{2a + b - c}}{y} = \frac{{4a - 4b + c}}{z}\]

\( \Rightarrow \frac{{a + 2b + c}}{x} = \frac{{2(2a + b - c)}}{{2y}} = \frac{{4a - 4b + c}}{z} = \frac{a}{{x + 2y + z}}(1)\)

\(\frac{{2(1 + 2b + c)}}{{2x}} = \frac{{(2a + b - c)}}{y} = \frac{{4a - 4b + c}}{z} = \frac{b}{{2x + y + z}}(2)\)

\(\frac{{4(a + 2b + c)}}{{4x}} = \frac{{4(2a + b - c)}}{{4y}} = \frac{{4a - 4b + c}}{z} = \frac{c}{{4x - 4y + z}}(3)\)

Từ (1); (2) và (3) suy ra \(\frac{a}{{x + 2y + z}} = \frac{b}{{2x + y - z}} = \frac{c}{{4x - 4y + z}}\)

Bài 8: Cho \(\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\)

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

\(P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\)

HD: Từ

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\\ \Rightarrow \frac{{y + z + t}}{x} = \frac{{z + t + x}}{y} = \frac{{t + x + y}}{z} = \frac{{x + y + z}}{t}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{y + z + t}}{x} + 1 = \frac{{z + t + x}}{y} + 1 = \frac{{t + x + y}}{z} + 1 = \frac{{x + y + z}}{t} + 1\)

\( \Rightarrow \frac{{x + y + z + t}}{x} = \frac{{z + t + x + y}}{y} = \frac{{t + x + y + z}}{z} = \frac{{x + y + z + t}}{t}\)

Nếu x+y+z+t = 0 thì P = - 4

Nếu \(x + y + z + t \ne 0\)thì x=y=z=t \( \Rightarrow \)P=4

Bài 9: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\)

Hãy tính giá trị biểu thức: \(B = (1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x})\)

Bài 10: a) Cho các số a, b, c, d khác 0. Tính

T= x²⁰¹¹+y²⁰¹¹+z²⁰¹¹+t²⁰¹¹

Biết x, y, z, t thỏa mãn:

\(\frac{{{x^{2010}} + {y^{2010}} + {z^{2010}} + {t^{2010}}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}} = \frac{{{x^{2010}}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^{2010}}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^{2010}}}}{{{c^2}}} + \frac{{{t^{2010}}}}{{{d^2}}}\)

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:

M= a+b= c+d = e+f

Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N^* và \(\frac{a}{b} = \frac{{14}}{{22}};\frac{c}{d} = \frac{{11}}{{13}};\frac{e}{f} = \frac{{13}}{{17}}\)

b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: \(\frac{a}{{2009}} = \frac{b}{{2010}} = \frac{c}{{2011}}\).

Tính giá trị của biểu thức M= 4(a – b)(b – c) – (c – a)²

Một số bài tương tự

Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

\(\begin{array}{l}\frac{{2012a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2012b + c + d}}{b}\\ = \frac{{a + b + 2012c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2012d}}{d}\end{array}\)

Tính \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\)

Bài 12: Cho 3 số x, y, z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện:

\(\begin{array}{l}\frac{{y + z + t - nx}}{x} = \frac{{z + t + x - ny}}{y}\\ = \frac{{t + x + y - nz}}{z} = \frac{{x + y + z - nt}}{t}\end{array}\)( n là số tự nhiên)

Và x + y + z + t = 2012. Tính giá trị của biểu thức P = x+ 2y – 3z +t

Dạng 2: Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z, …

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết: \(\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}}\)

HD: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}} = \frac{{1 + 7y - 1 - 5y}}{{4x - 5x}}\\ = \frac{{2y}}{{ - x}} = \frac{{1 + 5y - 1 - 3y}}{{5x - 12}} = \frac{{2y}}{{5x - 12}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{2y}}{{ - x}} = \frac{{2y}}{{5x - 12}}\) với y=0 thay vào không thỏa mãn

Nếu y khác 0

\( \Rightarrow  - x = 5x - 12\)

\( \Rightarrow x = 2\)Thay x=2 vào trên ta được:

\(\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{2y}}{{ - 2}} =  - y \Rightarrow 1 + 3y =  - 12y \Rightarrow 1 =  - 15y \Rightarrow y = \frac{{ - 1}}{{15}}\)

Vậy x=2, \(y = \frac{{ - 1}}{{15}}\)thỏa mãn đề bài

Bài 3: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\) và a +b +c \( \ne 0\); a=2012. Tính b, c

HD: từ \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1 \Rightarrow a = b = c = 2012\)

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết:

\(\frac{{y + x + 1}}{x} = \frac{{x + z + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\)

HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\begin{array}{l}\frac{{y + x + 1}}{x} = \frac{{x + z + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{z}\\ = \frac{{2(x + y + z)}}{{(x + y + z)}} = 2 = \frac{1}{{x + y + z}}\end{array}\)( vì x+y+z \( \ne \)0)

Suy ra: x+y+z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z

Bài 5: Tìm x, y biết rằng\(\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}}\)

HD: Từ

\[\begin{array}{l}\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}} = \frac{{2(1 + 2y) - (1 + 4y)}}{{2.18 - 24}}\\ = \frac{{1 + 2y + 1 + 4y - (1 + 6y)}}{{18 + 24 - 6x}}\end{array}\]

Suy ra: \(\frac{1}{6} = \frac{1}{{6x}} \Rightarrow x = 1\)

Bài 6: Tìm x, y, z biết:

 \(\frac{x}{{z + y + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z(x,y,z \ne 0)\)

HD: Từ

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{z + y + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}}\\ = x + y + z = \frac{{x + y + z}}{{2(x + y + z)}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Từ

\(\begin{array}{l}x + y + z = \frac{1}{2} \Rightarrow x + y = \frac{1}{2} - z,\\y + z = \frac{1}{2} - x;z + x = \frac{1}{2} - y\end{array}\)

thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x.

Bài 7: Tìm x, y, z biết \(\frac{{3x}}{8} = \frac{{3y}}{{64}} = \frac{{3z}}{{216}}\)và 2x²+2y² – z²=1

Bài 8: Tìm x, y biết : \(\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{4y - 5}}{9} = \frac{{2x + 4y - 4}}{{7x}}\)                                   \[\]

                                                               \[\]

\(\)