- Đoạn đường BC dài \[\frac{{x - 4{\rm{0}}}}{x}\] (km); đoạn đường CD dài \[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{2}\](km)

- Thời gian ô tô đi trên đoạn BC là

 \[\frac{{x - 4{\rm{0}}}}{x}:5{\rm{0}}\] (h).

- Thời gian ô tô đi trên đoạn CD là

 \[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{2}:35\] (h).

1 giờ 24 phút = 1,4 giờ

Theo bài ra ta có phương trình:

 \[\frac{{x + 4{\rm{0}}}}{{7{\rm{0}}}} - \frac{{x - 4{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}} = 1,4{\rm{   }}\left( 1 \right)\]

- Giải phương trình:

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1{\rm{0}}x + 4{\rm{00}} - 7x + 28{\rm{0}} = 98{\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow 3x = 3{\rm{00}}\]

\[ \Leftrightarrow x = 1{\rm{00}}\]

Giá trị này phù hợp với điều kiện của ấn vậy:

Quãng đường BD dài 100 km và quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km).

Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy đi từ C đến D là x (giờ) thì thời gian ô tô đi từ B đến C là \[x - 1,4\](giờ). Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài \[\left( {x - 1,4} \right).5{\rm{0}}\]. Ta có phương trình  \[\left( {x - 1,4} \right).5{\rm{0}} = 35x - 4{\rm{0}}\]

Giải phương trình được x = 2 (bạn đọc tính tiếp).

Ví dụ 2. Trên quãng sông AB dài 48km, một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay trở lại và đỗ tại một địa điểm C ở chính giũa A và B. Thời gian ca nô cả xuôi và ngược dòng hết tất cả 3 giờ 30 phút. Tính vận tốc riông của ca nô biết rằng một bè nứa thả trôi trên sông đó 15 phút trôi được 1 km.

* Tìm cách giải: - Đây là bài toán chuyển động đều liên quan đến chuyến động xuôi, ngược dòng nước (hoặc xuôi gió, ngược gió). Nếu gọi vận tốc khi xuôi  là v_x; vận tốc khi ngược là v_n ; vận tốc riêng của động cơ là v_r và  là vận tốc của dòng  nước (hoặc giỏ) thì \[{v_x} = {v_r} + {v_{dn}};{v_n} = {v_r} - {v_{dn}}\] và\[{v_x} - {v_n} = 2{v_{dn}}\] .

Quãng sông ca nô xuôi là 48km và ngược là 48: 2 = 24km. Vận tốc bè nứa trôi chính là vận tốc dòng nước.

Chọn ẩn số x là vận tốc riêng của ca nô, ta tìm thời gian xuôi và ngược để lập phương trình.

Giải

15 phút = 0,25 giờ; 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ.

Vận tốc bè nứa trôi là 1: 0,25 = 4 (km/h) chính là vận tốc dòng nước.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h); x > 4. Thì vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 4 (km/h), vận tốc ca nô khi ngược dòng là x - 4 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng là \[\frac{{48}}{{x + 4}}\] (h) và ngược dòng là \[\frac{{24}}{{x - 4}}\] (h).

Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{24}}{{x - 4}} = 3,5{\rm{   }}\left( 1 \right)\]

* Giải phương trình (1): biến đổi thành:

\[48x - 192 + 24x + 96 = 3,5{x^2} - 56\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3,5{x^2} - 72x + 4{\rm{0}} = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} - 144x + 8{\rm{0}} = {\rm{0}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7{x^2} - 14x - 4x + 80 = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {7x - 4} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{0}}\\x = \frac{4}{7}\end{array} \right.\end{array}\]

Trong hai giá trị trên x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20km/h.

Ví dụ 3. Hai xưởng sản xuất cùng làm một sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ nhất làm trong 5 ngày nhiều hơn số sản phẩm xưởng thứ hai làm trong 6 ngày là 140 sản phẩm. Biết rằng năng suất lao động của xưởng thứ nhất hơn xưởng thứ hai là 65 sản phẩm/ngày. Tính năng suất lao động của mỗi xưởng.

*        Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động. Có ba đại lượng:

-       Khối lượng công việc: (K)

-       Thời gian hoàn thành công việc (t)

-       Năng suất lao động: (lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian) (N).

Quan hệ giữa các dại lượng như sau:

K = Nt; t = K : N và N = K: t.

Trong bài năng suất lao động mỗi xưởng là số sản phẩm mỗi xưởng làm trong một ngày, ta chọn ẩn X từ một trong hai năng suất lao động này. Khối lượng công việc của mỗi xưởng chính là số sản phẩm xưởng thứ nhất làm trong 5 ngày, xưởng thứ hai làm trong 6 ngày. Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc.

Giải

Gọi năng suất lao động của xưởng thứ nhất là x (sản phẩm /ngày); (\[x \in \mathbb{N}\]; x > 65) thì năng suất lao động của xưởng thứ hai là \[\left( {x - 65} \right)\] (sản phẩm/ngày). Trong năm ngày xưởng thứ nhất làm được 5x (sản phẩm), trong sáu ngày xưởng thứ hai làm được \[6\left( {x - 65} \right)\] (sản phẩm).

Theo bài ra ta có phương trình: \[x - 6\left( {x - 65} \right) = 14{\rm{0}}\].        (1)

Giải phương trình:

 (1) \[ \Leftrightarrow 5x - 6x + 39{\rm{0}} = 14{\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow x = 25{\rm{0}}\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy: Năng suất lao động của xưởng thứ nhất là 250 sản phẩm /ngày

Năng suất lao động của xưởng thứ hai là 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày).

Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn trong thời gian 4 giờ 48 phút thì bể đầy. Nếu vòi thử nhất chảy một mình trong 3 giờ, rồi vòi thứ hai chảy tiếp một mình trong 4 giờ nữa thì đầy được \[\frac{{17}}{{24}}\] bể. Hỏi nêu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể sẽ đầy?

*        Tìm cách giải.  - Đây là bài toán về công việc đồng thời (làm chung, làm riêng một công việc) - là một dạng đặc biệt của toán năng suất lao động. Khối lượng công việc ở đây không được cho dưới dạng số lượng cụ thể là bao nhiêu. Bởi vậy ta có thể quy ước công việc cần hoàn thành là 1. Tùy nội dung bài toán cụ thể mà ta quy ước một đại lượng nào đó làm đơn vị (1 bể nước, 1 con mương, 1 cánh đồng, 1 con đường, ...). Đơn vị của năng suất lao động sẽ là 1 công việc / 1 đơn vị thời gian. Năng suất lao động chung bằng tổng năng suất lao động riêng của từng cá thể.

- Ở bài toán trên, công việc cụ thể là 1 bể nước (lượng nước làm đầy 1 bể). Nếu một vòi chảy một mình sau a giờ đầy bể thì năng suất (lượng nước chảy trong 1 giờ) là  \[\frac{1}{a}\]bể/giờ. Nếu một vòi khác chảy một mình sau b giờ đầy bể thì năng suất là \[\frac{1}{b}\] bể/giờ. Năng suất chung là \[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\] (bể/giờ).

Giải

Hai vòi chảy chung trong 4 giờ 48 phút = \[\frac{{24}}{5}\] giờ đầy bể vậy 1 giờ hai vòi chảy chung được \[\frac{5}{{24}}\] bể nước. Gọi thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x giờ\[\left( {x > \frac{{24}}{5}} \right)\] , thì 1 giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{x}\] bể nước

Vòi thứ nhất chảy một mình 1 giờ được \[\left( {\frac{5}{{24}} - \frac{1}{x}} \right)\]bể nước.

Ta có phương trình

\[3\left( {\frac{5}{{24}} - \frac{1}{x}} \right) + \frac{4}{x} = \frac{{17}}{{24}}{\rm{    }}\left( 1 \right)\]

Giải phương trình:

(1) \[ \Leftrightarrow 15x - 72 + 96 = 17x \Leftrightarrow 2x = 24 \Leftrightarrow x = 12\].

Giá trị này phù họp với điều kiện của ẩn.

Vậy thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.

Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là

 \[1:\left( {\frac{5}{{24}} - \frac{1}{{12}}} \right) = 1:\frac{1}{8} = 8\] (giờ).

Ví dụ 5. Năm ngoái sô kg thóc thu hoạch của thửa ruộng thứ nhất bằng \[\frac{3}{4}\] số kg thóc thu hoạch của thửa thứ hai. Năm nay nhờ cải tiến kỹ thuật thửa thứ nhất thu hoạch tăng 20%; thửa thứ hai thu hoạch tăng 30% do đó cả hai thửa thu hoạch được 1320kg. Tìm số tạ thóc mỗi thửa thu hoạch trong năm nay.

* Tìm cách giải: Đây là dạng toán liên quan đến tỷ số và tỷ số %. Thu hoạch tăng a% tức là đã thu hoạch được (100 + a)%. Ta phải tìm số thóc mỗi thửa thu hoạch trong năm nay. Ẩn sổ ta nên chọn là số thóc thu hoạch của một trong hai thửa năm trước vì các đại lượng quan hệ: tỷ số giữa sổ thóc thu hoạch của hai thửa ruộng là của năm trước và tỷ số % tăng là so với năm trước.

Giải

Gọi số thóc thu hoạch năm ngoái của thửa thứ hai là x (kg) (x > 0)

Số thóc thu hoạch năm ngoái của thửa thứ nhất là \[\frac{3}{4}x\] (kg)

Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ hai là 130% x (kg)

Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất \[12{\rm{0\% }}.\frac{3}{4}x\] (kg)

Theo bài ra ta có phương trình:

\[12{\rm{0\% }}.\frac{3}{4}x + 13{\rm{0}}\% x = 132{\rm{0   }}\left( 1 \right)\]

Giải phương trình:

 \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{12{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}}.\frac{3}{4}.x + \frac{{13{\rm{0}}}}{{1{\rm{00}}}}x = 132{\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow 9x + 13x = 132{\rm{00}} \Leftrightarrow 22x = 132{\rm{00}} \Leftrightarrow x = 6{\rm{00}}\]

Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy số thóc thửa thứ hai thu hoạch trong năm nay là 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thửa thứ nhất thu hoạch trong năm nay là 1320 - 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ).

Chú ý: Ta có thể chọn x là số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất. Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{x.1{\rm{00}}}}{{12{\rm{0}}}} = \frac{3}{4}.\frac{{\left( {132{\rm{0}} - x} \right).1{\rm{00}}}}{{13{\rm{0}}}}\]

Giải được x = 540 (bạn đọc tự giải).