Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương trình – bất phương trình bậc cao và phân thức hữu tỉ, tài liệu bao gồm 111 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề phương trình – bất phương trình bậc cao và phân thức hữu tỉ

Chuyên đề phương trình và bất phương trình

Phương trình - bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ (phần 1)

II. Một số bài toán điển hình và kinh nghiệm thao tác

Bài toán 1. Giải phương trình \({x^4} - 3{x^2} + 2 = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Đặt \({x^2} = t(t \ge 0)\); phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}{t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow (t - 1)(t - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 1 = 0}\\{t - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Với \(t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow |x| = 1 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - 1\).

Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow |x| = \sqrt 2  \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - \sqrt 2 \).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \{  - \sqrt 2 ; - 1;1;\sqrt 2 \} \).

Nhận xét.

Bài toán trên là dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2 với ẩn số phụ, tính nghiệm và sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa về phương trình về dạng tích của hai phương trình bậc nhất, giải và kết luận nghiệm trở nên dễ dàng.

Bài toán 2. Giải phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Đặt \({x^2} = t(t \ge 0)\) ta được

\(\begin{array}{l}{t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3t - 6 = 0\\ \Leftrightarrow (t - 2)(t - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với \(t = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow |x| = \sqrt 2  \Leftrightarrow x \in \{ \sqrt 2 ; - \sqrt 2 \} \).

Với \(t = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow |x| = \sqrt 3  \Leftrightarrow x \in \{  - \sqrt 3 ;\sqrt 3 \} \).

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \(S = \{  - \sqrt 3 ; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ;\sqrt 3 \} \).

Bài toán 3. Giải phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\). Đặt \({x^2} = t(t \ge 0)\) ta thu được

\(\begin{array}{l}2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(2t - 1) = 0\\ \Leftrightarrow t \in \left\{ {\frac{1}{2};2} \right\}\end{array}\).

- Với \(t = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow |x| = \sqrt 2  \Leftrightarrow x \in \{ \sqrt 2 ; - \sqrt 2 \} \).

- \(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow |x| = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x \in \left\{ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.

Bài toán 4. Giải bất phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 4 \le 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\). Đặt \({x^2} = t(t \ge 0)\) ta thu được

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^2} - 5t + 4 \le 0}\\{t \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(t - 1)(t - 4) \le 0}\\{t \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow 1 \le t \le 4 \Leftrightarrow 1 \le |x| \le 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 2}\\{ - 2 \le x \le  - 1}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}} \right.\]

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(S = [ - 2; - 1] \cup [1;2]\).

Bài toán 5. Giải bất phương trình \({x^4} - 8{x^2} - 9 \ge 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Đặt \({x^2} = t(t \ge 0)\) ta thu được

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^2} - 8t - 9 \ge 0}\\{t \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(t + 1)(t - 9) \ge 0}\\{t \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow t \ge 9} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} \ge 9 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x \le  - 3}\end{array}} \right.\]

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \ge 3 \vee x \le  - 3\).

Bài toán 6. Giải bất phương trình \(\frac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{x - 2}} \ge 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \ne 2\).

Bất phương trình đã cho tương đương với

 \(\frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{x - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 = 0}\\{x > 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 1}\\{x > 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm như trên.

Bài toán 7. Giải phương trình \(\frac{{2{x^4} - 7{x^2} - 4}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Phương trình đã cho tương đương đương với

\(\begin{array}{l}2{x^4} - 7{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} + {x^2} - 8{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow x \in \{  - 2;2\} .\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm.

Bài toán 8. Giải phương trình \(\frac{{{x^4} - 15{x^2} - 16}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1;x \ne 4\).

Phương trình đã cho tương đương với \({x^4} - 15{x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x \in \{  - 4;4\} \).

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm \(x =  - 4\).

Bài toán 9. Giải phương trình \(\frac{{{x^4} - 6{x^2} + 5}}{{{x^4} - x + 1}} = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \({x^4} - {x^2} + 1 \ne 0\).

Phương trình đã cho trở thành

\[\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - {x^2} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 5}\end{array}} \right.\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x| = 1}\\{|x| = \sqrt 5 }\end{array} \Leftrightarrow x \in \{  - 1;1; - \sqrt 5 ;\sqrt 5 \} .} \right.\]

So sánh điều kiện, kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm.

Bài toán 10. Giải phương trình \(\frac{{3{x^4} - {x^2} - 2}}{{{x^5} - 2x + 3}} = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \({x^5} - 2x + 3 \ne 0\).

Phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}3{x^4} - {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} + 2{x^2} - 3{x^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x \in \{  - 1;1\} .\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm \(x =  - 1;x = 1\).

Bài toán 11. Giải phương trình \(\frac{{4{x^4} + 7{x^2} - 2}}{{2{x^7} - 3{x^2} + 1}} = 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(2{x^7} - 3{x^2} + 1 \ne 0\). Phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}4{x^4} + 7{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - {x^2} + 8{x^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {4{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}.\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).

Bài toán 12. Giải bất phương trình \(\frac{{{x^4} + 6{x^2} - 7}}{{{x^4} + 3{x^2} + 7}} \ge 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có \({x^4} + 3{x^2} + 7 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\({x^4} + 6{x^2} - 7 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \ge 1 \vee x \le  - 1\).

Bài toán 13. Giải bất phương trình \(\frac{{{x^4} + 5{x^2} - 6}}{{3{x^6} + {x^2} + 9}} \ge 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Nhận xét \(3{x^6} + {x^2} + 9 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Bất phương trình đã cho tương đương với

\({x^4} + 5{x^2} - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \ge 1 \vee x \le  - 1\).

Bài toán 14. Giải bất phương trình \(\frac{{{x^4} - 3{x^2} + 2}}{{3{x^2} + 1}} \le 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Bất phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}{x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {x^2} \le 2\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1 \vee x \le  - 1}\\{ - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \sqrt 2  \le x \le  - 1}\\{1 \le x \le \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(S = [ - \sqrt 2 ; - 1] \cup [1;\sqrt 2 ]\).

Bài toán 15. Giải bất phương trình \(\frac{{4{x^4} - 8{x^2} + 3}}{{{x^4} - x + 1}} \le 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Nhận xét

\({x^4} - x + 1 = \frac{1}{4}\left( {4{x^4} - 4x + 4} \right) = \frac{1}{4}\left[ {4{x^4} - 4{x^2} + 1 + 4{x^2} - 4x + 1 + 2} \right] = \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {2{x^2} - 1} \right)}^2} + {{(2x - 1)}^2} + 2} \right] > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Bất phương trình đã cho trở thành

\(\begin{array}{l}4{x^4} - 8{x^2} + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {2{x^2} - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {x^2} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \sqrt {\frac{3}{2}}  \le x \le  - \sqrt {\frac{1}{2}} }\\{\sqrt {\frac{1}{2}}  \le x \le \sqrt {\frac{3}{2}} }\end{array}} \right.\end{array}\)

Kết luận nghiệm \(S = \left[ { - \sqrt {\frac{3}{2}} ; - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right] \cup \left[ {\sqrt {\frac{1}{2}} ;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right]\).

Bài toán 16. Giải bất phương trình \(\frac{{2{x^4} - 9{x^2} + 7}}{{2{x^2} - x + 9}} \le 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Điều kiện \(x \in \mathbb{R}\).

Nhận xét \(2{x^2} - x + 9 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Bất phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}2{x^4} - 9{x^2} + 7 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2{x^2} - 7} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {x^2} \le \frac{7}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \sqrt {\frac{7}{2}}  \le x \le  - 1}\\{1 \le x \le \sqrt {\frac{7}{2}} }\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(S = \left[ { - \sqrt {\frac{7}{2}} ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\sqrt {\frac{7}{2}} } \right]\).

Bài toán 17. Giải bất phương trình \(\frac{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}{{{x^4} + {x^2} + 10}} \le 0\quad (x \in \mathbb{R})\).

Lời giải.

Nhận xét rằng \({x^4} + {x^2} + 10 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}{x^4} - 10{x^2} + 9 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {x^2} \le 9 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \ge 1}\\{{x^2} \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le  - 1}\\{ - 3 \le x \le 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 3}\\{ - 3 \le x \le  - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\end{array}\]

Kết luận bất phương trình đã cho có nghiệm \(S = [ - 3; - 1] \cup [1;3]\).

Bài tập tương tự.

Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực

1. \({x^4} - 6{x^2} + 5 = 0\).

2. \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 4{x^2} = 25\).

3. \({\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 3{x^4} + {x^2} = 11\).

4. \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} + 4{x^4} = 13\).

5. \({x^4} + 3{x^2}\left( {1 + 3{x^2}} \right) = 13\).

6. \(\frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^2} - 4x + 2}} = 0\).

7. \(\frac{{2{x^4} - 5{x^2} + 2}}{{3{x^2} - 5x + 6}} = 0\).

8. \(\frac{{5{x^4} - {x^2} - 4}}{{{x^4} + 6x}} = 0\).

9. \(\frac{{{x^4} + 3{x^2} - 4}}{{3{x^8} - 4x + 1}} = 0\).

10. \(\frac{{4{x^4} - 9{x^2} + 5}}{{2{x^7} - 3x + 1}} = 0\).

11. \(\frac{{5{x^4} + {x^2} - 6}}{{2{x^5} + x - 3}} = 0\).

12. \(\frac{{{x^4} + 8{x^2} - 9}}{{{x^5} + 3x - 4}} = 0\).

13. \(\frac{{4{x^4} - 9{x^2} + 5}}{{{x^2} - x + 9}} \le 0\).

14. \(\frac{{{x^4} + 2{x^2} - 3}}{{{x^4} - x + 4}} \ge 0\).

15. \(\frac{{{x^4} + 2{x^2} + 7}}{{{x^4} + 4{x^2} - 5}} \le 0\).

16. \(\frac{{4{x^4} + {x^2} - 5}}{{2{x^2} - x + 10}} > 0\).

17. \(\frac{{{x^4} + {x^2} - 20}}{{{x^4} - 12x + 15}} \ge 0\).

18. \(\frac{{4{x^4} + 3{x^2} - 7}}{{{x^4} - {x^2} + 6}} < 0\).

19. \(\frac{{{x^4} + 7{x^2} - 8}}{{{x^5} + x - 5}} = 0\).

20. \(\frac{{{x^4} + 5{x^2} - 6}}{{{x^4} + {x^2} - 2x + 1}} \ge 0\).

21. \(\frac{{{x^4} - 16}}{{{x^2} + x + 1}} \le 0\).

22. \(\frac{{{x^4} + {x^2} - 2}}{{{x^4} - 2x + 3}} > 0\).