Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số, tài liệu bao gồm 250 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Phương trình chuyên đề, bất phương trình và đại hệ thống

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Phần 1: Phương trình - Bất phương trình

Phần 2: Hệ phương trình

Phần 1: Phương trình - Bất phương trình

A - Phương trình - bất phương trình cơ bản

I - Kiến thức cơ bản

1/ Phương trình - Bất phương trình căn thức cơ bản

(1) \(\sqrt {\rm{A}}  = {\rm{B}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} = {{\rm{B}}^2}}\end{array}} \right.\).

(2) \(\sqrt {\rm{A}}  = \sqrt {\rm{B}}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} = {\rm{B}}}\end{array}} \right.\).

(3) \(\sqrt {\rm{A}}  > {\rm{B}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}} \ge 0}\\{\;{\rm{B}} < 0}\\{\;{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} > {{\rm{B}}^2}}\end{array}{\rm{. }}} \right.}\end{array}} \right.\)

(4) \(\sqrt A  < B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B > 0}\\{A \ge 0}\\{A < {B^2}}\end{array}} \right.\).

(5) \(\sqrt {\rm{A}}  > \sqrt {\rm{B}}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} > {\rm{B}}}\end{array}} \right.\).

- Lưu ý

Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.

Bước 2: Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm

Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.

2/ Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

(1) \(|{\rm{A}}| = {\rm{B}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}} = {\rm{B}}}\\{{\rm{A}} = {\rm{OB}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

(2) \(|{\rm{A}}| = |{\rm{B}}| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}} = {\rm{B}}}\\{{\rm{A}} =  - {\rm{B}}}\end{array}} \right.\).

(3) \(|{\rm{A}}| > |{\rm{B}}| \Leftrightarrow ({\rm{A}} - {\rm{B}})({\rm{A}} + {\rm{B}}) > 0\).

(4) \(|A| < B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B > 0}\\{A < B}\\{A >  - B}\end{array}} \right.\).

(5) \(|A| > B \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B < 0}\\{A{\rm{ c\'o  nghia }}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{[A <  - B}\end{array}.} \right.}\\{A > B}\end{array}} \right.\)

- Lưu ý

Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn như trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.

3/ Một số phương trình - Bất phương trình coo bản thường găp khác

Dang \(1.\quad \sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}} = \sqrt[3]{{\rm{C}}}\)

- Ta có:

\((1) \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}})^3} = {\rm{C}} \Leftrightarrow {\rm{A}} + {\rm{B}} + 3\sqrt[3]{{{\rm{AB}}}}(\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}}) = {\rm{C}}\)

- Thay \(\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}} = \sqrt[3]{{\rm{C}}}\) vào \((2)\) ta được:

\({\rm{A}} + {\rm{B}} + 3\sqrt[3]{{{\rm{ABC}}}} = {\rm{C}}\).

Dang 2. \(\sqrt {{\rm{f}}({\rm{x}})}  + \sqrt {{\rm{g}}({\rm{x}})}  = \sqrt {{\rm{h}}({\rm{x}})}  + \sqrt {{\rm{k}}({\rm{x}})} \)

với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{f}}({\rm{x}}) + {\rm{h}}({\rm{x}}) = {\rm{g}}({\rm{x}}) + {\rm{k}}({\rm{x}})}\\{{\rm{f}}({\rm{x}}) \cdot {\rm{h}}({\rm{x}}) = {\rm{g}}({\rm{x}}) \cdot {\rm{k}}({\rm{x}})}\end{array}} \right.\).

- Biến đổi về dạng: \(\sqrt {{\rm{f}}({\rm{x}})}  - \sqrt {{\rm{h}}({\rm{x}})}  = \sqrt {{\rm{g}}({\rm{x}})}  - \sqrt {{\rm{k}}({\rm{x}})} \).

- Bình phương, giải phương trình hệ quả.

- Lưu ý

Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng là đưa về phương trình hệ quả. Do đó, để đảm bảo rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình, ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài nhằm nhận, loại nghiệm chính xác.

II - Các ví du minh họa

Thí dụ 1. Giải phương trình: \(\sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 3}  = 2{\rm{x}} - 5\)(*)

Bài giải tham khảo

\((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5 \ge 0}\\{ - {x^2} + 4x - 3 = {{(2x - 5)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{5}{2}}\\{5{x^2} - 24x + 28 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{5}{2}}\\{x = 2}\\{x = \frac{{14}}{5}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{14}}{5}} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{{14}}{5}\]

Thí dụ 2. Giải phương trình: \(\sqrt {7 - {{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}\sqrt {{\rm{x}} + 5} }  = \sqrt {3 - 2{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2}} \quad (*)\)

Bài giải tham khảo

\((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - 2{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2} \ge 0}\\{7 - {{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}\sqrt {{\rm{x}} + 5}  = 3 - 2{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \le {\rm{x}} \le 1}\\{\sqrt {{\rm{x}} + 5}  =  - \frac{{{\rm{x}} + 2}}{{\rm{x}}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \le x \le 1}\\{ - \frac{{x + 2}}{x} \ge 0}\\{{x^2}(x + 5) = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \le x \le 1}\\{ - 2 \le x < 0}\\{{x^3} + {x^2} - 16x - 16 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le x < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x =  \pm 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \({\rm{x}} =  - 1\).

Thí dụ 3. Giải phương trình: \(\sqrt {3{\rm{x}} - 2}  - \sqrt {{\rm{x}} + 7}  = 1\quad (*)\)

Trích đề thi Cao đẳng su phạm Ninh Bình khối M năm 2004

Bài giải tham khảo

- Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2 \ge 0}\\{x + 7 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}} \right.\).

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow \sqrt {3{\rm{x}} - 2}  = \sqrt {{\rm{x}} + 7}  + 1\\ \Leftrightarrow 3{\rm{x}} - 2 = {\rm{x}} + 8 + \sqrt {{\rm{x}} + 7} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{\rm{x}} + 7}  = {\rm{x}} - 5\end{array}\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} - 5 \ge 0}\\{{\rm{x}} + 7 = {{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}} + 25}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} \ge 5}\\{{\rm{x}} = 9 \vee {\rm{x}} = 2}\end{array} \Leftrightarrow {\rm{x}} = 9.} \right.\]

- Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là \({\rm{x}} = 9\).

Thí dụ 4. Giải phương trình: \(\sqrt {{\rm{x}} + 8}  - \sqrt {\rm{x}}  = \sqrt {{\rm{x}} + 3} \quad (*)\)

Trích đề thi Cao đẳng Hóa chất năm 2004

Bài giải tham khảo

- Điều kiện: \(x \ge 0\).

\((*) \Leftrightarrow \sqrt {{\rm{x}} + 8}  = \sqrt {{\rm{x}} + 3}  + \sqrt {\rm{x}}  \Leftrightarrow {\rm{x}} + 8 = 2{\rm{x}} + 3 + 2\sqrt {{\rm{x}}({\rm{x}} + 3)} \)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{\rm{x}}({\rm{x}} + 3)}  = 5 - {\rm{x}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - {\rm{x}} \ge 0}\\{4{\rm{x}}({\rm{x}} + 3) = {{(5 - {\rm{x}})}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} \le 5}\\{{\rm{x}} = 1}\\{{\rm{x}} =  - \frac{{25}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 1}\\{{\rm{x}} =  - \frac{{25}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

- So với điều kiện, nghiệm của phương trình là \({\rm{x}} = 1\).

Thí dụ 5. Giải bất phương trình: \(\sqrt {2\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right)}  \le {\rm{x}} + 1\quad (*)\)

\((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\\{2\left( {{x^2} - 1} \right) \le {{(x + 1)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le  - 1 \vee x \ge 1}\\{x \ge  - 1}\\{{x^2} - 2x - 3 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{ - 1 \le x}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

- Vậy tập nghiệm của phương trình là \(x \in [1;3]\) và \(x =  - 1\).

Thí dụ 6. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}}  > {\rm{x}} - 3\quad (*)\)

Trích đề thi Cao đẳng bán công Hoa Sen khối D năm 2006 (Đại học Hoa Sen)

Bài giải tham khảo

\((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4x \ge 0}\\{x - 3 < 0}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 \ge 0}\\{{x^2} - 4x > {{(x - 3)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 0 \vee x \ge 4}\\{x < 3}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x > \frac{9}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 0}\\{x > \frac{9}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

- Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = ( - \infty ;0] \cup \left( {\frac{9}{2}; + \infty } \right)\).

Thí dụ 7. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 5}  + 2{\rm{x}} \ge 3\quad (*)\)

Trích đề thi Cao đẳng Kỹ thụ̂t Y tế I năm 2006

Bài giải tham khảo

\((*) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x + 5}  \ge 3 - 2x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4x + 5 \ge 0}\\{3 - 2x < 0}\end{array}\quad  \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - 2x \ge 0}\\{{x^2} - 4x + 5 \ge {{(3 - 2x)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{x > \frac{3}{2}}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{3}{2}}\\{3{x^2} - 8x + 4 \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow x > \frac{3}{2} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{3}{2}}\\{\frac{2}{3} \le x \le 2}\end{array} \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ là \({\rm{S}} = \left[ {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).

Thí dụ 8. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 3}  < {\rm{x}} + 1\)

Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006

Bài giải tham khåo

\[(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4x + 3 \ge 0}\\{x + 1 > 0}\\{{x^2} - 4x + 3 < {{(x + 1)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1 \vee x \ge  - 3}\\\begin{array}{l}x >  - 1\\x > \frac{1}{3}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{3} < x \le 1}\\{x \ge 3}\end{array}} \right.\]

Vậy tập nghiệm cûa bất phương trình là \({\rm{S}} = \left( {\frac{1}{3};1} \right] \cup [3; + \infty )\).

Thí dụ 9. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{\rm{x}} + 11}  \ge \sqrt {{\rm{x}} - 4}  + \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \quad (*)\)

Trích đề thi Cao đẳng Điều dương chính qui (Đai học điều dương) năm 2004

Bài giải tham khảo

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 11 \ge 0}\\{x - 4 \ge 0}\\{2x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 11}\\{x \ge 4}\\{x \ge 0,5}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 4} \right.} \right.\)

\[\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow x + 11 \ge 3x - 5 + 2\sqrt {(x - 4)(2x - 1)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {(x - 4)(2x - 1)}  \le 8 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 8 \ge 0}\\{(x - 4)(2x - 1) \le {{(8 - x)}^2}}\end{array}} \right.\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 8}\\{{x^2} + 7x - 60 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow  - 12 \le x \le 5} \right.\]

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là \[{\rm{S}} = [4;5]\]

Thí dụ 10. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{\rm{x}} + 2}  - \sqrt {{\rm{x}} - 1}  \ge \sqrt {2{\rm{x}} - 3} \quad (*)\)

Bài giải tham khảo

- Điều kiện: \(x \ge \frac{3}{2}\).

\((*) \Leftrightarrow \sqrt {{\rm{x}} + 2}  \ge \sqrt {2{\rm{x}} - 3}  + \sqrt {{\rm{x}} - 1}  \Leftrightarrow {\rm{x}} + 2 \ge 3{\rm{x}} - 4 + 2\sqrt {({\rm{x}} - 1)(2{\rm{x}} - 3)} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 5x + 3}  \le 3 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{3}{2}}\\{3 - x \ge 0}\\{2{x^2} - 5x + 3 = {{(3 - x)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2} \le x \le 3}\\{{x^2} + x - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2} \le {\rm{x}} \le 3}\\{ - 3 \le {\rm{x}} \le 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2} \le {\rm{x}} \le 2}\\2\end{array}} \right.} \right.\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \({\rm{x}} \in \left[ {\frac{3}{2};2} \right]\).

Thí dụ 11. Giải bất phương trình:

Trích đề thi Đại học An Ninh Hà Nội khối D năm 1999

Bài giải tham khảo

- Điều kiện: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + 1 \ge 0}\\{4x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}{\rm{. }}}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\]

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow \sqrt {5{\rm{x}} + 1}  \le \sqrt {4{\rm{x}} - 1}  + 3\sqrt {\rm{x}} \\ \Leftrightarrow 5{\rm{x}} + 1 \le 9{\rm{x}} + 4{\rm{x}} - 1 + 6\sqrt {4{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}}} \end{array}\)

\( \Leftrightarrow 6\sqrt {4{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}}}  \ge 2 - 8{\rm{x}}\quad (**)\)

- Do \(x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow 2 - 8x \le 0 \Rightarrow (**)\) luôn thỏa.

- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(x \in \left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\)

Thí dụ 12. Giải bất phương trình: \(\sqrt {{\rm{x}} + 2}  - \sqrt {3 - {\rm{x}}}  < \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} \quad (*)\)

Trích đề thi Đại học Thủy Lọi Hà Nội hệ chua phân ban năm 2000

Bài giải tham khảo

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{3 - x \ge 0}\\{5 - 2x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3} \right.\)

\((*) \Leftrightarrow \sqrt {{\rm{x}} + 2}  < \sqrt {5 - 2{\rm{x}}}  + \sqrt {3 - {\rm{x}}}  \Leftrightarrow {\rm{x}} + 2 < 8 - 3{\rm{x}} + 2\sqrt {(5 - 2{\rm{x}})(3 - {\rm{x}})} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {(5 - 2x)(3 - x) > 2x - 3} \\ \Leftrightarrow \left[ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3 < 0}\\{(5 - 2x)(3 - x) \ge 0}\\{[2x - 3 \ge 0}\\{(5 - 2x)(3 - x) > {{(2x - 3)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < \frac{3}{2}}\\{x \le \frac{5}{2} \vee x \ge 3}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{3}{2}}\\{2{x^2} - x - 6 < 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow x < \frac{3}{2} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{3}{2}}\\{ - \frac{3}{2} < x < 2}\end{array} \Leftrightarrow x < 2} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là \({\rm{x}} \in [ - 2;2)\)