Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương trình Vô tỉ, tài liệu bao gồm 92 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề phương trình Vô tỉ

Phương trình vô tỷ

Phương trình vô tỷ, cùng với hệ phương trình là một bài toán hay thường xuyên xuất hiện trong đề thi TSĐH. Bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt biến đổi cơ bản, đến đặt ẩn phụ hay, một số đánh giá nhỏ dựa vào bất đẳng thức, hàm số. Với đề thi TSĐH thì bài toán theo nhận định chủ quan thì 2 phương pháp cơ bản để các em làm được các bài toán dạng này là biến đổi cơ bản( quan trọng) và đặt ẩn phụ nếu có.

Các phương pháp sẽ được trình bày theo từng dạng toán để các em có thể tiếp cận làm quen, về sau khi đã được tiếp cận từng phương pháp sẽ hình thành cho các em khả năng nhận dạng và tư duy phương pháp giải.

Xin được mở đầu bằng một số bài toán:

Bài 1. Giải bất phương trình sau: \(\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2}  \ge 0(*)\)

Lời giải

\( + (*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - 3x - 2 \ge 0}\\{({x^2} - 3x)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2}  \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - 3x - 2 = 0}\\{2{x^2} - 3x - 2 > 0}\\{\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2}  \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{x = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x > 2) \vee \left( {x < \frac{{ - 1}}{2}} \right)}\\{{x^2} - 3x \ge 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{x = 2}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x > 2) \vee \left( {x < \frac{{ - 1}}{2}} \right)}\\{(x \ge 3) \vee (x \le 0)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{x = 2}\end{array}} \right.}\\{(x \ge 3) \vee \left( {x < \frac{{ - 1}}{2}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{{ - 1}}{2}}\\{x = 2}\\{x \ge 3}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

\(D = \left( { - \infty ,\frac{{ - 1}}{2}} \right] \cup \{ 2\}  \cup [3, + \infty )\)

Bài 2. Giải bất phương trình sau: \(\frac{{x - \sqrt x }}{{1 - \sqrt {2\left( {{x^2} - x + 1} \right)} }} \ge 1(*)\)

Lời giải

+ Điều kiện: \(x \ge 0\), ta có

\(1 - \sqrt {2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}  = 1 - \sqrt {2{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}}  \le 1 - \sqrt {\frac{3}{2}}  < 0\)

Khi đó bất phương trình tương đương với:

\[x - \sqrt x  \le 1 - \sqrt {2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}  \Leftrightarrow (x - 1) - \sqrt x  + \sqrt {2{{(x - 1)}^2} + 2x}  \le 0{\rm{\;(1)\;}}\]

\[\begin{array}{l} + {\rm{\;Ta co}}\\{\rm{\;}}{(x - 1 - \sqrt x )^2} = {(x - 1)^2} + x - 2(x - 1)\sqrt x \\ \le 2{(x - 1)^2} + 2x({\rm{\;do\;}}x - 1 + \sqrt x  \ge 0)\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow |x - 1 - \sqrt x | \le \sqrt {2{{(x - 1)}^2} + 2x} \\ \Rightarrow x - 1 - \sqrt x  + \sqrt {2{{(x - 1)}^2} + 2x}  \ge 0{\rm{\;(2)\;}}\end{array}\]

Từ 1 và 2 suy ra:

\[x - 1 - \sqrt x  = \sqrt {2{{(x - 1)}^2} + 2x}  \Leftrightarrow x - 1 + \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(D = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

Bài 3. Giải phương trình sau: \(2\sqrt[3]{{3x - 2}} + 3\sqrt {6 - 5x}  - 8 = 0(*)\)

Lời giải

+ Điều kiện \({\rm{ }}x \le \frac{6}{5}\)

+ Đặt \( = \sqrt[3]{{3x - 2}};v = \sqrt {6 - 5x}  \ge 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u^3} = 3x - 2}\\{{v^2} = 6 - 5x}\end{array} \Rightarrow 5{u^3} + 3{v^2} = 5(3x - 2) + 3(6 - 5x) = 8(1)} \right.\)

Mặt khác ta lại có: \(2u + 3v - 8 = 0(2)\)

Từ (1) và \((2)\) suy ra:

\(\begin{array}{l}{u^3} + 3{\left( {\frac{{8 - 2u}}{3}} \right)^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 45{u^3} + 12{u^2} - 96u + 120 = 0\\ \Leftrightarrow (u + 2)\left( {45{u^2} - 78u + 60} \right) = 0 \Leftrightarrow u =  - 2 \Rightarrow v = 4\end{array}\)

Khi đó: \(\sqrt[3]{{3x - 2}} =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: \(x =  - 2\)

Bài 4. Giải phương trình sau: \(\sqrt {3x + 1}  - \sqrt {6 - x}  + 3{x^2} - 14x - 8 = 0\)

Lời giải

Điều kiện: \( - \frac{1}{3} \le x \le 6\)

Khi đó phương trình được biến đổi thành:

\(\begin{array}{l}(\sqrt {3x + 1}  - 4) + (1 - \sqrt {6 - x} ) + 3{x^2} - 14x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3x - 15}}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{{x - 5}}{{1 + \sqrt {6 - x} }} + (x - 5)(3x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 5)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {6 - x} }} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\end{array}\)

Do \(\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {6 - x} }} + 3x + 1 > 0,\forall \frac{{ - 1}}{3} \le x \le 6} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Bài 5. Giải phương trình sau:

\(3\sqrt {2 + x}  - 6\sqrt {2 - x}  + 4\sqrt {4 - {x^2}}  = 10 - 3x(x \in \mathbb{R})\)

Lời giải

+ Điều kiện: \( - 2 \le x \le 2\)

\(\begin{array}{l} + t = \sqrt {2 + x}  - 2\sqrt {2 - x} \\ \Rightarrow {t^2} = 2 + x + 4(2 - x) - 4\sqrt {4 - {x^2}} \\ = 10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} \end{array}\)

\( \Rightarrow PT \Leftrightarrow 3t = {t^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2 + x}  - 2\sqrt {2 - x} }\\{\sqrt {2 + x}  - 2\sqrt {2 - x}  = 3}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{6}{5}\).

Bài 6. Giải bất phương trình:

\(\sqrt {x + 2}  + {x^2} - x - 2 \le \sqrt {3x - 2} (x \in \mathbb{R})\)

Lời giải

+ Điều kiện: \(x \ge \frac{2}{3}\)

Khi đó bất phương trình tương đương với:

\((\sqrt {x + 2}  - \sqrt {3x - 2} ) + \left( {{x^2} - x - 2} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2(2 - x)}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {3x - 2} }} + (x - 2)(x + 1) \le 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 2)\left( {\frac{{ - 2}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {3x - 2} }} + x + 1} \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 2)f(x) \le 0;\\f(x) = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {3x - 2} }} + x + 1,x \ge \frac{2}{3}\end{array}\)

\( + {f^\prime }(x) = 1 + \frac{{\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} + \frac{3}{{\sqrt {3x - 2} }}}}{{{{(\sqrt {x + 2}  + \sqrt {3x - 2} )}^2}}} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f \uparrow  \Rightarrow f(x) \ge f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{5}{3} - \sqrt {\frac{3}{2}}  > 0\\ \Rightarrow BPT \Leftrightarrow x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2 \Rightarrow \frac{2}{3} \le x \le 2\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(D = \left[ {\frac{2}{3},2} \right]\)

Bài 7. Giải phương trình sau:

\((13 - 4x)\sqrt {2x - 3}  + (4x - 3)\sqrt {5 - 2x}  = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15} (x \in \mathbb{R})\)

Lời giải

\( + DK:\frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}(*)\)

\(\begin{array}{l} + u = \sqrt {2x - 3} ;v = \sqrt {5 - 2x} \\ \Rightarrow {u^2} = 2x - 3;{v^2} = 5 - 2x \Rightarrow {u^2} + {v^2} = 2(1)\end{array}\)

\( + 13 - 4x = 2{v^2} + 3;4x - 3 = 2{u^2} + 3;uv = \sqrt {16x - 4{x^2} - 15} \)

\( \Rightarrow BPT \Leftrightarrow \left( {2{v^2} + 3} \right)u + \left( {2{u^2} + 3} \right)v = 2 + 8uv = {u^2} + {v^2} + 8uv(do(1))\)

\( \Leftrightarrow 2uv(u + v) + 3(u + v) = {(u + v)^2} + 6uv \Leftrightarrow 2u\)

\( \Leftrightarrow (u + v - 3)(2uv - u - v) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{u + v = 3}\\{u + v = 2uv}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{uv = \frac{7}{2}(uv \ge 0)}\\{uv = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}  = \frac{7}{2}}\\{\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}  = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}  = \frac{7}{2}}\\{\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}  = 1}\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

Bài 8. Giải phương trình sau: \(^2\)

\((x + 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 7}  + 1} \right) + x\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 1} \right) = 0(x \in \mathbb{R})\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l} + BPT \Leftrightarrow (x + 2)\left( {\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 3}  + 1} \right) + x\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow g(x) = f(x + 2) + f(x) = 0;\\f(x) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 1} \right)\\ + {f^\prime }(x) = \sqrt {{x^2} + 3}  + 1 + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} > 0\\ \Rightarrow {g^\prime }(x) = {f^\prime }(x + 2) + {f^\prime }(x) > 0\end{array}\)

Do đó hàm số \(g(x)\) đồng biến trên \({\rm{R}}\), nên nếu phương trình \(g(x) = 0\) có nghię̂m thì đó là nghiệm duy nhất. Nhận thấy \(g( - 1) = 0 \Rightarrow x =  - 1\) là nghiệm của phương trinh.