Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các dạng Bất phương trình vô tỉ và cách giải, tài liệu bao gồm 17 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Các dạng bát phương trình vô tỉ và cách giải

A. Phuương pháp biến đổi tương đương.

* Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

* Một số phép biến đổi tương đương:

+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.

+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.

+) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình.

+) Lũy thừa bậc chãn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương.

+) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

I. Kỹ thuật lũy thừa hai vế.

1. Phép lũy thừa hai vế:

a) \(\sqrt[{2k + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\).

b) \(\quad \sqrt[{2k}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k}]{{g(x)}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(x) \ge 0}\\{f(x) > g(x)}\end{array}} \right.\).

*) \(\sqrt A  > B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{A > {B^2}}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B < 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right.\).

*) \(\quad \sqrt A  < B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B > 0}\\{A \ge 0.}\\{A < {B^2}}\end{array}} \right.\)

*) \(\sqrt A  < \sqrt B  \Leftrightarrow 0 \le A < B\).

(Đối với các truờng hợp còn lại với dấu \( \ge , \le , < \) các bạn có thể tụ suy luận).

2. Lưu ý:

Đăkc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phưong trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

3. Ví dụ:

Bài 1: Giải các BPT sau:

a) \(\sqrt {x - 3}  < 2x - 1\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  \le x + 3\)

c) \(\sqrt {3x - 2}  > 4x - 3\)

d) \(\sqrt {3{x^2} + x - 4}  \ge x + 1\)

Giải:

a) \[\sqrt {x - 3}  < 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 > 0}\\{x - 3 \ge 0}\\{x - 3 < {{(2x - 1)}^2}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \frac{1}{2}}\\{x \ge 3}\\{4{x^2} - 5x + 4 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 3.} \right.\]

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: \([3; + \infty )\).

b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  \le x + 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x + 1 \ge 0}\\{x + 3 \ge 0}\\{{x^2} - x + 1 \le {{(x + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow x \ge  - \frac{8}{7}} \right.\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left[ { - \frac{8}{7}; + \infty } \right)\).

Hai bài tập còn lại các bạn tự giải.

Bài 2: Giải BPT: \(\sqrt {x + 4}  - \sqrt {1 - x}  \le \sqrt {1 - 2x} \) (1).

Giải:

* Vậy tập nghiệm: \([ - 4;0]\).

Bài tập tưong tự : Giải BPT: \(\sqrt {5x - 1}  - \sqrt {x - 1}  > \sqrt {2x - 4} \quad \) (TS (A)_2005).

Đáp số: Tập nghiệm \({\rm{T}} = [2;10)\).

II. Kỹ thuật chia điều kiện.

1. Kỹ thuật:

Nếu bài toán có điều kiện là \(x \in D\) mà \(D = {D_1} \cup {D_2} \cup  \ldots .{D_n}\) ta có thể chia bài toán theo n trường hợp của điều kiện:

+) Trường hợp 1: \(x \in {D_1}\), giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm \({T_1}\).

+) Trường hợp 2: \(x \in {D_2}\), giải bất phương trình tìm được tập nghiệm \({T_2}\).

+) Trường hợp n: \(x \in {D_n}\), giải bất phương trình tìm được tập nghiệm \({{\rm{T}}_{\rm{n}}}\).

Tập nghiệm của bất phương trình là \(T = {T_1} \cup {T_2} \cup  \ldots  \cup {T_n}\).

2. Yêu cầu:

Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.

3. Ví dụ:

Bài 1: Giải BPT: \(\frac{{\sqrt { - 3{x^2} + x + 4}  + 2}}{x} < 2\)(1)

Giải:

* Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{ - 1 \le x \le \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\).

* Với \(0 < x \le 4/3\quad \) (i) ta có

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \sqrt { - 3{x^2} + x + 4}  < 2x - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 2 \ge 0}\\{ - 3{x^2} + x + 4 < {{(2x - 2)}^2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{7{x^2} - 9x > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{9}{7}} \right.{\rm{ (ii) }}\)

Kết hợp (i) và (ii) ra có tập nghiệm là \[{T_1} = \left( {\frac{9}{7};\frac{4}{3}} \right)\]

* Với \( - 1 \le x < 0\) thì (1) luôn đúng. Tập nghiệm trong trường hợp này là \({{\rm{T}}_2} = [ - 1;0\) ). Vậy tập nghiệm của (1) là \(T = {T_1} \cup {T_2} = \left( {\frac{9}{7};\frac{4}{3}} \right] \cup [ - 1;0)\).

Bài tập :

Giải BPT : \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + \sqrt {{x^2} - 4x + 3}  \ge 2\sqrt {{x^2} - 5x + 4} \).

Đáp số : \(x \ge 4\) hoặc \({\rm{x}} = 1\).

III. Kỹ thuật khai căn.

1) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức :

\(\begin{array}{l}*\quad \sqrt {{A^2}}  = |A| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A(A \ge 0)}\\{ - A(A < 0)}\end{array}} \right.\\*\quad \sqrt {\frac{{{A^2}y}}{{{E^2}x}}}  = \left| {\frac{A}{E}} \right|\sqrt {\frac{y}{x}} (E,x \ne 0).\\*\quad \sqrt[{2n}]{{{A^{2n}}}} = |A|\quad \\*\quad \sqrt[{2n + 1}]{{{A^{2n + 1}}}} = A\end{array}\)

2) Lưu ý:

Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức

3) Ví dụ:

Giải BPT\(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  > \frac{3}{2}\)(1)

Giải

\[\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  + 1}  + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1}  > \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(\sqrt {x - 1}  + 1)}^2}}  + \sqrt {{{(\sqrt {x - 1}  - 1)}^2}}  > \frac{3}{2}\end{array}\]

.\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{\sqrt {x - 1}  + 1 + |\sqrt {x - 1}  - 1| > \frac{3}{2}(2)}\end{array}} \right.\)

* Với \(\sqrt {x - 1}  - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2\) luôn thỏa mãn bpt (2).

Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là \({{\rm{T}}_1} = [2; + \infty )\).

* Với \(\sqrt {x - 1}  - 1 < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x - 1 < 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 \le x < 2} \right.\) bpt (2) trở thành :

\(\sqrt {x - 1}  + 1 + 1 - \sqrt {x - 1}  > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 > \frac{3}{2}\) (luôn đúng).

Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là \({{\rm{T}}_2} = [1;2\) ).

KL : Tập nghiệm của (1) là \({\rm{T}} = {T_1} \cup {T_2} = [1; + \infty )\).

* Chú ý : Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế.

IV. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích.

1. Bất phương trình tích : Trên điều kiện của bpt ta có :

\(*f(x)g(x) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) > 0}\\{g(x) > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) < 0}\\{g(x) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}\quad } \right.\)

\(f(x)g(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = 0}\\{\int f (x) > 0}\\{g(x) \ge 0}\\{\int f (x) < 0}\\{g(x) \le 0}\end{array}} \right.\)

Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận.

2. Lưu ý : cần phải nhìn ra nhân tủ chung nhanh.

3. Ví dụ :

Giải BPT : \(\sqrt {x - 1} \left( {3{x^2} - x + 1} \right) - 3{x^3} - 1 \ge 0\)(1)

Giải :

Điều kiện : \(x \ge 1\left( {^*} \right)\)

(1) \(x - 1 + 3{x^2}\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 1}  - x\sqrt {x - 1}  - 3{x^3} - x \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1}  + 3{x^2} + 1} \right) - x\left( {\sqrt {x - 1}  + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt {x - 1}  - x)\left( {\sqrt {x - 1}  + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  - x \ge 0\quad \left( {} \right.\) do \(\sqrt {x - 1}  + 3{x^2} + 1 > 0\) khi \(\left. {x \ge 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  \ge x \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le 0\) (vô nghiệm).

Vậy BPT đã cho vô nghiệm.