Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức hay nhất

Gia Bảo Ngày: 08-03-2024 Lớp 10

Tải xuống 13 2.4 K 10

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, tài liệu bao gồm 13 trang, tuyển chọn lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức (có đáp án và lời giải chi tiết), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi môn Toán lớp 10. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

undefined (ảnh 1)

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3 + + =
Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{(a + b) (a + c)} + \frac{b^{3}}{(b + c) (b + a)} + \frac{c^{3}}{(c + a) (c + b)} \geq \frac{3}{4} (1)$

Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a b c 3 + + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

3 + + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

$(1) \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{(a + b) (a + c)} + \frac{b^{3}}{(b + c) (b + a)} + \frac{c^{3}}{(c + a) (c + b)} \geq \frac{a + b + c}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-sin ta có: $\frac{a^{3}}{(a + b) (a + c)} + \frac{b + c}{8} + \frac{b + a}{8} \geq 3 \sqrt[3]{(\frac{b^{3}}{(b + c) (b + a)}) (\frac{b + c}{8}) (\frac{b + a}{8})} = \frac{3 b}{4} \frac{c^{3}}{(c + a) (c + b)} + \frac{c + a}{8} + \frac{c + b}{8} \geq 3 \sqrt[3]{(\frac{c^{3}}{(c + a) (c + b)}) (\frac{c + a}{8}) (\frac{c + b}{8})} = \frac{3 c}{4}$

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: