Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài giảng chuyên đề hàm số và ứng dụng giúp học sinh tự học, tài liệu bao gồm 70 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài giảng chuyên đề hàm số và ứng dụng giúp học sinh tự học

Chủ đề 2 : hàm số bậc nhất và bậc hai

Vấn đề 1. Đại cương về hàm số

A - Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

- Cho \(D \subset \mathbb{R},D \ne \emptyset \). Hàm số f các định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi \(x \in D\) với một và chỉ một số \(y \in \mathbb{R}\).

- x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x)

- D được gọi là tập xác định của hàm số. Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

- \(T = \{ y = f(x)\mid x \in D\} \) được gọi là tập giá trị của hàm số.

2. Cách cho hàm số:

- Cho bằng bảng.

- Cho bằng biểu đồ.

- Cho bằng công thức y = f(x).

3. Sự biến thiên của hàm số:

a) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Định nghĩa: Ta ký hiệu K là một khoảng (nửa khoảng) nào đó của \(\mathbb{R}\).

Hàm số f gọi đồng biến (hay tăng) trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

Hàm số f gọi nghịch biến (hay giảm) trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Hàm số f gọi là hàm số hằng trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\).

b) Nhận xét về đồ thị

Nếu f làm hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên (từ trái sang trái).

Nếu f làm hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống (từ trái sang trái).

Nếu f làm hàm số hằng trên K thì đồ thị là một đường thẳng (1 phần đường thẳng) song song hay trùng với trục Ox.

4. Đồ thị hàm số

- Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với \(x \in D\).

- Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y=f(x) là một đường. Khi đó ta nói y=f(x) là phương trình của đường đó.

5. Tính chẳn, lẻ cỉa hàm số:

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D.

- Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu: \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)

- Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu: \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) =  - f(x)\)

- Đặc biệt hàm số y=f(x)=0 gọi là hàm vừa chã̃n vừa lẻ

- Lưu ý:

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm

A - Phương pháp giải

Để tích giá trị của hàm số y= f(x) tại x= a, ta thế x = a vào biểu thức f(x) và đurợc ghi f(a).

B - Bài tâp mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$$=\left\{\begin{array}{l}4x+1\\ -x^3+3\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{l}x\le 2\\ x>2\end{array}$. Tính \(f(3),f(2),f( - 2),f(\sqrt 2 )\) và \(f(2\sqrt 2 )\)

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = g(x) =  - 5{x^2} + 4x + 1\). Tính \(g( - 3)\) và \(g(2)\).

C - Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số $y=h\left(x\right)$$=\left\{\begin{array}{l}-2\left(x^2+1\right)\\ 4\sqrt{x-1}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{l}x\le 1\\ x>1\end{array}$. Tính \(h(1),h(2),h\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),h(\sqrt 2 )\).

Bài 2. Cho hàm số: $y=f\left(x\right)$$=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-3x+8}\\ \sqrt{x+7}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{l}x<2\\ x\ge 2\end{array}$. Tính \(f( - 3),f(2),f(1)\) và \(f(9)\).

Dạng 2. Đồ thị của hàm số

A - Phương pháp giải

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tâp D. Trong măt phẳng tọa đô Oxy, tâp hợp các điểm có tọa độ (x, f(x)) với \(x \in D\), gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

- Để biết điểm M(a;b) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) không, ta thế x= a và biểu thirc f(x) :

- Nếu f(x) = a thì điểm M(a;b) thuộc đồ thị hàm số y= f(x).

- Nếu \(f(a) \ne b\) thì điểm M(a;b)  không thuộc đồ thị hàm số y= f(x).

B - Bài tập mẫu

Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 3} \). Các điểm \(A(2;8),B(4;12)\) và \(C(5;25 + \sqrt 2 )\) điểm nào thuộc đồ thị hàm số đã cho?

Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = g(x) = \frac{{ - 2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\). Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà có tung độ là 2 .

C - Bài tập tự luyện

Bài 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=$$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+x+1\\ \sqrt{x^2-1}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}(x\le 1)\\ (x>1)\end{array}$

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị (G) của hàm số f có hoành độ lần lượt là \( - 1;1\) và \(\sqrt 5 \).

a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đồ thị của hàm số f có tung độ bằng 7 .

Bài 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$$=\left\{\begin{array}{l}{x}^2-6\\ x^2-3x\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{l}x\le 1\\ x>1\end{array}$.

a) Điểm nào trong các điểm sau thuộc đồ thị hàm số: \(A(3;3),B( - 1; - 5),C(1; - 2)\) và \(D(3;0)\)

b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà có tung độ là \( - 2\).

Bài 5. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (G). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị (G) của hàm số: \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),B\left( {\frac{3}{2};\frac{{13}}{2}} \right).\)

Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số

A - Phương pháp giải

- Tậ xác định của hàm số: \(D = \{ x \in \mathbb{R}\mid f(x)\) có nghĩa \(\} \)

- Các trường hợp thurờng gặp khi tìm tâp xác định:

+ Hàm sổ \(y = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\) xác dịnh \( \Leftrightarrow Q(x) \ne 0\)

+ Hàm số \(y = \sqrt {P(x)} \) xác định \( \Leftrightarrow P(x) \ge 0\)

+ Hàm số \(y = \frac{{P(x)}}{{\sqrt {Q(x)} }}\) xác dinh \( \Leftrightarrow Q(x) > 0\)

- Lıu ý:

+ Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là \(A \subset D\).

B - Bài tập mẫu

Ví dụ 5. Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}\)

b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2{x^2} - 5x + 2}}\)

c) \(y = \sqrt {4x - 2}  + \sqrt {5 - x} \)

d) \(y = \frac{x}{{x - 1}} + \sqrt {2x + 4} \)

e) \(y = \frac{{2017}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

f) \(y = \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

g) \(y = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

h) \(y = \frac{{{x^2} - 2017}}{{(x + 2)\sqrt {x + 1} }}\)

i) \(y = \frac{{x + 3}}{{2{x^2} - 18}} + \frac{5}{{1 + {x^2}}} - 2x + 1\)

j) \(y = \frac{{{x^2} - \sqrt {7 - 3x} }}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\sqrt {2x + 2} }}\)

k) \(y = \frac{{{x^3} - 3}}{{\sqrt {x - 2}  - \sqrt {7 - 3x} }}\)

1) \(y = 4\sqrt {2x + 1}  - (x - 4)\sqrt {3 - x} \)

Ví dụ 6. Tìm tập các định của hàm số: $y=f\left(x\right)$$=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-3x+8}\\ \sqrt{x+7}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{l}x<2\\ x\ge 2\end{array}$

Ví dụ 7. Tìm m đề hàm số \(y = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} + 3x + m - 1}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).

Ví dụ 8. Tìm m đề hàm số \(y = {x^2} + 2\sqrt {3x - 2m + 1} \) có tập xác định là \(D = [ - 1; + \infty )\).

C - Bài tập tự luyện

Bài 6. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} - 3x + 2\)

b) \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x - 3}}\)

c) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 9x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

Bài 7. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x\sqrt {2x + 5}  - 3\sqrt {2 - 5x} }}{{4\sqrt {{x^2} + 4} }}\)

b) \(y = \frac{{3x + 4 + \sqrt {{x^2} + 2} }}{{\left( {2{x^2} + x + 5} \right)(|x| + 1)}}\)

c) \(y = \frac{{2x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {7 - 2x} }}\)

d) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} }}\) e) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {{x^2} - 5x} \right)\sqrt {x - 2} }}\)

f) \(y = \frac{{\sqrt {2x - 3} }}{{3 - x}} + \sqrt {5 - x} \)

g) \(y = \frac{{\sqrt {2x + 4}  + 3\sqrt {4 - x} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

h) \(y = \frac{{3x + \sqrt {6 - x} }}{{1 + \sqrt {x + 4} }}\)

i) \(y = \frac{{2{x^2} - 5\sqrt {9 - 2x} }}{{2 - \sqrt {x - 2} }}\)

j) \(y = \frac{{3x + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2}}{{2x + 10}}} }}{{1 - \sqrt {3 - x} }}\)

k) \(y = \frac{{\sqrt {3 - 4x}  - x\sqrt x }}{{|2x - 7| + 2}}\)

l) \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 10}  - \sqrt {2x + 11} }}{{|3x - 2| - 4}}\)

Bài 8. Tìm \(m\) đễ hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4x + m - 5}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).

Bài 9. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 5}}{{3mx - 4m + 8}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).