Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập VD – VDC giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục, tài liệu bao gồm 42 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài tập VD – VDC giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

I. Đề bài

Câu 1. Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn \[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0\]. Tổng các phần tử của S bằng:

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Câu 2. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2020) để \[\lim \sqrt {\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + a}}}}}  \le \frac{1}{{16}}\]

A. 2019 .

B. 2018 .

C. 2017 .

D. 2016 .

Câu 3. Cho \[\lim \left( {\frac{{(a{n^2} - n)(2n - 1)}}{{(1 + b{n^2})(5 - 3n)}}} \right) = 3\] với a, b ¹ 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \[a =  - \frac{{9b}}{2}\].

B. b = -9a .

C. a = 9b.

D. b = -3a .

Câu 4. Cho \[\lim \frac{{\sqrt {a{n^2} + 1}  + \sqrt {a{n^2} + 5} }}{{1 - 4n}} =  - 5\]với a > 0 . Tính giá trị biểu thức P = \[a + \sqrt a \].

A. 90.

B. 110.

C. 100.

D. 10.

Câu 5. Cho dãy số \[{u_1} = \frac{3}{2}\] và \[{u_{n + 1}} = \frac{{3{u_n}}}{{(n + 2){u_n} + 3}}\]. Giới hạn của dãy số \[{x_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{u_i}} \]bằng:

A. lim x_n = 6.

B. lim x_n = 11.

C. lim x_n =  \[\frac{{11}}{6}\].

D. lim x_n = \[\frac{{11}}{3}\].

Câu 6. Cho dãy số {u_n} xác định như sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2020}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2 + 5}}{{2({u_n} + 2)}},\forall n \in N*}\end{array}} \right.\]. Khẳng định nào sau đây sai về dãy {u_n} ?

A. {u_n} là dãy số giảm.

B. {u_n} bị chặn dưới.

C. lim u_n = \[\frac{5}{4}\].

D. lim u_n = 1 .

Câu 7. Cho dãy số (u_n) xác định bởi công thức: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2021}\\{{u_{n + 1}} = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}} \right] + \frac{{2020}}{{{{(n + 1)}^2}}},\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\]. Khi đó lim u_n bằng:

A. 2020 .

B. \[\frac{{2021}}{2}\].

C. 4041.

D. \[\frac{{4041}}{2}\].

Câu 8. Số thập phân vô hạn tuần boàn 0,11272727… được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \[\frac{a}{b}\], trong đó a và b là các số nguyên dương. Tính 5a - b.

A. 120.

B. -430.

C. 430.

D. -120.

Câu 9. Cho dãy số (u_n) với \[{u_n} =  - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}\]. Tính lim u_n.

A. \[ - \frac{1}{4}\].

B. \[\frac{1}{4}\].

C. \[\frac{1}{2}\].

D. \[ - \frac{1}{2}\].

Câu 10. Thả một quả bóng cao su từ độ cao 60m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \[\frac{1}{3}\] độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (113m;115 m).

B. (115m;117 m).

C. (117 m;119 m).

D. (119 m;121m).

Câu 11. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ ,A₃B₃C₃ , … sao cho A₁B₁C₁ là một tam giác đều cạnh bằng x và với mỗi số nguyên dương n ³ 2 , tam giác A_nB_nC_n là tam giác trung bình của tam giác A_n-1B_n-1C_n-1. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S_n tương ứng là diện tích tam giác A_nB_nC_n. Tính tổng S = S₁ + S₂ + …+ S_n + …?

A. \[\frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^2}\].

B. \[\sqrt 3 {x^2}\].

C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}\].

D. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}{x^2}\].

Câu 12. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ ,A₃B₃C₃ , … sao cho A₁B₁C₁ là một tam giác đều cạnh bằng 6 và với mỗi số nguyên dương n ³ 2 , tam giác A_nB_nC_n là tam giác trung bình của tam giác A_n-1B_n-1C_n-1. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn nội tiếp tam giác A_nB_nC_n. Tính tổng S = S₁ + S₂ + …+ S_n + …?

A. \[S = \frac{{15\pi }}{4}\].

B. \[S = 4\pi \].

C. \[S = \frac{{9\pi }}{2}\].

D. \[S = 5\pi \].

Câu 13. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n} + 1}},\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\].

Tổng \[S = \frac{{1 - {u_1}}}{{{u_1}}} + \frac{{1 - {u_2}}}{{{u_2}}} + \frac{{1 - {u_3}}}{{{u_3}}} + ... + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} + ...\] thuộc khoảng nào sau đây?

A. (2;3).

B. (0;1) .

C. \[\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\].

D. (-2;0) .

Câu 14. Từ độ cao 63(m) của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \[\frac{1}{{10}}\] độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất biết quả bóng chỉ rơi xuống và nảy lên theo chiều thẳng đứng.

A. 63(m) .

B. \[\frac{{63}}{{10}}\] (m) .

C. 126(m) .

D. 77(m).

Câu 15. Cho dãy số (u_n) sao cho \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = \sqrt 2 }\\{{u_n} = {u_{n - 1}} - n,(n \ge 2)}\end{array}} \right.\]. Tìm lim u_n.

A. -¥ .

B. 0 .

C. \[\sqrt 2 \] .

D. -¥ .

Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên aÎ(0;100) để lim (aⁿ + sin n) = +¥ ?

A. 99.

B. 98.

C. 50.

D. 0 .

Câu 17. Cho dãy số (u_n) với \[{u_n} = \frac{{11}}{{3.5}} + \frac{{11}}{{5.7}} + ... + \frac{{11}}{{(2n - 1).(2n + 1)}}\]. Khi đó lim u_n bằng:

A. \[\frac{1}{2}\].

B. \[\frac{{11}}{2}\].

C. \[\frac{{11}}{3}\].

D. \[\frac{{11}}{6}\].

Câu 18. Cho dãy số (u_n) với \[{u_n} = \frac{{(3n + 1)(1 - 8n)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 3n - 9}}}}\]. Khi đó lim u­_n bằng:

A. -¥ .

B. -1.

C. +¥.

D. \[ - \frac{1}{3}\].

Câu 19. Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}({u_n} + 5)(u_n^2 + 5{u_n} + 16)} ,\forall n \in N*}\end{array}} \right.\].

Đặt \[{v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{n}{{u{}_i + 3}}} \], hãy tính lim v_n.

A. \[\frac{1}{5}\].

B. \[\frac{1}{4}\].

C. -¥.

D. +¥.

Câu 20. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1,{u_2} = 2021}\\{{u_{n + 2}} + {u_n} = 2({u_{n + 1}} + 1010),n \in N*}\end{array}} \right.\]. Tính lim u_n .

A. 1010.

B. -1010.

C. +¥.

D. -¥ .

Câu 21. Cho dãy số (x_n) được xác định như sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 1}\\{{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n}({x_n} + 1)({x_n} + 2)({x_n} + 3) + 1} (n \ge 1)}\end{array}} \right.\].

Đặt \[\frac{{{y_n}}}{{{x_n}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{x{}_i + 2}}} \]với n = 1, 2,.... . Tìm \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {y_n}\].

A. +¥

B. \[\frac{1}{2}\].

C. \[\sqrt 2 \]

D. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Câu 22. Gọi a b, là các giá trị để hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 1}},x <  - 1}\\{x + 1,x \ge  - 1}\end{array}} \right.\] có giới hạn hữu hạn khi x dần tới -1 . Tính a - b ?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 23. Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + mx)}^n} - {{(1 + nx)}^m}}}{{{x^2}}} = 15\], n + m = 11, n, m Î N. Khi đó n bằng:

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 24. Tính \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} .\sqrt[3]{{3x + 1}}\sqrt[4]{{4x + 1}} - 1}}{x}\].

A. A = 2.

B. A =1.

C. A = 9.

D. A = 3.

Câu 25. Tính \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt[3]{{x + 20}}}}{{\sqrt[4]{{x + 9}} - 2}}\].

A. \[L = \frac{{176}}{{27}}\].

B. \[L = \frac{{176}}{{27}}\].

C. \[L = \frac{{102}}{{27}}\].

D. \[L = \frac{{112}}{{27}}\].

Câu 26. Cho \[f(x)\]là đa thức thỏa mãn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 1}} = 10\]. Tính \[T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{4f(x) + 7}} - \sqrt {f(x) + 4} }}{{{x^2} + x - 2}}\].

A. \[\frac{5}{{81}}\].

B. - \[\frac{5}{{81}}\] .

C. \[\frac{{40}}{{81}}\].

D. - \[\frac{5}{9}\].

Câu 27. Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2a{x^2} + 30}  - bx - 5}}{{{x^3} - 3x + 2}} = c\]với a,b,c Î R. Tính giá trị P = a² + b² +36c.

A. 10.

B. 15.

C. 20.

D. 25.

Câu 28. Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {9x + 4}  - \sqrt[3]{{4{x^2} + 8}}}}{{\sin x}}} \right)\].

A. \[\frac{4}{9}\].

B. \[\frac{3}{2}\].

C. Không tồn tại.

D. \[\frac{9}{4}\].

Câu 29. Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 3}  - \sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + x - 3}}} \right)\]= -\[\frac{a}{b}\]với a, b Î N* và \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính a + b.

A. a + b = 5.

B. a + b = 6.

C. a + b = 4.

D. a + b = 7.

Câu 30. Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x\sin \left( {\frac{1}{{3x}}} \right)} \right) = \frac{a}{b}\]với a, b Î N* và \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính a - b.

A. a - b = - 6.

B. a - b = - 4.

C. a - b = - 2.

D. a + b = 0.

Câu 31. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {a{x^2} + 3x + 1}  - x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2}  + 2x}} = \frac{1}{3}\]. Giá trị a là:

A. -4.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 32. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{8{x^3} + 5{x^2}}} - \sqrt {4{x^2} - 3x} } \right) = \frac{a}{b}\] ( phân số tối giản). Tính \[P = 2a - 3b\].

A. \[P =  - 7\].

B. \[P =  - 10\].

C. \[P =  - 20\].

D. \[P =  - 2\].

Câu 33. Cho giới hạn \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^2} - 5\sin 2x + 7{{\cos }^2}x}}{{2{x^2} + 2}} = \frac{a}{b},(a,b \in R)\]. Khi đó \[a - b\] là:

A. 0 .

B. \[\frac{{ - 5}}{2}\].

C. \[\frac{7}{2}\] .

D. 1.

Câu 34. Cho b là một góc cho trước (đơn vị radian). Giới hạn : \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{{\sin }^3}\frac{\beta }{3} + 3.{{\sin }^3}\frac{\beta }{{{3^2}}} + {3^2}.{{\sin }^3}\frac{\beta }{{{3^3}}} + ... + {3^{x - 1}}.{{\sin }^3}\frac{\beta }{{{3^x}}}} \right) = \frac{{a - \sin b}}{c}\]. Tính \[T = a - b + 3c\].

A. T = -12.

B. T = -8.

C. T = 8.

D. T =12.

Câu 35. Cho các số thực a, b, c với a > 0 thỏa mãn \[{c^2} + a = 2\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx}  - cx} \right) =  - 3\]. Tính \[P = a + b + 5c\].

A. P = -28 .

B. P = 0 .

C. P = 28 .

D. P =1 .

Câu 36. Giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1}  - 2x} \right)\] bằng:

A. I = -¥ .

B. \[I = \frac{1}{4}\] .

C. \[I = \frac{{ - 1}}{4}\].

D. I = +¥ .

Câu 37. Giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} - 3x - 4} }}{{1 - {x^2}}}} \right)\]bằng:

A. I = -1.

B. I = -¥ .

C. I = 0.

D. I = +¥ .

Câu 38. Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}} \right)\]là:

A. -11.

B. 0 .

C. +¥.

D. -¥ .

Câu 39. Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {\frac{{{x^3} + {x^2}}}{{{{(x + 1)}^3}}}} \right)\]là:

A. 2 .

B. 1.

C. -¥ .

D. +¥.

Câu 40. Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 10}}{{x - 1}} = 5\] và \[g(x) = \sqrt {f(x) + 6}  - 2\sqrt[3]{{f(x) - 2}}\].

Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{(\sqrt x  - 1)g(x)}}\].

A. +¥.

B. \[\frac{{ - 5}}{{12}}\].

C. \[\frac{5}{{12}}\].

D. -¥ .