Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết, tài liệu bao gồm 58 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết

Chủ đề 4. Giới hạn

Bài 1:  Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \[\left| {{u_n}} \right|\]có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\]hay \[{u_n} \to 0\] khi \[n \to  + \infty \].

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a ) khi \[n \to  + \infty \], nếu \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({v_n} - a) = 0\]

Kí hiệu \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a\] hay \[{v_n} \to a\] khi \[n \to  + \infty \] .

2. Một vài giới hạn đặc biệt

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\]; \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\] với k nguyên dương;

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\] nếu |q| < 1;

Nếu u_n = c (c là hằng số) thì \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c\].

Chú ý: Từ nay về sau thay cho \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\]ta viết tắt là lim u_n = a.

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu \[\lim {u_n} = a\], \[\lim {v_n} = b\]thì

\[\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\]

\[\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\]

\[\lim ({u_n}{v_n}) = ab\]

\[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\]  (Nếu \[b \ne 0\])

b. Nếu \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lim {u_n} = a}\\{{u_n} \ge 0,\forall n}\end{array}} \right.\]thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a }\\{a \ge 0}\end{array}} \right.\].

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q , với \[\left| q \right|\] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \[S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}(\left| q \right| < 1)\]

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ , nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim (-u_n) = +∞ .

Kí hiệu: lim u_n = −∞ hay u_n → −∞ khi n → +∞.

Nhận xét: lim (u_n) = +∞ ⇔ lim (-u_n) = −∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

lim qⁿ = +∞ nếu q >1.

3. Định lí 2

Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\]= 0 .

Nếu lim u_n = a, lim v_n = 0 và v_n > 0 , ∀n > 0 thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\] =+∞

Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì lim u_n.v_n = +∞.

Câu hỏi trắc nghiệm

Vấn đề 1. Dãy số dạng phân thức

Câu 1. Kết quả của giới hạn \[\lim \left( {\frac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} \right)\]bằng:

A. −2.

B. 3.

C. 0.

D. \[\frac{5}{3}\].

Lời giải.

Ta có 0 ≤ |\[\frac{{\sin 5n}}{{3n}}\]| ≤ \[\frac{1}{n}\] mà \[\lim \frac{1}{n} = 0\]

nên \[\lim \frac{{\sin 5n}}{{3n}} = 0\], do đó \[\lim \left( {\frac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} \right)\]= -2. Chọn A.

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) :

Nhập \[\frac{{\sin 5X}}{{3X}} - 2\].

Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.

Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \[\lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}\]

A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. Vô số

Lời giải

Ta có \[\frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt n \sin 2n}}{n}\].

Điều kiện bài toán trở thành \[\lim \frac{{\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{n} = 0\].

Ta có \[\cos \frac{1}{n}\]= cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho \[\begin{array}{l}\lim \frac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim {n^{\frac{k}{2} - 1}} = 0 \Leftrightarrow \frac{k}{2} - 1 < 0\\\end{array}\]

không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn). Chọn A.

Câu 3. Kết quả của giới hạn \[\lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}\]  bằng:

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải. Ta có

\[\begin{array}{l}0 \le \left| {\frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}} \right| \le \frac{7}{{n + 1}} \le \frac{7}{n} \to 0\\ \to \lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} = 0\end{array}\]

Chọn B.

Câu 4. Kết quả của giới hạn \[\lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right)\]bằng:

A. 4.

B. \[\frac{1}{4}\].

C. 5.

D. −4.

Lời giải.

Ta có

\[\begin{array}{l}0 \le \left| {\frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \le \frac{1}{n} \to 0\\ \to \lim \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}} = 0\\ \to \lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 5\end{array}\]

Chọn C

Câu 5. Kết quả của giới hạn \[\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right)\]là:

A. −∞.

B. −2.

C. 0.

D. +∞.

Lời giải. Ta có \[\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right) = \lim {n^3}.\left( {\frac{1}{n}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2} \right)\]. Vì

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lim {n^3} =  + \infty }\\{0 \le \left| {\frac{1}{n}.\frac{{\sin n\pi }}{5}} \right| \le \frac{1}{n} \to 0}\end{array}} \right.\\ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lim {n^3} =  + \infty }\\{\lim \left( {\frac{1}{n}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2} \right) =  - 2 < 0}\end{array}} \right.\\ \to \lim {n^3}.\left( {\frac{1}{n}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2} \right) =  - \infty \end{array}\]

Câu 6. Giá trị của giới hạn \[\lim \left( {4 + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}} \right)\]bằng:

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Lời giải. Ta có

\[\begin{array}{l}0 \le \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{n} \to 0\\ \to \lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}} = 0\\ \to \lim \left( {4 + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}} \right) = 4\end{array}\]

Chọn C.

Câu 7. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có \[{u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 1}}\]và \[{v_n} = \frac{1}{{{n^2} + 2}}\]. Khi đó lim (u_n + v_n) có giá trị bằng: A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Lời giải. Ta có

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le |{u_n}| \le \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{1}{n} \to 0}\\{0 \le \left| {{v_n}} \right| \le \frac{1}{{{n^2} + 2}} \le \frac{1}{n} \to 0}\end{array}} \right.\\ \to \lim {u_n} = \lim {v_n} = 0\\ \to \lim ({u_n} + {v_n}) = 0\end{array}\]

Chọn B.

Chú ý : Cho P (n), Q (n) lần lượt là các đa thức bậc m k , theo biến n :

P (x) = a_mn^m + a_m-1n^m-1 +...+a₁n+ a₀ (a_m ≠ 0)

Q (n) = b_kn^k + b_k-1n^k-1 +...+b₁n+ b₀ (b_k ≠ 0)

Khi đó \[\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \lim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}\], viết tắt \[\frac{{P(n)}}{{Q(n)}} \sim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}\], ta có các trường hợp sau :

Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì \[\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = 0\].

Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì \[\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \frac{{{a_m}}}{{{b_k}}}\].

Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì \[\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ + \infty khi;{a_m}{b_k} > 0}\\{ - \infty khi;{a_m}{b_k} < 0}\end{array}} \right.\].

Để ý rằng nếu P (n), Q (n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể \[\sqrt[m]{{{n^k}}}\]thì có bậc là \[\frac{k}{n}\].  Ví dụ \[\sqrt n \] có bậc là \[\frac{1}{2}\], \[\sqrt[3]{{{n^4}}}\]có bậc là \[\frac{4}{3}\] ,...

Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !

Câu 8. Giá trị của giới hạn \[\lim \frac{{ - 3}}{{4{n^2} - 2n + 1}}\] là:

A. \[ - \frac{3}{4}\]

B. −∞.

C. 0.

D. −1.

Lời giải. Ta có \[\lim \frac{{ - 3}}{{4{n^2} - 2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{{ - 3}}{{{n^2}}}}}{{4 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{4} = 0\] . Chọn C

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Câu 9. Giá trị của giới hạn \[\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n - 1}}\] bằng:

A. 2.

B. 1.

C. \[\frac{2}{3}\].

D. 0.

Lời giải. Ta có \[\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n - 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0\].

Câu 10. Giá trị của giới hạn \[\lim \frac{{3{n^3} - 2n + 1}}{{4{n^4} + 2n + 1}}\] là:

A. +∞.

B. 0.

C. \[\frac{2}{7}\].

D. \[\frac{3}{4}\].

Lời giải.

 Ta có \[\lim \frac{{3{n^3} - 2n + 1}}{{4{n^4} + 2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}}{{4 + \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = \frac{0}{4} = 0\]. Chọn B.

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Câu 11. Giá trị của giới hạn \[\lim \frac{{n\sqrt n  + 1}}{{{n^2} + 2}}\] bằng:

A. \[\frac{3}{2}\].

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải. Ta có \[\lim \frac{{n\sqrt n  + 1}}{{{n^2} + 2}} = \lim \frac{{\frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\]. Chọn D.

Giải nhanh : \[\frac{{n\sqrt n  + 1}}{{{n^2} + 2}} \sim \frac{{n\sqrt n }}{{{n^2}}} = \frac{1}{{\sqrt n }} \to 0\]

Câu 12. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có \[{u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\] và \[{v_n} = \frac{2}{{n + 2}}\]. Khi đó \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\] có giá trị bằng:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Lời giải. Ta có

\[\begin{array}{l}\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \lim \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\\ = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{2}{n}}} = \frac{1}{1} = 1\end{array}\]

Chọn A.

Giải nhanh : \[\lim \frac{{n + 1}}{{n + 2}} \sim \frac{n}{n} = 1\].

Câu 13. Cho dãy số (u_n)  với \[{u_n} = \frac{{an + 4}}{{5n + 3}}\] trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u_n) có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:

A. a =10.

B. a = 8.

C. a = 6.

D. a = 4.