Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập Toán hình lớp 11 Bài 1 có đáp án: Vectơ trong không gian, tài liệu bao gồm 19 trang, tổng hợp đầy đủ lí thuyết công thức và bài tập có đáp án Bài 1 Toán hình 11, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

5 dạng bài tập Vectơ trong không gian lớp 11

Phần 1: Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian

A. Phương pháp giải

Các phép toán về vecto cần nhớ:

+) AB→ + BC→ = AC→

+) OM→ - ON→ = NM→

+) Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB→ + AD→ = AC→

+) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D', ta có: AB→ + AD→ + AA'→ = AC'→

+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

IA→ + IB→ = 0→ và OA→ + OB→ = 2OI→

+) Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

GA→ + GB→ + GC→ = 0→;    OA→ + OB→ + OC→ = 3OG→

+) Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→;    OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 4OG→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A; B; C; D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A; B; C; D tạo thành hình bình hành là

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

BD→ = BA→ + BC→

+ Với mọi điểm O bất kì khác A; B; C; D ta có:

BD→ = BA→ + BC→ ⇔ OD→ - OB→ = OA→ - OB→ + OC→ - OB→ ⇔ OA→ + OC→ = OB→ + OD→

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→; SB→ = b→; SC→ = c→; SD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a→ + c→ = d→ + b→

B. a→ + b→ = c→ + d→

C. a→ + d→ = b→ + c→

D. a→ + b→ + c→ + d→ = 0→

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I; J lần lượt là trung điểm AB và CD).

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .

D. Chưa thể xác định được.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Xét phương án A:

   + Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.

   + Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ⇔ 2GI→ + 2GJ→ = 0→ ⇔ GI→ + GJ→ = 0→

⇒ G là trung điểm đoạn IJ.

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AB→ + B₁C₁→ + DD₁→ = kAC₁→

A. k = 4               B. k = 1               C. k = 0               D. k = 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Ta có: AB→ + B₁C₁→ + DD₁→ = AB→ + BC→ + CC₁→ = AC₁→

Nên k = 1.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A₁B₁C₁ . Đặt AA₁→ = a→; AB→ = b→; AC→ = c→; BC→ = d→;trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn C.

+ Ta có:

Ví dụ 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ = CD→.

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB→ + SD→ = SA→ + SC→ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + AC→ = AD→.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét phương án C:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁ với tâm O. Chọn đẳng thức sai.

Lời giải:

Chọn A

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có :

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; CD và G là trung điểm của MN. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MG→

B. GA→ + GB→ + GC→ = GD→

C. GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→

D. GM→ + GN→ = 0→

Lời giải:

Chọn B.

Do M ; N ; G lần lượt là trung điểm của AB ; CD ; MN theo quy tắc trung điểm :

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: GS→ + GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. G; S; O không thẳng hàng.

B. GS→ = 4OG→

C. GS→ = 5OG→

D. GS→ = 3OG→

Lời giải:

Chọn B

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn đẳng thức sai?

Lời giải:

Chọn D.

Ta xét các phương án :

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P; Q là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

Lời giải:

Chọn B

Ta có: PQ→ = PB→ + BC→ + CQ→     (1)

Và PQ→ = PA→ + AD→ + DQ→     (2)

Từ (1) và (2) vế cộng vế ta được:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→; SB→ = b→; SC→ = c→; SD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MG→

B. GA→ + GB→ + GC→ = GD→

C. GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→

D. GM→ + GN→ = 0→

Lời giải:

Chọn A

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

Phần 2: Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

A. Phương pháp giải

* Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a→; b→ không cùng phương và vectơ c→ . Khi đó ba vectơ a→; b→; c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số (m, n) là duy nhất.

* Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→; b→; c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoài ra bộ ba số (m, n, p) là duy nhất.

* Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và trung điểm đoạn thẳng...

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’. Đặt CA→ = a→, CB→ = b→, AA'→ = c→ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta phân tích:

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC'→ = u→, CA'→ = v→, BD'→ = x→, DB'→ = y→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng quy tắc 3 điểm : AB→ + BC→ = AC→ ta được :

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x→ = AB→, y→ = AC→, z→ = AD→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M là trung điểm CD

Ta có :

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC'→ = u→, CA'→ = v→, BD'→ = x→, DB'→ = y→. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+ Gọi J; K lần lượt là trung điểm của AB; CD.

+ Ta có:

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC. Ta có:

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của BC suy ra BM→ = (1/2).BC→

Ta có

Chọn A

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Vì M; P lần lượt là trung điểm của AB; CD ⇒ 

Ta có:

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

Lời giải:

Chọn B.

A. Sai vì

B. Đúng vì

C. Sai. theo câu B suy ra

D. sai vì BB₁→ + B₁A₁→ + B₁C₁→ = BA₁→ + BC→ = BD₁→

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

Lời giải:

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp:

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c→. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC'→ qua các vectơ a→, b→, c→.

Lời giải:

Chọn D.

Ta có:

Câu 4: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải:

Chọn C

+ A đúng theo định nghĩa trọng tâm tứ diện.

+ B đúng do tính chất của trọng tâm tứ diện.

+ Do G là trọng tâm tứ diện ABCD

⇒ D đúng

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN→ = k(AC→ + BD→)

A. k = (1/2)                    B. k = (1/3)                    C. k = 3                    D. k = 2

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

Lời giải:

Chọn D

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên:

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng.

Lời giải:

Chọn D

Xét phương án D; áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc phép trừ hai vecto ta có :

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→ gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt a→ = AA'→, b→ = AB→, c→ = AC→. Gọi G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Vectơ AG'→ bằng:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của B’C’

Vì G’ là trọng tâm của tam giác

Ta có

Chọn B.

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. a→ = AA'→, b→ = AB→, c→ = AC→. Hãy biểu diễn vectơ B'C→ theo các vectơ a→, b→, c→

Lời giải:

Vì BB’C’C là hình bình hành nên

Chọn D

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB→ = a→, AC→ = b→, AA'→ = c→. Gọi I là trung điểm của B’C’; K là giao điểm của A’I và B’D’. Mệnh đều nào sau đây đúng ?

Lời giải:

+ Vì I là trung điểm của 

Và K là giao điểm của A’I và B’D’ nên theo định lí Talet 

+ Ta có

Chọn A.

Phần 3: Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương

A. Phương pháp giải

+ Hai vecto a→ và b→ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:

    - Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

    - Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a→ = k.b→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ - 3b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Ta có: v→ = -6a→ - 3b→ = -3(2a→ + b→)

⇒ v→ = -3u→

⇒ u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ - b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai vectơ y→, z→ cùng phương

B. Hai vectơ x→, y→ cùng phương

C. Hai vectơ x→, z→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Nhận thấy: y→ = -2x→ nên hai vectơ x→, y→ cùng phương.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ .

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.

D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chọn C

A. Đúng vì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→

⇔ OA→ + OB→ + 2OC→ + 2OD→ = O→

Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt

B. Đúng.

Ta có:

C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.

D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = - 1

⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.

Ví dụ 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ - 3b→ và v→ = 3a→ - 9b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→

Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hai vecto MN→ và DD'→ là cùng phương

B. Hai vecto AM→ và B'C→ là cùng phương

C. Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương

D. Hai vecto DN→ và MA'→ là cùng phương

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác AMCN có:

AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD

AM // CN

⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒ AN // MC nên Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương.

Chọn C

Ví dụ 6: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. B'B→                        B. C'C→                        C. AA'→                        D. AB'→

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

⇒ AA'→ cùng hướng với vecto IJ→

chọn C

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = a→ - 2b→ và v→ = 3a→ - 5b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Lời giải:

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→

Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.

Chọn D

Câu 2: Cho hai điểm phân biệt A; B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OA→ + OB→

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = kBA→

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = kOA→ + (1-k)OB→

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = k(OB→ - OA→)

Lời giải:

Chọn C

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M; N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD' bằng?

A. (1/3)                   B. (1/2)                    C. 1                    D. (2/3)

Lời giải:

Chọn A

Vậy các điểm M; N được xác định bởi

Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. GG'→                        B. GA'→                        C. AG'→                        D. AB'→

Lời giải:

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

+ Do G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên GG’// BB’// IJ

⇒ vecto IJ→ cùng hướng với vecto GG'→.

Chọn A

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hai vecto NM→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

B. Hai vecto PQ→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

C. Hai vecto PQ→ và NM→ cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .

Lời giải:

+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC. (1)

+ Xét tam giác SAB có P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ PQ // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ.

⇒ Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .

Chọn D

Phần 4: Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng

A. Phương pháp giải

* Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c→ = ma→ + nb→ thì a→ ; b→ ; c→ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ x ⃗ theo ba vectơ a→; b→; c→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x→ = ma→ + nb→ + pc→ .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?

A. IK→ = (1/2)AC→ = (1/2)A'C'→

B. Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

C. BD→ + 2IK→ = 2BC→

D. Ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ không đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta xét các phương án:

+ A đúng do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’.

+ B đúng do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK // AC

⇒ bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

+ C đúng do việc ta phân tích:

+ D sai do giá của ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→ ; b→ ; c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ + b→, y→ = a→ - b→ - c→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

B. Ba vectơ x→, a→ cùng phương

C. Ba vectơ x→, b→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đôi một cùng phương

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BD→, AK→, GF→ đồng phẳng

B. BD→, IK→, GF→ đồng phẳng

C. BD→, EK→, GF→ đồng phẳng

D. BD→, IK→, GC→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Xét tam giác FAC có I; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

⇒ IK // AC nên IK // mp (ABCD) .

+ BC // GF nên GF // mp(ABCD)

+ 

Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có một vectơ 0→ thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có giá ba vecto AB→; AD→ và AA'→ đôi một cắt nhau nhưng ba vecto đó không đồng phẳng.

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M; N sao cho AM= 3MD; BN= 3NC. Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng.

B. Các vectơ MN→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

C. Các vectơ AB→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

D. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng

B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng

C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng

D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn C.

A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .

D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ x→ = a→ + b→ + 2c→, y→ = 2a→ - 3b→ - 6c→, z→ = -a→ + 3b→ + 6c→ đồng phẳng.

B. Các vectơ x→ = a→ - 2b→ + 4c→, y→ = 3a→ - 3b→ + 2c→, z→ = 2a→ - 3b→ - 3c→ đồng phẳng.

C. Các vectơ x→ = a→ + b→ + c→, y→ = 2a→ - 3b→ + c→, z→ = -a→ + 3b→ + 3c→ đồng phẳng.

D. Các vectơ x→ = a→ + b→ - c→, y→ = 2a→ - b→ + 3c→, z→ = -a→ - b→ + 2c→ đồng phẳng.

Lời giải:

Chọn B

Các vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng ⇔ ∃ m, n: x→ = my→ + nz→

+ Xét phương án C :

Câu 2: Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI→ = k(PA→ + PB→ + PC→ + PD→)

A. k = 4                  B. k = 1/2                  C. k = 1/4                  D. k = 2

Lời giải:

Chọn C

Do M ; N lần lượt là trung điểm của AC ; BD nên ta có:

Vậy k = 1/4

Câu 3: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI→ = (1/2) (OA→ + OB→)

B. Vì AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ nên bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng

C. Vì NM→ + NP→ = 0→ nên N là trung điểm đoạn NP

D. Từ hệ thức AB→ = 2AC→ - 8AD→ ta suy ra ba vectơ AB→, AC→, AD→ đồng phẳng

Lời giải:

Chọn B.

Do AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ đúng với mọi điểm A : B ; C ; D nên câu B sai

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB→ = 3AC→ ta suy ra BA→ = -3CA→

B. Nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì B là trung điểm đoạn AC.

C. Vì AB→ = -2AC→ + 5AD→ nên bốn điểm A ; B ; C ; D đồng phẳng

D. Từ AB→ = -3AC→ ta suy ra CB→ = 2AC→ .

Lời giải:

Chọn C

Ta xét các phương án:

+ Phương án A: Nếu AB→ = 3AC→ thì BA→ = 3CA→ ⇒ A sai.

+ Phương án B: nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì A là trung điểm của BC. ⇒ B sai

+ Phương án C:

Ta có: AB→ = -2AC→ + 5AD→

Suy ra: AB→, AC→, AD→ hay bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng. ⇒ C đúng

+ Nếu AB→ = -3AC→ thì AC→ + CB→ = -3AC→ hay CB→ = -4AC→ nên D sai.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC; SB, AB và AC. Tìm mệnh đề sai ?

A. Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương

B. Ba vecto MN→; PQ→ và BC→ đồng phẳng

C. Ba vecto MN→; BC→ và AC→ đồng phẳng

D. A đúng và B sai

Lời giải:

+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN là đường trung bình của tam giác.

⇒ MN // BC; MN = 1/2 BC     (1)

+ Tương tự; ta chứng minh được PQ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ PQ // BC; PQ = 1/2 BC     (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra: MN//PQ nên Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương .

Chọn D

Phần 5: Chứng minh đẳng thức vectơ

A. Phương pháp giải

+ Để chứng minh các đẳng thức vecto ta cần sử dụng các quy tắc ba điểm; quy tắc hình hộp; quy tắc hình bình hành; tính chất trọng tâm tam giác hay hệ thức trung điểm đoạn thẳng...

+ Biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản còn lại hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức vecto khác.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đặt AA'→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c→, BC→ = d→. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Hướng dẫn giải

Ta có 

Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Hướng dẫn giải

Theo quy tắc hình hộp, ta có AC→ = AB→ + AD→ + AA'→

Mà O là trung điểm của AC’ suy ra

AO→ = (1/2).AC'→ = (1/2).(AB→ + AD→ + AA'→)

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABDC.A₁B₁C₁D₁. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

Chọn B

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. AC'→ = 3AG→

B. AC'→ = 4AG→

C. BD'→ = 4BG→

D. BD'→ = 3BG→

Hướng dẫn giải

Cách 1. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ⇒ I là trung điểm của BD.

Ta có

Cách 2. Theo quy tắc hình hộp, ta có 

Do G là trọng tâm của tam giác AB’C suy ra

Chọn D

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ MN→ = k.(AC→ + BD→)

A. k = 1/2                 B. k = 1/3                 C. k = 3                 D. k = 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→, SB→ = b→,SC→ = c→, SD→ = d→. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Lời giải:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Vì O là trung điểm của AC suy ra

Và O là trung điểm của BD suy ra

Từ (1) và (2), suy ra a→ + b→ = c→ + d→

Chọn A

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn GS→ + GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. G; S; O không thẳng hàng.

B. GS→ = 4OG→

C. GS→ = 5OG→

D. GS→ = 3OG→

Lời giải:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra

OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0→

Ta có GS→ + GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ = GS→ + 4GO→ + OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0→ ⇔ GS→ + 4GO→= 0→ ⇔ GS→ = 4OG→ ⇒ ba điểm G; S, O thẳng hàng

Chọn B.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_o là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Lời giải:

Vì G₀ là giao điểm của đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD)

Suy ra G₀ là trọng tâm của tam giác BCD

Chọn C

Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Lời giải:

Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra

Mà G là trung điểm của MN

⇒ 

Khi đó

Chọn B.

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ

A, k = 4                         B. k = 1                         C. k = 0                         D. k = 2

Lời giải:

Ta có

Chọn B

Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ AC→ + BA'→ + k.(DB→ + C'D→) = 0→

A. k = 0                         B. k = 1                          C. k = 4                         D. k = 2

Lời giải:

Chọn B.

Câu 7: Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ IA→ + (2k - 1)IB→ + k.IC→ + ID→ = 0→

A. k = 2                         B. k = 4                         C. k = 1                         D. k = 0

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Mặt khác IM→ + IN→ = 0→ (do I là trung điểm của MN) ⇔ IA→ + IB→ + IC→ + ID→ = 0→

Ta có

suy ra k - 1 = 0 hay k = 1

Chọn C.

Câu 8: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ PI→ = k(PA→ + PB→ + PC→ + PD→)

A. k = 4                         B. k = 1/2                         C. k = 1/4                         D. k = 2

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

⇒ 

Mặt khác IM→ + IN→ = 0→ (do I là trung điểm của MN) ⇔ IA→ + IB→ + IC→ + ID→ = 0→

Khi đó

Chọn C