Đáp án: a - B, b - D

a. $\overrightarrow{B\text{'}C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB\text{'}}=\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

b. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}})=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Đáp án: a - A, b - C, c - D

a. MQ=1$\underset{MQ}{\to }= \frac{1}{2}\underset{BD}{\to }=\frac{1}{2}.(\underset{AD}{\to }-\underset{AB}{\to })=\frac{1}{2}(\underset{c}{\to }-\underset{a}{\to })$

b.Loại ngay hai phương án A và B vì $\overrightarrow{MP}$ không đồng phẳng có vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$. Phương án đúng là C vì $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$

c. Phương án A loại vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$ ($\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$) đúng nhưng chưa chứng tỏ được bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Phương án B loại vì đẳng thức. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ)}$ sai

Phương án C loại vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}$ đúng nhưng không liên quan đến hai điểm N và Q.

Phương án D đúng vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}$ đúng và chứng tỏ ba vecto $\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng.

Đáp án: a - B, b - C

Đáp án: a - A, b - D, c - C

a. MA² = ($\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}$)² = ME² + EA² + 2$\overrightarrow{ME}$.$\overrightarrow{EA}$

MB² = ($\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}$)² = ME² + EB² + 2$\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{EB}$

Suy ra: MA² + MB² = 2ME² + 2a² (do $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$)

b. Tương tự MC² + MD² = 2MF² + 2b²

c. Tương tự ME² + MF² = 2MG² + 2c²

d. MA² + MB² + MC² + MD² = 2ME² + 2MF² + 2a² + 2b² = 4MG² + 2(a² + b² + c²)

Đáp án: D

Đáp án: a - C, b - D, c - C

 Phương án A sai vì $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$ ≠ |$\overrightarrow{SA}$|.|$\overrightarrow{SB}$| = a²

Phương án B sai vì:

Phương án C đúng:

Phương án D sai vì $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}$ ≠ -|$\overrightarrow{AS}$ |.|$\overrightarrow{AB}$ | = -a²

 Tam giác SAC; SAB là tam giác đều

tam giác SCB; ABC vuông cân.

Đáp án: C

Phần dẫn ví dụ 1 là một câu chưa hoàn chỉnh, người làm chắc nghiệm phải lựa chọn một trong bốn phương án đưa ra để được một khẳng định đúng.

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto

($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{QC}$), ($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PD}$) và ($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{QC}$) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{MA}-m\overrightarrow{PD}$

Đáp án: a - C, b - A

a) Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN// AC và $MN = \frac{1}{2}AC$  (1)

Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MNPQ là hình bình hành ( có các cạnh đối song song và bằng nhau

 ⇒ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$     (3)

Lại có: $\overrightarrow{QP}$ = $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$     (4)

Từ (3); (4) ⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+0.\overrightarrow{AD}$

Do đó, 3 vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

b) Phương án A là đúng.

B sai vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}AC$ nên 3 vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

C sai vì $\overrightarrow{QM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ nên 3 vecto $\overrightarrow{QM}; \overrightarrow{BD}; \overrightarrow{AC}$ đồng phẳng

D sai vì $\overrightarrow{QP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên 3 vecto $\overrightarrow{QP}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{CD}$ đồng phẳng

Đáp án: C

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng; nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Đáp án: C

Bài 11 Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy là góc nào dưới đây?

A. $\widehat{SAC}$ ;

B. $\widehat{SBC}$ ;

C. $\widehat{SCA}$ ;

D. $\widehat{CSA}$ .

Bài 1: Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

a) Những vecto khác $\overrightarrow{0}$ bằng nhau là:

$\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{CI}; \overrightarrow{QP}$

$\overrightarrow{MI}; \overrightarrow{IQ}; \overrightarrow{QM}$

$\overrightarrow{MQ}; \overrightarrow{NP}; \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD})$

$\overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{NP}, \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB)}$

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ bằng:

A. 4$\overrightarrow{AG}$   

B. 2$\overrightarrow{AG}$

C. $\overrightarrow{AG}$      

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}$

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian. 

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

1. Định nghĩa.

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{x};\overrightarrow{y}\mathrm{....}$

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học không gian.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\overrightarrow{DA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{DC}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}\\ =\overrightarrow{DC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\overrightarrow{BC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{DC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BA}\end{array}$

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{0}$. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Xét  tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là  đường trung bình của tam   giác.

$\Rightarrow$ IK// AC nên  IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}IK\text{//}\left(ABCD\right)\\ GF\text{//}\left(ABCD\right)\\ BD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương và vecto $\overrightarrow{c}$. Khi đó, ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$. Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$. Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$. Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’ . Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{A\text{}A\text{'}}=\overrightarrow{c}$. Phân tích vecto $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

 Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ (vì  M là  trung  điểm của BB’) .

$=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$