Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân, tài liệu bao gồm 57 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Phần III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 1: Các phương pháp giải bài tập trắc nghiệm nguyên hàm

Bài 2: Các phương pháp giải bài tập trắc nghiệm tích phân

Phần IV Số phức

Phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân

Phần III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 1: Các phương pháp giải bài tập trắc nghiệm nguyên hàm

I. Kiến thức cơ bản

1. Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên I nếu \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi x thuộc I.

Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng I thì:

a) Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).

b) Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.

2. Bảng các nguyên hàm

Các phương pháp tìm nhanh đáp án

\[\begin{array}{*{20}{c}}{\smallint \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\\{\smallint \frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cot x + C}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}{\smallint \frac{{du}}{{{{\cos }^2}u}} = \tan u + C}\\{\smallint \frac{{du}}{{{{\sin }^2}u}} =  - \cot u + C}\end{array}\]

3. Các tính chất của nguyên hàm

1. \(\int a f(x)dx = a \cdot \int f (x)dx\) với \(a \ne 0\)

2. \[\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx\]

3. \(\int f (t)dt = F(t) + C \Rightarrow \int f (u)du = F(u) + C\)

4. Phương pháp đổi biến

Các phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Cơ sở của công thức đổi biến số là công thức sau:

Định lí:

a. Nếu \(\int f (x)dx = F(x) + C\) và \(u = \varphi (x) + C\) là hàm số có đạo hàm thì \(\int f (u)du = F(u) + C\)

b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt \(x = \varphi (t)\) trong đó \(\varphi (t)\) cùng với đạo hàm của nó \({\varphi ^\prime }(t)\) là những hàm số liên tục, ta sẽ được \(\int f (x)dx = \int f [\varphi (t)] \cdot {\varphi ^\prime }(t)dt\)

Từ đó, chúng ta thấy có hai phương pháp đổi biến gọi là dạng 1 và dạng 2 .

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 tìm nguyên hàm của hàm số f(x) chúng ta thực hiện theo các bước :

Bước 1: Chọn \(x = \varphi (t)\), trong đó \(\varphi (t)\) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân \(dx = {\varphi ^\prime }(t)dt\)

Bước 3: Biểu thị \(f(x)dx\) theo \(t\) và dt. Giả sử rằng: \(f(x)dx = g(t)dt\)

Bước 4: Khi đó: \(\int f (x)dx = \int g (t)dt\)

Luu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 tìm nguyên hàm của hàm số f(x), chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn \(t = \varphi (x)\), trong đó \(\varphi (x)\) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định \(x = \psi (t)\) (nếu có thể).

Buoớc 2: Xác định vi phân \(dt = {\varphi ^\prime }(x)dx\)

Buơóc 3: Biểu thị \(f(x)dx\) theo \({\rm{t}}\) và dt. Giả sử rằng: \(f(x)dx = g(t)dt\)

Bước 4: Khi đó: \(\int f (x)dx = \int g (t)dt\)

Luu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Dấu hiệu

- Hàm có mẫu số

- Có thể chọn : t là mẫu số

5. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần được sử dụng khá phổ biến trong việc tìm nguyên hàm. Cơ sở của phương pháp là định lí sau:

Định lí: Nếu \(u(x),v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên I thì:

\(\int u (x) \cdot {v^\prime }(x) \cdot dx = u(x) \cdot v(x) - \int v (x) \cdot {u^\prime }(x) \cdot dx\)

hoặc viết \(\int u dv = u.v - \int v .du\)

Để tìm nguyên hàm của các hàm số f(x) bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi: \(I = \int f (x)dx = \int {{f_1}} (x) \cdot {f_2}(x)dx\)

Bước 2: Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {f_1}(x)}\\{dv = {f_2}(x)dx}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du}\\v\end{array}} \right.} \right.\)

Bưóc 3: Khi đó: \(I = u.v - \int v .du\)

Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm, chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.

b. Tích phân bất định \(\int v  \cdot du\) được xác định một cách dễ dàng hơn so với I

Các phương pháp giải bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = \cos x\) và \({\rm{F}}(0) = 0\) thì F(x) là:

A. \(1 + \sin x\)

B. \(\sin x\)

C. \(1 - \sin x\)

D. \( - \sin x\)

Đáp số trắc nghiệm là B.

Lò̀i giải tự luận: Với hàm số \(f(x) = \cos x\) thì: \(F(x) = \sin x + C\)

Khi đó, để \(F(0) = 0\) điều kiện là:

\(0 = \sin 0 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) = \sin x\), ứng với đáp án B.

Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1 : Ta lần lượt đánh giá:

- Nguyên hàm của hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \) có dạng \(F(x) = \sin x + C\) nên các đáp án C và D bị loại

- Vì \(\sin 0 = 0\) nên đáp án A bị loại.

Do đó,việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

Lụa chọn đáp án bằng phép thủ 2: Ta lần lượt đánh giá:

- Vì \({(\sin x)^\prime } = \cos x\) nên các đáp án C và D bị loại.

- Với \(x = 0\) thì \(1 + \sin 0 = 1\) nên đáp án A bị loại

Do đó, việc lựa chọ đáp án B là đúng

Lưa chọn đáp án bằng phép thủ 3: Ta lần lượt đánh giá

- Vì sin 0 = 0 nên đáp án A và C bị loại bởi F(0)=1

- Với hàm số trong \({\rm{B}}\) thì: \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {{\rm{F}}^\prime }({\rm{x}}) = \cos {\rm{x}}\), thỏa mãn.

Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

- Trong cách giải tự luận chúng ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số.

Bước 2: Xác định C bằng việc sử dụng giả thiết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M.

- Trong cách lụa chọn đáp án bằng phép thủ 1 chúng ta loại trừ dần bằng cách việc thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, chúng ta loại bỏ được các đáp án C và D bởi nó không có dạng - sinx.

Bước 2: Tính giá trị của sinx tại x = 0, để loại bỏ được đáp án A

- Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử 2 , chúng ta loại trừ dần bằng cách việc thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, chúng ta loại bỏ được các đáp án C và D

Bước 2: Thử tại x = 0 cho đáp án A, để định được đáp án A là sai. Từ đó khẳng định việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

- Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử 3 chúng ta thực hiện phép thử theo các đáp án

Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số và đồ thị của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{F}}({\rm{x}})\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right)\) thì F(x) là:

A. \(\sqrt 3  - \tan x\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \tan x\)

C. \( - \sqrt 3  + \tan x\)

D. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \tan x\)

Đáp số trắc nghiệm là D.

 Lời giải tự luận: Với hàm số \(y = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) thì \({\rm{F}}({\rm{x}}) = \tan {\rm{x}} + {\rm{C}}\).

Khi đó, để đồ thị của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{F}}({\rm{x}})\) đi qua đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right)\) điều kiện là: \(0 = \tan \frac{\pi }{6} + C \Leftrightarrow C =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow F(x) = \tan x - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), ứng với đáp án D

> Lụa chọn đáp án bằng phép thử 1: Ta lần lượt đánh giá:

- Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) có dạng \({\rm{F}}({\rm{x}}) = \tan {\rm{x}} + {\rm{C}}\) nên các đáp án A và B bị loại

- Vì \(\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên đáp án C bị loại

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

Lựa chọn đáp án bằng phép thử 2: Ta lần lượt đánh giá:

- Vì \({(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}{\rm{x}}}}\) nên các đáp án A và B bị loại.

- Với \(x = \frac{\pi }{6}\) thì \(\tan \frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = 0\) nên đáp án D là đúng.

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

> Lựa chọn đáp án bằng phép thử 3: Ta lần lượt đánh giá:

- Vì \(\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên các đáp án A và C bị loại vì nó không đi qua M.

- Với hàm số trong B thì: \(f(x) = {F^\prime }(x) =  - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), không thỏa mãn nên đáp án B bị loại

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được các đáp án đúng cho bài toán trên thì:

- Trong cách giải tự luận, chúng ta thực hiện tương tự như bài 1 .

- Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, chúng ta loại trừ dần bằng cách việc thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, chúng ta loại bỏ được các đáp án A và \({\rm{B}}\) bởi nó không có dạng - tanx.

Bước 2: Tính giá trị của tanx tại \(x = \frac{\pi }{6}\), để loại bỏ được đáp án C

- Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, chúng ta loại trừ dần bằng cách việc thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, chúng ta loại bỏ được các đáp án A và B.

Bước 2: Thử tại \(x = \frac{\pi }{6}\) cho đáp án D, để định được đáp án D là đúng đắn.

- Trong cách lưa chọn đáp án bằng phép thủ 3 chúng ta thực hiện phép thử theo các đáp án

Câu 3: Nếu F(x) là một nguyên hàm của \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 2{\rm{x}} + 1\) và \({\rm{F}}(2) = 2\) thì F(x) là:

A. \({x^2} + x - 1\)

B. \({x^2} + x - 2\)

C. \({x^2} + x - 3\)

D. \({x^2} + x - 4\)

Đáp số trắc nghiệm là D.

 Lời giải tự luận: Với hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 2{\rm{x}} + 1\) thì: \(F(x) = {x^2} + x + C\).

Khi đó, để \({\rm{F}}(2) = 2\) điều kiện là: \(2 = 4 + 2 + C \Leftrightarrow C =  - 4\)

\( \Rightarrow F(x) = {x^2} + x - 4\), ứng với đáp án D.

> Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1 ( Từ trái qua phải ): Ta lần lượt đánh giá:

- Với hàm số trong A thì:

\({\rm{F}}(2) = 4 + 2 - 1 = 5\), không thỏa mãn nên đáp án A bị loại

- Với hàm số trong B thì:

\({\rm{F}}(2) = 4 + 2 - 2 = 4\), không thỏa mãn nên đáp án B bị loại

- Với hàm số trong C thì:

\({\rm{F}}(2) = 4 + 2 - 3 = 3\), không thỏa mãn nên đáp án C bị loại

Do đó việc lựa chọn đáp án \({\rm{D}}\) là đúng đắn.

> Lựa chọ đáp án bằng phép thỬ 2 ( Từ trái qua phải ): Ta lần lượt đánh giá:

Với hàm số trong \({\rm{D}}\) thì: \({\rm{F}}(2) = 4 + 2 - 4 = 23\), thỏa mãn

Do đó việc lựa chọn đáp án \({\rm{D}}\) là đúng đắn.