Trả lời nhanh
Phương sai và độ lệch chuẩn bảng ghép lớp. Với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, em thay mỗi lớp [a; b) bằng giá trị đại diện ci = (a + b)/2, tính số trung bình x̄ = (n1c1 + … + nkck)/n, rồi tính phương sai s2 = [n1(c1 − x̄)2 + … + nk(ck − x̄)2]/n (hoặc dùng tần suất fi thay cho ni/n). Độ lệch chuẩn s = √s2, cùng đơn vị với số liệu. Ví dụ: 40 học sinh có thời gian làm bài trung bình 33,5 phút thì s2 = 27,75 và s ≈ 5,27 phút.
Phương pháp tính phương sai và độ lệch chuẩn cho bảng ghép lớp
Bảng phân bố ghép lớp (chương trình mới gọi là mẫu số liệu ghép nhóm) không cho biết từng giá trị cụ thể, chỉ cho biết có bao nhiêu số liệu rơi vào mỗi khoảng. Vì vậy ta coi mọi số liệu trong một lớp đều bằng giá trị chính giữa lớp đó. Dạng bài này từng nằm trong Toán 10 chương trình cũ; theo chương trình hiện hành, em gặp lại nó ở Toán 12, phần các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
Các bước giải
- Lập bảng tính: mỗi lớp [ai; bi) ghi giá trị đại diện ci = (ai + bi)/2 và tần số ni (hoặc tần suất fi). Tính cỡ mẫu n = n1 + n2 + … + nk.
- Tính số trung bình: x̄ = (n1c1 + n2c2 + … + nkck)/n = f1c1 + f2c2 + … + fkck.
- Tính phương sai theo một trong hai công thức tương đương:
- Công thức định nghĩa: s2 = (1/n)·[n1(c1 − x̄)2 + … + nk(ck − x̄)2] = f1(c1 − x̄)2 + … + fk(ck − x̄)2.
- Công thức rút gọn: s2 = (1/n)·(n1c12 + … + nkck2) − x̄2, thuận tiện khi x̄ là số lẻ.
- Tính độ lệch chuẩn: s = √s2. Nhớ ghi đơn vị (cm, kg, phút…) cho x̄ và s; phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị đó.
Ý nghĩa của hai số đặc trưng
Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình. Độ lệch chuẩn càng nhỏ thì số liệu càng tập trung, nhóm đối tượng càng “đồng đều”. Khi so sánh hai mẫu có cùng đơn vị và số trung bình gần nhau, mẫu nào có s nhỏ hơn thì ổn định hơn.
Lưu ý: trong sách giáo khoa phổ thông, phương sai được chia cho n. Một số tài liệu thống kê dùng phương sai hiệu chỉnh (chia cho n − 1); em chỉ dùng cách này khi đề bài yêu cầu rõ.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Bảng tần số ghép lớp
Thời gian (phút) hoàn thành một bài kiểm tra của 40 học sinh được ghi lại như sau. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
| Thời gian (phút) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 2 | 8 | 15 | 10 | 5 |
Lời giải. Giá trị đại diện các lớp lần lượt là 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5 và n = 40.
| ci | ni | nici | ci − x̄ | ni(ci − x̄)2 |
|---|---|---|---|---|
| 22,5 | 2 | 45 | −11 | 242 |
| 27,5 | 8 | 220 | −6 | 288 |
| 32,5 | 15 | 487,5 | −1 | 15 |
| 37,5 | 10 | 375 | 4 | 160 |
| 42,5 | 5 | 212,5 | 9 | 405 |
| Tổng | 40 | 1340 | 1110 |
- Số trung bình: x̄ = 1340 : 40 = 33,5 (phút).
- Phương sai: s2 = 1110 : 40 = 27,75.
- Độ lệch chuẩn: s = √27,75 ≈ 5,27 (phút).
Ví dụ 2. Bảng tần suất ghép lớp
Cân nặng (kg) của học sinh một khối lớp có phân bố tần suất: [40; 45): 10%, [45; 50): 25%, [50; 55): 35%, [55; 60): 20%, [60; 65): 10%. Tính x̄, s2 và s.
Lời giải. Giá trị đại diện: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5; 62,5. Đổi tần suất ra số thập phân: 0,1; 0,25; 0,35; 0,2; 0,1.
- x̄ = 0,1·42,5 + 0,25·47,5 + 0,35·52,5 + 0,2·57,5 + 0,1·62,5 = 4,25 + 11,875 + 18,375 + 11,5 + 6,25 = 52,25 (kg).
- Dùng công thức rút gọn: f1c12 + … + f5c52 = 180,625 + 564,0625 + 964,6875 + 661,25 + 390,625 = 2761,25.
- s2 = 2761,25 − 52,252 = 2761,25 − 2730,0625 = 31,1875.
- s = √31,1875 ≈ 5,58 (kg).
Kiểm tra lại bằng công thức định nghĩa: 0,1·(−9,75)2 + 0,25·(−4,75)2 + 0,35·(0,25)2 + 0,2·(5,25)2 + 0,1·(10,25)2 = 9,50625 + 5,640625 + 0,021875 + 5,5125 + 10,50625 = 31,1875. Hai cách cho cùng kết quả.
Ví dụ 3. Dùng công thức rút gọn khi số trung bình lẻ
Điểm kiểm tra của 40 học sinh: [0; 2): 2 em, [2; 4): 5 em, [4; 6): 10 em, [6; 8): 15 em, [8; 10]: 8 em. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Lời giải. Giá trị đại diện: 1; 3; 5; 7; 9.
- Tổng nici = 2·1 + 5·3 + 10·5 + 15·7 + 8·9 = 2 + 15 + 50 + 105 + 72 = 244, nên x̄ = 244 : 40 = 6,1.
- Tổng nici2 = 2·1 + 5·9 + 10·25 + 15·49 + 8·81 = 2 + 45 + 250 + 735 + 648 = 1680.
- s2 = 1680 : 40 − 6,12 = 42 − 37,21 = 4,79; s = √4,79 ≈ 2,19 (điểm).
Ví dụ 4. So sánh độ đồng đều của hai nhóm
Số giờ tự học mỗi tuần của hai nhóm, mỗi nhóm 40 học sinh:
| Số giờ | [3; 5) | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) |
|---|---|---|---|---|
| Nhóm A | 5 | 15 | 15 | 5 |
| Nhóm B | 10 | 10 | 10 | 10 |
Lời giải. Giá trị đại diện: 4; 6; 8; 10.
- Nhóm A: x̄A = (5·4 + 15·6 + 15·8 + 5·10) : 40 = 280 : 40 = 7; sA2 = (5·9 + 15·1 + 15·1 + 5·9) : 40 = 120 : 40 = 3; sA ≈ 1,73 giờ.
- Nhóm B: x̄B = (10·4 + 10·6 + 10·8 + 10·10) : 40 = 7; sB2 = (10·9 + 10·1 + 10·1 + 10·9) : 40 = 200 : 40 = 5; sB ≈ 2,24 giờ.
Kết luận: hai nhóm có cùng thời gian tự học trung bình 7 giờ/tuần, nhưng sA < sB nên thời gian tự học của nhóm A đồng đều hơn.
Ví dụ 5. Tìm tần số còn thiếu rồi tính độ lệch chuẩn
Một mẫu số liệu ghép lớp có các lớp [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40) với tần số lần lượt 4, x, 10, 6. Biết số trung bình bằng 21. Tìm x, rồi tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Lời giải. Giá trị đại diện: 5; 15; 25; 35; cỡ mẫu n = 20 + x.
- (4·5 + 15x + 10·25 + 6·35) : (20 + x) = 21 ⇔ 480 + 15x = 420 + 21x ⇔ 6x = 60 ⇔ x = 10. Khi đó n = 30.
- Độ lệch so với trung bình: −16; −6; 4; 14. Tổng ni(ci − x̄)2 = 4·256 + 10·36 + 10·16 + 6·196 = 1024 + 360 + 160 + 1176 = 2720.
- s2 = 2720 : 30 = 272/3 ≈ 90,67; s ≈ 9,52.
Ví dụ 6. Câu trắc nghiệm
Chiều cao (cm) của 50 học sinh: [150; 160): 5, [160; 170): 15, [170; 180): 20, [180; 190): 10. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
- A. 9 cm
- B. 81 cm
- C. 8,5 cm
- D. 172 cm
Đáp án A. Giá trị đại diện 155; 165; 175; 185; x̄ = (775 + 2475 + 3500 + 1850) : 50 = 8600 : 50 = 172. s2 = (5·289 + 15·49 + 20·9 + 10·169) : 50 = 4050 : 50 = 81, nên s = 9 cm. Phương án B là phương sai (lại ghi sai đơn vị), D là số trung bình, C là kết quả tính nhẩm sai.
Những lỗi thường gặp
- Dùng đầu mút thay cho giá trị đại diện: lớp [150; 160) phải lấy 155, không lấy 150 hay 160.
- Quên nhân tần số: viết (ci − x̄)2 mà thiếu ni phía trước, hoặc quên chia cho n ở bước cuối.
- Làm tròn x̄ quá sớm: nên giữ nguyên số trung bình (hoặc dùng công thức rút gọn) đến bước cuối mới làm tròn s.
- Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn: đề hỏi s thì phải khai căn s2.
- Tần suất dạng phần trăm: đổi 25% thành 0,25 trước khi nhân, nếu không kết quả sẽ gấp 100 lần.
- Kiểm tra nhanh: s luôn không âm và không bao giờ vượt quá một nửa độ dài toàn bộ khoảng số liệu (ở Ví dụ 1 là (45 − 20)/2 = 12,5); nếu s lớn hơn thế, chắc chắn em đã tính sai.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- Lớp [0; 3), [3; 6), [6; 9), [9; 12) có tần số 3; 7; 8; 2. Tính x̄, s2, s.
Đáp án: x̄ = 5,85; s2 = 6,7275; s ≈ 2,59. - Lớp [0; 20), [20; 40), [40; 60), [60; 80) có tần số 20; 30; 30; 20. Tính x̄, s2, s.
Đáp án: x̄ = 40; s2 = 420; s ≈ 20,49. - Lớp [0; 4), [4; 8), [8; 12), [12; 16) có tần số 1; 4; 3; 2. Tính x̄, s2, s.
Đáp án: x̄ = 8,4; s2 = 13,44; s ≈ 3,67. - Bảng tần suất: [10; 14): 20%, [14; 18): 50%, [18; 22): 30%. Tính x̄ và s.
Đáp án: x̄ = 16,4; s2 = 3,872 + 0,08 + 3,888 = 7,84; s = 2,8. - Ở Ví dụ 1, nếu mọi học sinh đều làm bài chậm thêm 2 phút thì phương sai thay đổi thế nào? Nếu đổi đơn vị sang giây thì độ lệch chuẩn bằng bao nhiêu?
Đáp án: cộng thêm cùng một số không làm thay đổi phương sai, vẫn là 27,75. Đổi sang giây là nhân mọi số liệu với 60, nên s nhân 60: s ≈ 5,268·60 ≈ 316 giây (phương sai nhân 3600).
Câu hỏi thường gặp
Giá trị đại diện của một lớp ghép được tính thế nào?
Giá trị đại diện là trung điểm của lớp: với lớp [a; b) thì c = (a + b)/2, ví dụ lớp [150; 160) có giá trị đại diện 155.
Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau ở điểm nào?
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu nên thường được dùng để nhận xét; phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị đó.
Có thể dùng công thức s² = trung bình bình phương trừ bình phương trung bình cho bảng ghép lớp không?
Có. Với bảng ghép lớp, s² = (n₁c₁² + … + nₖcₖ²)/n − x̄², kết quả trùng với công thức định nghĩa và tính nhanh hơn khi x̄ là số lẻ.
Độ lệch chuẩn nhỏ có ý nghĩa gì?
Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết số liệu tập trung sát số trung bình, tức là nhóm đối tượng đồng đều, ổn định hơn.
Phương sai tính cho bảng ghép lớp có chính xác tuyệt đối không?
Không. Vì mọi số liệu trong một lớp được thay bằng giá trị đại diện nên phương sai tìm được là giá trị xấp xỉ của phương sai mẫu số liệu gốc.