Trả lời nhanh
Bài tập tính số trung vị. Số trung vị, kí hiệu Me, là giá trị đứng giữa sau khi dãy đã được sắp không giảm. Nếu số số liệu n lẻ, Me là số ở vị trí (n + 1)/2. Nếu n chẵn, Me là trung bình cộng của số thứ n/2 và số thứ n/2 + 1. Ví dụ chín điểm 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 có Me = 7. Bốn điểm 1; 2,5; 8; 9,5 có Me = (2,5 + 8)/2 = 5,25.
Cách tính số trung vị
Số trung bình dễ bị kéo lệch khi trong mẫu có một vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ. Số trung vị tránh điều đó: một nửa số liệu nằm bên trái nó, một nửa nằm bên phải, sau khi đã sắp thứ tự. Vì vậy bài toán trung vị luôn bắt đầu bằng bước sắp dãy, không được lấy “số ở giữa” ngay trên dãy đề cho.
Quy tắc làm một bài:
- Đếm n, tức số giá trị trong mẫu. Giá trị lặp vẫn được đếm riêng từng lần.
- Sắp các giá trị thành dãy không giảm. Nếu đề đã sắp sẵn, em kiểm tra lại một lượt.
- Nếu n lẻ, vị trí giữa là (n + 1)/2. Số đứng ở vị trí ấy chính là Me.
- Nếu n chẵn, lấy hai vị trí n/2 và n/2 + 1. Me bằng trung bình cộng của hai số đó. Kết quả có thể không trùng một số nào trong dãy.
- Viết lại đơn vị của đề (điểm, kg/sào, mm…) và thử đếm số giá trị nhỏ hơn hoặc bằng trung vị để chắc mình không lệch vị trí.
Với bảng tần số, em không sắp lại bằng mắt. Em lập cột tần số cộng dồn. Vị trí cần tìm rơi vào giá trị nào thì giá trị ấy là trung vị (khi n lẻ), hoặc em lấy đúng hai vị trí kề giữa (khi n chẵn).
Năm ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Dãy lẻ, chín điểm
Điểm thi toán của 9 học sinh: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10. Dãy đã tăng dần. n = 9, vị trí giữa là (9 + 1)/2 = 5. Số thứ 5 là 7. Vậy Me = 7 điểm. Bốn số đứng trước 7 và bốn số đứng sau 7, nên 7 đúng là điểm giữa.
Ví dụ 2. Dãy chẵn, trung vị không có trong dãy
Điểm của 4 học sinh: 1; 2,5; 8; 9,5. n = 4, hai vị trí giữa là 4/2 = 2 và 3. Số thứ 2 là 2,5; số thứ 3 là 8. Me = (2,5 + 8)/2 = 10,5/2 = 5,25 điểm. Không học sinh nào được 5,25, nhưng đó vẫn là trung vị đúng của mẫu.
Ví dụ 3. Sản lượng chè của 20 hộ
Sản lượng chè trong một năm, đơn vị kg/sào, của 20 hộ: 111, 112, 112, 113, 114, 114, 115, 114, 115, 116, 112, 113, 113, 114, 115, 114, 116, 117, 113, 115. n = 20 chẵn, nên cần số thứ 10 và số thứ 11 của dãy đã sắp.
| Sản lượng (kg/sào) | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 1 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 |
| Tần số cộng dồn | 1 | 4 | 8 | 13 | 17 | 19 | 20 |
Cộng dồn đến 113 mới được 8 hộ, đến 114 được 13 hộ. Vị trí 10 và 11 đều nằm trong nhóm 114. Me = (114 + 114)/2 = 114 kg/sào. Một số lời giải lấy nhầm 116 và 112 ở vị trí thứ 10, 11 của bảng chưa sắp rồi cũng ra 114. Con số tình cờ trùng, nhưng cách làm sai: nếu hai giá trị chưa sắp khác nhau nhiều hơn, trung bình ấy sẽ lệch. Bài này bắt buộc sắp trước.
Ví dụ 4. Hai mươi lăm điểm chất lượng, vị trí thứ 13
Điểm khảo sát một sản phẩm mới, thang 100: 80, 65, 51, 48, 45, 61, 30, 35, 84, 83, 60, 58, 75, 72, 68, 39, 41, 54, 61, 72, 75, 72, 61, 50, 65. Đếm được n = 25, lẻ. Vị trí giữa là (25 + 1)/2 = 13.
Sắp tăng: 30, 35, 39, 41, 45, 48, 50, 51, 54, 58, 60, 61, 61, 61, 65, 65, 68, 72, 72, 72, 75, 75, 80, 83, 84. Điểm 61 xuất hiện đúng ba lần, chiếm vị trí 12, 13 và 14. Vị trí 13 là 61. Vậy Me = 61 điểm.
Một số đáp án in sẵn ghi trung vị 75. Bảng tần số đi kèm các đáp án ấy chèn thêm điểm 87 và bỏ điểm 84, nên thứ tự bị lệch. Dãy đề cho không có 87, có 84. Bám đúng 25 số của đề thì vị trí 13 là 61, không phải 75.
Ví dụ 5. Trung bình, mốt và trung vị trên cùng một dãy
Điểm của 11 học sinh, đã sắp từ thấp đến cao: 0; 0; 63; 65; 69; 70; 72; 78; 81; 85; 89.
Số trung bình: tổng = 0 + 0 + 63 + 65 + 69 + 70 + 72 + 78 + 81 + 85 + 89 = 672. Trung bình = 672/11 ≈ 61,09 điểm.
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Điểm 0 xuất hiện hai lần, mọi điểm còn lại một lần, nên mốt bằng 0.
n = 11, vị trí giữa là 6, số thứ 6 là 70. Me = 70 điểm.
Hai điểm 0 kéo trung bình xuống khoảng 61, trong khi phần lớn học sinh đạt từ 63 trở lên. Trung vị 70 mô tả “học sinh đứng giữa” sát hơn trung bình. Đây đúng là tình huống sách nêu khi khuyên không chỉ nhìn mỗi số trung bình.
Bài tập tự luyện có đáp án
Bài 1. Tìm số trung vị của dãy 5; 7; 9; 11; 13.
Đáp án: n = 5, vị trí 3, Me = 9.
Bài 2. Tìm số trung vị của dãy 2; 4; 6; 10.
Đáp án: n = 4, hai số giữa là 4 và 6, Me = (4 + 6)/2 = 5.
Bài 3. Dãy 4; 8; 8; 10; 12; 15. Tính trung vị và mốt.
Đáp án: n = 6, hai số giữa là 8 và 10, Me = 9. Mốt là 8 vì tần số 2, lớn hơn các giá trị kia.
Bài 4. Điểm kiểm tra: 12; 15; 15; 18; 20; 30; 100. So sánh trung bình và trung vị.
Đáp án: Tổng = 210, trung bình = 210/7 = 30. n = 7, vị trí 4, Me = 18. Điểm 100 kéo trung bình lên 30, trong khi học sinh đứng giữa chỉ đạt 18.
Bài 5. Số áo bán trong bảy ngày: 14, 11, 18, 11, 20, 16, 15. Tính Me.
Đáp án: Sắp: 11, 11, 14, 15, 16, 18, 20. n = 7, vị trí 4, Me = 15 áo.
Lỗi thường gặp khi tính trung vị
- Quên sắp dãy. Vị trí “giữa” chỉ có nghĩa trên dãy đã xếp thứ tự.
- Lấy công thức (n + 1)/2 cả khi n chẵn. Với n chẵn không có một vị trí giữa duy nhất.
- Nhầm vị trí với giá trị. Vị trí thứ 13 không có nghĩa trung vị bằng 13. Phải đọc số đứng ở vị trí ấy.
- Bỏ sót giá trị lặp. Ba lần điểm 61 là ba vị trí, không gộp thành một.
- Dùng trung vị của bảng ghép nhóm (có công thức lớp chứa trung vị) cho dãy rời. Bài này là mẫu không ghép nhóm, chỉ cần sắp và đếm vị trí.
Khi bài hỏi cả trung bình, mốt và trung vị, em tính riêng từng số. Trung bình dùng tổng chia n. Mốt là giá trị có tần số cao nhất; nếu mọi giá trị chỉ xuất hiện một lần thì mẫu không có mốt. Trung vị dùng vị trí giữa. Ba số chỉ bằng nhau khi dãy đối xứng, không phải lúc nào cũng trùng.
Câu hỏi thường gặp
Số trung vị khác số trung bình ở điểm nào?
Số trung bình là tổng chia cho n, nên một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ kéo cả kết quả. Số trung vị là giá trị đứng giữa sau khi sắp, không bị một vài số cực đoan kéo lệch.
n chẵn thì số trung vị tính thế nào?
Lấy trung bình cộng của hai số đứng ở vị trí n/2 và n/2 + 1 trên dãy đã sắp. Ví dụ 1; 2,5; 8; 9,5 có trung vị (2,5 + 8)/2 = 5,25.
Sản lượng chè của 20 hộ có trung vị bằng bao nhiêu?
Sau khi sắp tăng dần, số thứ 10 và số thứ 11 đều là 114 kg/sào, nên số trung vị bằng 114.
Vì sao có đáp án ghi trung vị điểm chất lượng là 75?
Đáp án ấy dựa trên bảng tần số bị lệch, có điểm 87 thay cho điểm 84 của đề. Sắp đúng 25 điểm thì vị trí thứ 13 là 61.
Mốt của dãy 0; 0; 63; 65; 69; 70; 72; 78; 81; 85; 89 là bao nhiêu?
Mốt bằng 0 vì điểm 0 xuất hiện hai lần, các điểm còn lại một lần. Trung vị của dãy này là 70, trung bình khoảng 61,09.