Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Ứng dụng Đạo hàm để Khảo sát Hàm số, tài liệu bao gồm 15 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Ứng dụng Đạo hàm để Khảo sát Hàm số

Chương 1:  Ứng dụng đạo hàm KSHS

Bài 1. Ứng dụng đạo hàm KSHS

A. Lý thuyết tính đơn điệu

Xét hàm số f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{K}\) (với \(\mathbb{K}\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

(1) Hàm số f(x)  đồng biến trên \(\mathbb{K} \Leftrightarrow {f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{K}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ đạt tại hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{K}\).

(2) Hàm số f(x)  nghịch biến trên \(\mathbb{K} \Leftrightarrow {f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{K}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ đạt tại hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{K}\).

(3) Các mệnh đề thường dùng

\(m \ge f(x),\forall x \in \mathbb{K} \Leftrightarrow m \ge {\max _\mathbb{K}}f(x)\)

\(m \le f(x),\forall x \in \mathbb{K} \Leftrightarrow m \le {\min _\mathbb{K}}f(x)\)

(4) Với f(x) là một hàm liên tục trên đoạn [a ; b] khi đó

\(m \ge f(x),\forall x \in (a;b) \Leftrightarrow m \ge f(x),\forall x \in [a;b]\)

(5) Với f(x) là một hàm liên tục trên doạn [a ; b] khi đó

\(m \le f(x),\forall x \in (a;b) \Leftrightarrow m \le f(x),\forall x \in [a;b].\)

(6) Nếu khồng cô lập được tham số thường đưa về xét nghiệm của một phương trình bậc haì, hoặc tìm giá nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đạo hàm bằng bắt đẳng thức.

(7) So sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số: Xét \(f(x) = a{x^2} + bx + c,(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn

\[\begin{array}{l} - {x_1} < \alpha  < {x_2} \Leftrightarrow af(\alpha ) < 0\\ - {x_2} > {x_1} > \alpha  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{af(\alpha ) > 0}\\{S > 2\alpha }\\{\Delta  > 0}\end{array}} \right.\\ - {x_1} < {x_2} < \alpha  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{af(\alpha ) > 0}\\{S < 2\alpha }\\{\Delta  > 0}\end{array}} \right.\end{array}\]

\(\begin{array}{l} - \alpha  < {x_1} < {x_2} < \beta  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{af(\alpha ) > 0}\\{af(\beta ) > 0}\\{2\alpha  < S < 2\beta }\\{\Delta  > 0}\end{array}} \right.\\ - \alpha  < {x_1} < \beta  < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{af(\alpha ) > 0}\\{af(\beta ) < 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + 3x + 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Câu 2. Hỏi hàm số \(y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((0; + \infty )\).

B. \(( - 1;1)\).

C. \(( - \infty ; + \infty )\).

D. \(( - \infty ;0)\).

Câu 3. Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).

B. \(y = {x^3} + x\).

C. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).

D. \(y =  - {x^3} - 3x\).

Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((2; + \infty )\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f(x) = {x^2} + 1,\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((1; + \infty )\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 1;1)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

Câu 6. Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 1;1)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 1;1)\).

Câu 7. Cho hàm số y = f(x)  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 2;0)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\).

Câu 8. Cho hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} + 1} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 1;1)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Câu 9. Xét các mệnh đề sau

(1) Cho hàm số y = f(x)  có đạo hàm trên khoảng (a;b). Hàm số y = f(x)  đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (a;b)\).

(2) Cho hàm số y = f(x)  có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Hàm số y = f(x)  đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\).

(3) Cho hàm số y = f(x)  xác định và có đạo hàm trên tập \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) và \(f(x) > 0,\forall x \ne 0\).

Khi đó với mọi a, b khác 0 ta có \(f(a) > f(b) \Leftrightarrow a > b\).

(4) Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên tập \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) và \(f(x) < 0,\forall x \ne 0\).

Khi đó với mọi a, b khác 0 ta có \(f(a) > f(b) \Leftrightarrow a < b\).

Số mệnh đề đúng là

A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .

Câu 10. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a;b). Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

(2) Nếu \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

(3) Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (a;b)\) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

(4) Nếu \({f^\prime }(x) < 0,\forall x \in (a;b)\) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

(5) Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) thì \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\).

(6) Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) thì \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\).

Số mệnh đề đúng là

A. 6 .

B. 4 .

C. 0 .

D. 2 .

Câu 11. Cho hàm số f(x) thỏa mãn \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in ( - 2;2);{f^\prime }(x) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash [ - 2;2]\) và \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{  - 2;2\} \).

Xét các mệnh đề sau:

(1) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( - 2;2)\).

(2) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 2)\) và \((2; + \infty )\).

(3) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \([ - 2;2]\).

(4) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi nửa khoảng \(( - \infty ; - 2]\) và \([2; + \infty )\).

(5) Hàm số đã cho là hàm hằng trên đoạn \([ - 2;2]\).

(6) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên \(( - \infty ; - 2) \cup (2; + \infty )\).

Số mệnh đề đúng là

A. 5 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 12. Cho hàm số f(x) đồng biến trên đoạn \([ - 2;2]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(f( - 2) > f( - 1) > f(1) > f(2)\).

B. \(f( - 2) > f( - 1) = f(1) > f(2)\).

C. \(f( - 2) < f( - 1) = f(1) < f(2)\).

D. \(f( - 2) < f( - 1) < f(1) < f(2)\).

Câu 13. Cho hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên đoạn \([ - 2;2]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(f( - 2) > f( - 1) > f(1) > f(2)\).

B. \(f( - 2) > f( - 1) = f(1) > f(2)\).

C. \(f( - 2) < f( - 1) = f(1) < f(2)\).

D. \(f( - 2) < f( - 1) < f(1) < f(2)\).

Câu 14. Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn \([ - 2;2]\) và với mọi \({x_1},{x_2} \in [ - 2;2]\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta luôn có \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(f( - 2) > f( - 1) > f(1) > f(2)\).

B. \(f( - 2) > f( - 1) = f(1) > f(2)\).

C. \(f( - 2) < f( - 1) = f(1) < f(2)\).

D. \(f( - 2) < f( - 1) < f(1) < f(2)\).

Câu 15. Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f^\prime }(x) =  - {x^2} - 1,\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1; + \infty )\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

Câu 16. Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\).

B. \(y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\).

C. \(y = x - \frac{1}{x}\).

D. \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \).

Câu 17. Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\).

B. \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).

C. \(y = x + \cos 2x\).

D. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Câu 18. Hỏi hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\).

B. \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\).

C. \(y = x - {x^3}\).

D. \(y = \cos x - 2x\).

Câu 19. Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = \frac{{x(x - 4)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}},\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;4)\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((4; + \infty )\).

Câu 20. Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \)

\(\mathbb{Z}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {\frac{\pi }{3} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\).

D. Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{R}} \right\}\).

Câu 21. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) thì \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\).

B. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) .

C. Nếu \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x) nhận giá trị không đổi trên khoảng (a,b) .

D. Nếu f(x) nhận giá trị không đổi trên (a,b)  thì \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in (a;b)\).

Câu 22. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b)  thì \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\).

B. Nếu \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) .

C. Nếu \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x) nhận giá trị không đổi trên khoảng (a,b) .

D. Nếu f(x) nhận giá trị không đổi trên (a,b)  thì \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in (a;b)\).

Câu 23. Cho hàm số y = f(x)  có đạo hàm trên đoạn [a ; b] và \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (a;b)\). Xét các mệnh đề

(1) Hàm số đồng biến trên [a ; b]

(2) Hàm số đồng biến trên (a ; b)

(3) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [a ; b)

(4) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng (a ; b]

Số mệnh đề đúng là

A. 1 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 24. Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên đoạn [a ; b] và \({f^\prime }(x) < 0,\forall x \in (a;b)\). Xét các mệnh đề sau:

(1) Hàm số nghịch biến trên đoạn [a ; b]

(2) Hàm số nghịch biến trên (a ; b)

(3) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [a ; b).

(4) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (a ; b]

Số mệnh đề đúng là

A. 1 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 25. Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm trên đoạn [a ; b]. Xét các mệnh đề

(1) Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x) đồng biến trên đoạn [a ; b]

( 2) Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (a;b)\)thì  (a ; b) thì f(x)  đồng biến trền khoảng (a,b).

(3) Nếu \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x)  nghịch biến trên khoảng (a,b).

(4) Nếu \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\) thì f(x)  nghịch biến trên đoạn [a ; b]

(5) Nếu phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) có nghiệm \({x_0} \in (a;b)\) thì f(x) đồi dấu khi qua \({x_0}\).

Số mệnh đề đúng là

A. 5 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 26. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (0; + \infty )\) và \(f(1) = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(f(2) + f(4) > 4\)

B. \(f(2) + f(4) < 4\).

C. \(f(2) + f(4) \le 4\). \(\quad \)

D. \(f(2) + f(4) \ge 4\).

Câu 27. Cho hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (1;3). Đặt \(g(x) = f\left( {{x^2}} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (1;3).

B. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng \((1;\sqrt 3 )\).

C. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (1;3).

D. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng \((1;\sqrt 3 )\).