* Tìm lời giải:

Để tìm giá trị lớn nhất của A(x) ta phân tích A(x) thành một số a trừ đi bình phương một tổng (hoặc hiệu).

Từ đó tìm \({x_o}\) để \(\forall x\,\,A(x) \le A({x_o}) = a.\)

Khi ấy \(\max A(x) = a \Leftrightarrow x = {x_o}\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số b. Từ đó tìm \({x_o}\) để \(\forall x\,\,B(x) \ge B({x_o}) = b.\)

Khi ấy \(\min B(x) = b \Leftrightarrow x = {x_o}.\)

Giải

a)

\(\begin{array}{l}A(x) = 2015 + 2x - {x^2}\\ = 2016 - ({x^2} - 2x + 1)\\ = 2016 - {(x - 1)^2}\end{array}\)

Do \({(x - 1)^2} \ge 0,\forall x\) nên  \(2016 - {(x - 1)^2} \le 2016,\forall x\)

Do đó

 \(\begin{array}{l}\max A(x) = 2016\\ \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

b)

 \(\begin{array}{l}B(x) = 2{x^2} - 2x + 10 = 2\left( {{x^2} - x + 5} \right)\\ = 2\left( {{x^2} - 2x\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{{19}}{4}} \right)\\ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{2}\end{array}\)

Do \(2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x.\)

Nên \(2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{2} \ge \frac{{19}}{2}\forall x\)

Do đó \(\min B(x) = \frac{{19}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

c)

\(\begin{array}{l}C(y) = {(y + 2)^2} + {(y - 5)^2}\\ = {y^2} + 4y + 4 + {y^2} - 10y + 25\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 2{y^2} - 6y + 29 = 2\left( {{y^2} - 3y + \frac{{29}}{2}} \right)\\ = 2\left( {{y^2} - 2y\frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{{49}}{4}} \right)\\ = 2{\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{49}}{2} \ge \frac{{49}}{2},\forall y\end{array}\)

Do đó \(\min C(y) = 24,5 \Leftrightarrow y = 1,5.\)

2. Dạng đa thức một biến bậc lớn hơn hai

Ví dụ 2:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 18x + 15\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của \(D = (y - 2)(y - 5)(y - 6)(9 - y)\)

* Tìm cách giải:

a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức.

b) Hoán vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau \({y^2} - 11y\) rồi đặt ẩn phụ để giải.

Giải

a) \(C = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2} + 3{x^2} - 18x + 27 - 12\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}{(x - 3)^2} + 3{(x - 3)^2} - 12\\ = {(x - 3)^2}({x^2} + 3) - 12\end{array}\)

Do \({x^2} + 3 > 0\,\,\,\forall x;\,{(x - 3)^2} \ge 0,\,\forall x\)

\( \Rightarrow {(x - 3)^2}({x^2} + 3) - 12 \ge  - 12,\forall x.\)

Nên \(\min C =  - 12 \Leftrightarrow x = 3.\)

b)

 \(\begin{array}{l}D = \left[ {(y - 2)(9 - y)} \right]\left[ {(y - 5)(y - 6)} \right]\\ =  - \left( {{y^2} - 11y + 18} \right)\left( {{y^2} - 11y + 30} \right)\end{array}\)

Đặt \({y^2} - 11y + 24 = z\)

ta có: \(D =  - (z - 6)(z + 6) = 36 - {z^2} \le 36\,\,\forall z.\)

Vậy

 \(\begin{array}{l}\max D = 36 \Leftrightarrow z = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 11y + 24 = (y - 3)(y - 8)\\ = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow y = 3;y = 8\)

3. Dạng đa thức nhiều biến bậc hai

Ví dụ 3:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của  \(A(x;y) = {x^2} + 2x + 9{y^2} - 6y + 2018\)

b) Tìm x, y, z để đa thức \[B(x,y,z)\] có giá trị lớn nhất.

\(B(x,y,z) = 1 - (2{x^2} + 2{y^2} + {z^2} + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y)\)

* Tìm cách giải:

a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số

b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức. Sử dụng hằng đẳng thức:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = {(a + b + c)^2}\)

Giải

a)

 \(\begin{array}{l}A(x,y) = {x^2} + 2x + 1 + 9{y^2} - 6y + 1 + 2016\\ = {(x + 1)^2} + {(3y - 1)^2} + 2016\end{array}\)

Do \({(x + 1)^2} \ge 0,\forall x\) và \({(3y - 1)^2} \ge 0,\forall y\)

Nên \[{(x + 1)^2} + {(3y - 1)^2} + 2016 \ge 2016,\forall x;y\]

Do đó

 \(\begin{array}{l}\min A(x,y) = 2016\\ \Leftrightarrow (x =  - 1;y = \frac{1}{3})\end{array}\)

b)

 \(B(x,y,z) = 1 - \left[ {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - 2xz - 2yz} \right) - 5} \right]\)

\( = 6 - \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {x + y - z} \right)}^2}} \right] \le 6,\forall x,y,z\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\max B(x,y,z) = 6\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 2 = 0\\x + y - z = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\end{array}\)

4. Dạng phân thức

Ví dụ 4:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 19}}.\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 3}}\) .

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = \frac{{1 + 2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}}\)

Giải

a) Do \({x^2} - 2x + 19 = {(x - 1)^2} + 18 \ge 18,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{{(x - 1)}^2} + 18}} \le \frac{1}{{18}},\forall x\\ \Rightarrow A = \frac{{16}}{{{{(x - 1)}^2} + 18}} \le \frac{{16}}{{18}} = \frac{8}{9},\forall x\end{array}\)

Vậy \[\max A = \frac{8}{9} \Leftrightarrow x = 1\]

b) \(B = \frac{{{x^2} + 3 - 12}}{{{x^2} + 3}} = 1 - \frac{{12}}{{{x^2} + 3}}.\)

 Do \({x^2} + 3 \ge 3\,\,\forall x\)

nên \(\frac{{12}}{{{x^2} + 3}} \le 4 \Rightarrow 1 - \frac{{12}}{{{x^2} + 3}} \ge  - 3,\forall x.\)

Vậy \(\min B =  - 3 \Leftrightarrow x = 0.\)

c)

\(\begin{array}{l}C = \frac{{1 + 2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}}\\ = \frac{{3 - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^2} - 2x + 2}}\\ = \frac{3}{{{x^2} - 2x + 2}} - 1\end{array}\)

Do \({x^2} - 2x + 2 = {(x - 1)^2} + 1 \ge 1\,\,\,\forall x\)

nên \(\frac{1}{{{{(x - 1)}^2} + 1}} \le 1 \Rightarrow \frac{3}{{{{(x - 1)}^2} + 1}} \le 3\)

\( \Rightarrow \frac{3}{{{{(x - 1)}^2} + 1}} - 1 \le 2,\forall x.\)

Vậy \(\max C = 2 \Leftrightarrow x = 1.\)

5. Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức

Ví dụ 5:

a) Chứng minh giá trị lớn nhất của \(A = \frac{{ - {x^2} + x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\,(x \ne 1)\) là \( - \frac{3}{4}\) khi và chỉ khi \(x =  - 1.\)

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của \(B = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}}(x \ne 0)\) là \(\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(x = 2.\)

* Tìm cách giải:

+ Phương pháp chứng minh \(\max A(x) = a\) (a là hằng số).

Chứng minh \(A(x) \le a,\forall x\) và có \(\left( {{x_o}} \right)\) sao cho \(A({x_o}) = a\)

+ Phương pháp chứng minh \(\min B(x) = b\) (b là hằng số).

Chứng minh \[B(x) \ge b,\forall x\] và có \(\left( {{x_o}} \right)\) sao cho \(B({x_o}) = b\)

Giải

a) Ta chứng minh \(A = \frac{{ - {x^2} + x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} \le  - \frac{3}{4}\forall x \ne 1.\)

Thật vậy \(\forall x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{{ - {x^2} + x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} \le  - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{3}{4} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - {{(x + 1)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\end{array}\)

Hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

b) Ta chứng minh \(B = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}} \ge \frac{1}{2}\forall x \ne 0.\)

Thật vậy \(\forall x \ne 0.\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}} \ge \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}} - \frac{1}{2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{2{x^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{2{x^2}}} \ge 0\end{array}\)

Hiển nhiên đúng.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

6. Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(M = \frac{{10(x + 2)}}{{{x^2} + 5}}\)

Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có \(a \le M \le b,\forall x\) (a, b là các hằng số).

Giải

\(\begin{array}{l}M = \frac{{\left( {{x^2} + 10x + 25} \right) - \left( {{x^2} + 5} \right)}}{{{x^2} + 5}}\\ = \frac{{{{(x + 5)}^2}}}{{{x^2} + 5}} - 1 \ge  - 1,\forall x\end{array}\)

Do đó \(\min M =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 5\)

* \(M = \frac{{5({x^2} + 5) - 5({x^2} - 2x + 1)}}{{{x^2} + 5}} = 5 - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 5}} \le 5,\forall x\)

Do đó \(\max M = 5 \Leftrightarrow x = 1\)

7. Dạng bài tập áp dụng định lý, tính chất về cực trị

Ví dụ 7: Chứng minh định lý:

1) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

2) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Áp dụng:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = \frac{{16}}{{x - 2}} + \frac{x}{4},\) với \(x > 2\)

b) Cho \(7a + 9b = 42\) với \(a,b > 0\) . Tìm giá trị lớn nhất của tích \(P = ab\)

Giải

Gọi 2 số dương là a và b

Ta có

 \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab\end{array}\)

1) Nếu \(a + b = k > 0\) không đổi thì \(4ab \le {k^2} \Leftrightarrow ab \le \frac{{{k^2}}}{4}\)

Vậy \(\max (a.b) = \frac{{{k^2}}}{4} \Leftrightarrow a = b = \frac{k}{2}\)

2) Nếu \(a.b = h > 0\) không đổi ta có \({(a + b)^2} \ge 4h\)

\( \Rightarrow a + b \ge 2\sqrt h .\) Do đó \(\min (a + b) = 2\sqrt h  \Leftrightarrow a = b = \sqrt h \)

Áp dụng:

a) \(T = \frac{{16}}{{x - 2}} + \frac{x}{4} = \frac{{16}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{4} + \frac{2}{4}\)

Ta có với \(x > 2\) thì \(\frac{{16}}{{x - 2}};\frac{{x - 2}}{4}\) là 2 số dương có tích \(\frac{{16}}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{4} = 4\) không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \frac{{16}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2}}{4}\)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 64.\) Phương trình có 2 nghiệm \(x = 10\) và \(x =  - 6.\)

Nghiệm \(x = 10\) thỏa mãn điều kiện của bài. Vậy \(\min A = 4,5 \Leftrightarrow x = 2.\)

b) Xét \(63P = 7a.9b\) trong đó \(7a + 9b = 42\) không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

\(7a = 9b = 21.\) Vậy \(\max P = 7 \Leftrightarrow a = 3;b = \frac{7}{3}\)