Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ Bài toán chứng minh điểm cố định - Ôn thi vào lớp 10, tài liệu bao gồm 4 trang, tuyển chọn Bài toán chứng minh điểm cố định đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Bài toán Chứng minh điểm cố định - Ôn thi vào lớp 10 gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Ví dụ minh họa

- gồm 2 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

- gồm 10 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Bài toán Chứng minh điểm cố định - Ôn thi vào lớp 10.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH

A. Phương pháp giải

Để giải được bài toán về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau:

+ Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi

+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường thẳng cố định

+ Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) luôn thay đổi và ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. Kẻ AM, AN là hai tiếp tuyến với (O). I là trung điểm của BC. AO cắt MN tại H và (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). BC cắt MN tại K

a) Chứng minh A, M, I, O, N thuộc cùng một đường tròn

b) Chứng minh tíchch AB.AC = AH.AO và K cố định khi (O) thay đổi

Hướng dẫn giải

a) + Xét tứ giác AMON có $\widehat{AMO}+\widehat{ANO}={90}^0+{90}^0={180}^0$

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay 4 điểm $\text{A},\text{M},\text{O},\text{N}$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $\text{AO}$ (1)

+ Trong đường tròn (O) có I là trung điểm của BC $\Rightarrow OI\perp BC\Rightarrow \widehat{OIA}={90}^0$

Suy ra điểm I thuộc đường tròn đường kính  (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm $\text{A},\text{M},\text{O},\text{N},$ I cùng thuộc một đường tròn

b) Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:

$\widehat{MAC}$: chung

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Suy ra hai tam giác AMB và ACM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}$(các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\iff A{M}^2=AB\cdot AC\left(3\right)$

+ Có $\text{OM}=\text{ON}(=\text{R}),\text{AM}=\text{AM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường trung trực của MN

Suy ra AO vuông góc với MN tại H

+ Xét tam giác AMO vuông tại M có đường cao MH:

$\iff A{M}^2=AB.AC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

+Từ (3) và (4) suy ra A B \cdot A C=A H \cdot A O(5)

+ Xét tam giác $\text{AHK}$ và tam giác AIO

$\widehat{AHK}=\widehat{AIO}=90°$

$\widehat{OAI}$: chung

Suy ra tam giác $\text{AHK}$ và tam giác AlO đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{AH}{AI}=\frac{AK}{AO}\iff AH.AO=AK.AI\left(6\right)$

Từ (5) và (6) suy ra $AK.AI=AB.AC\iff AK=\frac{AB\cdot AC}{AI}$

Vì $\text{A},\text{B},\text{C}$ cố định nên  không đổi $\text{AB},\text{AC},\text{BC}$

Mà I là trung điểm của BC nên I cố định hay Al không đổi

Suy ra không đổi. Suy ra AK không đổi hay  cố định (vì A cố định)

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N

a) Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tích OM.OD + ON.OE không đổi