Dạng toán 1. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng:

Đường thẳng d qua A và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \[{M_0}\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \]

Có 3 vị trí tương đối:

_Cắt nhau : \[\overrightarrow u .\overrightarrow n  \ne 0\]

_Song song: \[\overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0\] và \[A \notin \left( P \right)\]

_Đường thẳng thuộc mặt phẳng : \[\overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0\] và \[A \in \left( P \right)\]

Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng :

Hình chiếu điểm M trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]: Lập phương trình tham số đường thẳng d qua M , vuông góc với \[\left( P \right)\] .Hình chiếu H là giao điểm của d với \[\left( P \right)\] .Từ đó suy ra điểm \[M'\] đối xứng của M qua \[\left( P \right)\] nhờ H là trung điểm \[MM'\]

Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng

Hình chiếu điểm N trên đường thẳng d: Lập phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\] qua N,vuông góc với d. Hình chiếu K là giao điểm của d với \[\left( Q \right)\]. Ta có thể dùng tọa độ K thuộc d theo tham số t rồi tìm t nhờ điều kiện : \[\overrightarrow {NK} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\].Từ đó suy ra điểm \[N'\] đối xứng của N qua đường thẳng d nhờ H là trung điểm \[NN'\].

Chú ý:

Cho mặt phẳng \[\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\]

Hai điểm \[{M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\] và \[{M_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\] nằm về hai phía của mặt phẳng \[\left( P \right)\] khi và chỉ khi :

\[\left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \right).\left( {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right) < 0\]

Hai điểm \[{M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\] và \[{M_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\] nằm cùng phía của mặt phẳng \[\left( P \right)\] khi và chỉ khi :

\[\left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \right).\left( {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right) > 0\]

Bài toán 1. Cho mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[2x - 3y + 5z - 1 = 0\]

a)      Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng đó với các trục Ox, Oy, Oz

b)     Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng \[\left( P \right)\] và 3 mặt phẳng tọa độ

Giải

a)      Cho \[y = z = 0\] thì giao với trục Ox tại \[A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\]

Cho \[x = z = 0\] thì giao với trục Oy tại \[B\left( {0; - \frac{1}{3};0} \right)\]

Cho \[x = y = 0\] thì giao với trục Oz tại \[C\left( {0;0;\frac{1}{5}} \right)\]

b)     Tứ diện cần tìm OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên thể tích

\[V = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.\left| {\frac{1}{2}} \right|.\left| { - \frac{1}{3}} \right|.\left| {\frac{1}{5}} \right| = \frac{1}{{180}}\]

Bài toán 2. Cho ba mặt phẳng:

\[\left( P \right):x + y + z - 6 = 0,\left( Q \right):mx - 2y + z + m - 1 = 0\] và \[\left( R \right):mx + \left( {m - 1} \right)y - z + 2m = 0\]

a)      Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

b)     Tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng.

Giải

a)      Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\] lần lượt là :

\[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {m; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {m;m - 1; - 1} \right)\]

Điều kiện ba mặt phẳng đôi một vuông góc

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_R}}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 + 1 = 0\\m + m - 1 - 1 = 0\\{m^2} - 2m + 2 - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m = 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\]

b)     Gọi \[I\left( {x;y;z} \right)\] là giao điểm chung của cả ba mặt phẳng .Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 6 = 0\\x - 2y + z = 0\\x - z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2;3} \right)\]

Bài toán 3. Tìm giao điểm của đường thẳng:

\[a)d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3t\end{array} \right.\], với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 5z - 4 = 0\]

\[b)d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5}\], với mặt phẳng \[\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\]

Giải

a)      Giao điểm M thuộc d nên \[M\left( {1 + 2t;2 - t;3t} \right)\] và thuộc \[\left( P \right)\] nên:

\[2\left( {1 + 2t} \right) - \left( {2 - t} \right) + 15t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{5}\]

Thay \[t = \frac{1}{5}\] vào ta được \[M\left( {\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{3}{5}} \right)\]

b)     Đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5}\] có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 3t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\]

Giao điểm A thuộc d nên \[A\left( {2 + 2t; - 1 + 3t;1 + 5t} \right)\]

Thế \[x,y,z\] vào phương trình \[\left( \alpha  \right)\], ta được :

\[2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) - 8 = 0\]

Suy ra \[t = \frac{1}{3}\] và được giao điểm là \[A\left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right)\]

Bài toán 4. Tìm giao điểm của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

\[a)x + y - 2z - 11 = 0,3x - y + z - 6 = 0\] với \[\left( P \right):x + 2y - z - 15 = 0\]

\[b)2x - y + z - 6 = 0,x + 4y - 2z - 8 = 0\] với các mặt tọa độ

Giải

\[a)Mp\left( {xOy} \right):z = 0\]

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 6\\x + 4y - 2z = 8\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{32}}{9}\\y = \frac{{10}}{9}\\z = 0\end{array} \right.\]

Vậy \[A\left( {\frac{{32}}{9};\frac{{10}}{9};0} \right)\]

Giải tương tự thì giao điểm với mp(yOz) là \[B\left( {4;0; - 2} \right)\] và mp(xOz) là \[C\left( {0;10;16} \right)\]

b)Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2z - 11 = 0\\3x - y + z - 6 = 0\\z + 2y - z - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\\z =  - 1\end{array} \right.\]. Vậy \[M\left( {4;5; - 1} \right)\]

Bài toán 5. Tìm hình chiếu của điểm \[A\left( {1;4;2} \right)\] lên mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + z - 1 = 0\]

Giải

Gọi d là đường thẳng đi qua \[\Delta \] và vuông góc với \[\left( P \right)\], H là hình chiếu vuông góc của A trên \[\left( P \right)\]

Ta có \[\overrightarrow n  = \left( {1;2;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\] nên \[\overrightarrow n \] là một vectơ chỉ phương của d 

Suy ra, d có phương trình : \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\]

Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\\x + 2y + z - 1 = 0\end{array} \right.\]

Giải hệ trên ta được : \[x =  - \frac{2}{3},y = \frac{2}{3},z = \frac{1}{3}\]. Vậy \[H\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\]

Bài toán 6. Cho bốn điểm \[A\left( {4;1;4} \right),B\left( {3;3;1} \right),C\left( {1;5;5} \right),D\left( {1;1;1} \right)\] .Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC)

Giải

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;4;1} \right)\] nên mp(ABC) có VTPT

            \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14;10;2} \right)\]hay \[\left( {7;5;1} \right)\]

\[\left( P \right):7(x - 4 + 5\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 4} \right) = 0\] hay \[7x + 5y + z - 37 = 0\]

Đường thẳng d qua A , vuông góc với (ABC) có phương trình tham số:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 5t\\z = 1 + t\end{array} \right.\]. Thế \[x,y,z\] vào \[\left( P \right)\] thì \[t = \frac{8}{{25}}\]

Vậy hình chiếu có tọa độ \[H\left( {\frac{{81}}{{25}};\frac{{13}}{5};\frac{{33}}{{25}}} \right)\]

Bài toán 7. Tìm điểm đối xứng của \[A\left( {1;2; - 3} \right)\] qua mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\]

Giải

Đường thẳng d đi qua \[A\left( {1;2; - 3} \right)\] có VTCP \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {{u_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\]

Nên có phương trình tham số \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\]

Hình chiếu H của A lên \[\left( P \right)\] thuộc d nên tọa độ của H có dạng \[\left( {1 + 2t;2 + 2t; - 3 - t} \right)\]

\[H \in \left( P \right)\] nên \[2\left( {1 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - \left( { - 3 - t} \right) + 9 = 0\]

Suy ra : \[t =  - 2\] nên \[H\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\]

Gọi \[A'\] đối xứng với A qua \[\left( P \right)\] thì H là trung điểm của \[AA'\]

Vậy \[A'\left( { - 7; - 6;1} \right)\]

Bài toán 8. Tìm hình chiếu của \[M\left( {2; - 1;1} \right)\] lên đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\]

Giải

Hình chiếu H của M lên d là giao điểm của d với mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua M , vuông góc đường thẳng d:

\[2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\] hay \[2x - y + 2z - 7 = 0\]

H thuộc d nên \[H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right)\]

Thế tọa độ vào mp\[\left( P \right)\] thì được \[t = \frac{4}{9}\] nên

\[H\left( {\frac{{17}}{9}; - \frac{{13}}{9};\frac{8}{9}} \right)\]

Cách khác : Dùng điều kiện \[\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u  = 0\] để tìm t

Bài toán 9. Tìm điểm đối xứng của \[A\left( { - 2;3; - 4} \right)\] qua đường thẳng \[d:\frac{{x + 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\]

Giải

Đường thẳng d qua \[M\left( { - 2;3; - 4} \right)\] có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( { - 3; - 2;1} \right)\]

Hạ \[AH \bot d\] thì \[H\left( { - 2 - 3t; - 2 - 2t;t} \right) \in d\]

Ta có \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\] nên \[H\left( {1;0; - 1} \right)\]

Điểm B đối xứng của A qua d nên A là trung điểm của AB

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_H} - {x_A} = 4\\{y_B} = 2{y_H} - {y_A} =  - 3\\{z_B} = 2{z_H} - {z_A} = 2\end{array} \right.\]. Vậy điểm đối xứng là \[B\left( {4; - 3;2} \right)\]

Bài toán 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

\[\left( P \right):2x + y - z = 0\] , hai đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 3}},\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\]

Tìm tọa độ điểm M nằm trên \[\left( P \right)\] và điểm N trên d sao cho M, N đối xứng với nhau qua đường thẳng \[\Delta \]

Giải

Vì N nằm trên đường thẳng d nên \[N\left( {4 + t;t; - 3t} \right)\]

Gọi I là trung điểm của MN thì I nằm trên đường thẳng \[\Delta \]

Do đó \[I\left( {3 + m;2m; - 1 + 2m} \right)\]

Đường thẳng \[\Delta \] có VTCP \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2;2} \right)\]

Ta có :

                                \[ \Leftrightarrow  - 3 + 9m + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 1 - 3m\]

Suy ra \[N\left( {5 - 3m;1 - 3m; - 3 + 9m} \right)\]

Vì M đối xứng với N qua I nên \[M\left( {1 + 5m; - 1 + 7m;1 - 5m} \right)\]

Ta có

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 5m} \right) + \left( { - 1 + 7m} \right) - \left( {1 - 5m} \right) = 0 \Rightarrow m = 0\]

Suy ra \[M\left( {1; - 1;1} \right),N\left( {5;1; - 3} \right)\]

Dạng toán 2. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu \[S\left( {I;R} \right)\] và mp\[\left( P \right)\] .Gọi \[IH = d\] là khoảng cách từ tâm I đến \[\left( P \right)\] thì :

- Nếu \[d < R:\] mp\[\left( P \right)\] cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến. Đặc biệt, khi \[d = 0\] thì mp\[\left( P \right)\] đi qua tâm I của mặt cầu , giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính R

- Nếu \[d = R:\] mặt phẳng \[\left( P \right)\] tiếp xúc với mặt cầu

-Nếu \[d > R:\] mp\[\left( P \right)\] không có điểm chung với mặt cầu

          

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu \[S\left( {I;R} \right)\] và đường thẳng \[\Delta \]

Gọi H là hình chiếu của tâm I trên \[\Delta \] và \[d = IH\] là khoảng cách  từ O tới \[\Delta \]

- Nếu \[d < R:\]đường thẳng \[\Delta \] cắt mặt cầu tại hai điểm A, B

Độ dài dây \[AB = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}} \]

- Nếu \[d = R:\]đường thẳng \[\Delta \] tiếp xúc với mặt cầu

- Nếu \[d > R:\] đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu

Chú ý :

1)     Đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng có tâm H là hình chiếu của tâm mặt cầu I lên mp\[\left( P \right)\], bán kính \[r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \]

2)     Khoảng cách từ \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] đến mặt phẳng:

\[\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\] là \[d\left( {{M_0},P} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Bài toán 1. Xét vị trí tương đối của mặt cầu \[\left( S \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] trong các trường hợp dưới đây:

\[a){x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y + 4z + 5 = 0\] và \[x + 2y + z - 1 = 0\]

\[b){x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 2z + 10 = 0\] và \[x + 2y + 2z = 0\]

\[c){x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 8y - 2z - 4 = 0\] và \[x + y - z - 10 = 0\]

Giải

a)Mặt cầu có tâm \[I\left( {3; - 1; - 2} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = 3\]

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \[\left( P \right):d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} < R\]

Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu.

b)Mặt cầu có tâm \[I\left( {3; - 1;1} \right)\] và \[R = 1\]

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \[\left( P \right):d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 = R\]

Vậy mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.

c)Mặt cầu có tâm \[I\left( { - 2; - 4;1} \right),R = \sqrt {11} \]

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \[\left( P \right):d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 - 4 - 1 - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{{17}}{{\sqrt 3 }} > R\]

Vậy mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu.

Bài toán 2. Tìm tâm và bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu lần lượt có phương trình:

            \[\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\] và \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 2z + 10 = 0\]

Giải

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {3; - 1;1} \right)\] , bán kính \[R = 1\]

Tâm H là hình chiếu của I lên \[\left( P \right)\]

Phương trình của đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng

\[x + 2y - 2z + 1 = 0\] là : \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\]

Từ đó ta suy ra giao điểm H của d và mặt phẳng ứng với \[t = 0\] là \[H\left( {3; - 1;1} \right)\]

Vì điểm H trùng với I nên \[\left( P \right)\] là mặt kính cắt theo đường tròn lớn nên bán kính đường tròn giao tuyến \[r = R = 1\]

Bài toán 3. Tìm tâm và bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu lần lượt có phương trình :

            \[\left( P \right):2x + 2y + z + 1 = 0\] và \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 12x + 4y - 6z + 24 = 0\]

Giải

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {6; - 2;3} \right),R = 5\]

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng

\[2x + 2y + z + 1 = 0\] là : \[\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 2t\\y =  - 2 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\]

Từ đó suy ra giao điểm H của d và mặt phẳng ứng với \[t =  - \frac{4}{3}\] là tâm đường tròn giao tuyến \[H\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{14}}{3};\frac{5}{3}} \right)\]

Bán kính \[{r^2} = {R^2} - I{H^2} = 25 - 16 = 9\]. Vậy \[r = 3\]

Bài toán 4. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:

\[\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16,\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2} + 4t\\y =  - \frac{3}{2} - 2t\\z = t\end{array} \right.\]

Giải

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {2;3; - 1} \right)\] , bán kính \[R = 4\]

Đường thẳng d đi qua \[{M_0}\left( {\frac{5}{2}; - \frac{3}{2};0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( {4; - 2;1} \right)\]

Ta có \[d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {I{M_0}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {\frac{{205}}{{14}}} \]

Vì \[d\left( {I;d} \right) < R\] nên đường thẳng (d) cắt mặt cầu.

Bài toán 5. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng :

            \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 4z - 25 = 0,\left( d \right):\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\]

Giải

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4; - 3;2} \right)\] , bán kính \[R = 3\sqrt 3 \]

Đường thẳng d đi qua \[{M_0}\left( { - 2; - 2;0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)\]

Ta có \[d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {I{M_0}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\sqrt 3 \]

Vì \[d\left( {I;d} \right) = R\] nên đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu.

Bài toán 6. Cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0\] và đường thẳng

\[\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + mt\\z =  - 2t\end{array} \right.\]

Biện luận theo m số điểm chung của \[\left( S \right)\] và (d).

Giải

Điểm \[M\left( {x;y;z} \right)\] thuộc (d) nên \[x = t + 2,y = mt + 1,z =  - 2t\]

Thay vào (S) được :

\[{\left( {t + 2} \right)^2} + {\left( {mt + 1} \right)^2} + 4{t^2} - 2\left( {t + 2} \right) + 6\left( {mt + 1} \right) + 8t + 13 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {5 + {m^2}} \right){t^2} + 2\left( {5 + 4m} \right)t + 20 = 0\]

Ta có \[\Delta ' = {\left( {5 + 4m} \right)^2} - 20\left( {5 + {m^2}} \right) =  - 4{m^2} + 40m - 75\]

Biện luận :

Nếu \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}:\left( d \right)\] cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

Nếu \[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\] hoặc \[m = \frac{{15}}{2}:\left( d \right)\] tiếp xúc với (S) tại một điểm.

Nếu \[\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}\] hoặc \[m > \frac{{15}}{2}:\left( d \right)\] và (S) không có điểm chung.

Cách khác:

Tính khoảng cách từ tâm \[I\left( { - 1;3; - 2} \right)\] đến đường thẳng d rồi so sánh biện luận

Bài toán 7. Trong không gian Oxyz , xét mặt phẳng

\[\left( {{\alpha _m}} \right):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,m \in \left[ { - 1;1} \right]\]

Chứng minh rằng với mọi \[m \in \left[ { - 1;1} \right]\] thì \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] tiếp xúc với một mặt cầu cố định

Giải

Ta có \[d\left( {O;\left( {{\alpha _m}} \right)} \right) = \frac{{20}}{{\sqrt {9{m^2} + 25\left( {1 - {m^2}} \right) + 16{m^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {25} }} = 4\]

Suy ra khi m thay đổi , các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4