Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Mặt trụ - Hình trụ - Khối trụ - Ôn thi THPT QG môn toán, tài liệu bao gồm 9 trang, tuyển chọn bài tập Mặt trụ - Hình trụ - Khối trụ đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
CHỦ ĐỀ VI. MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ
Dạng toán 1. MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ
Mặt trụ tròn xoay: Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l song song đường thẳng \[\Delta \] cố định và cách đường thẳng \[\Delta \] một đoạn R không đổi. Mặt trụ (T) có trục \[\Delta \] và bán kính R.
Nếu M là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l đi qua M và song song với 
cũng nằm trên mặt trụ đó.
Hình trụ, khối trụ
Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') vuông góc với trục được gọi là hình trụ
Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.
- Trục \[OO'\]
- Đường sinh \[MM' = l\]
- Bán kính đáy R và chiều cao h thì: \[h = l = OO',R = OM\]
- Diện tích xung quanh: \[{S_{xq}} = 2\pi Rl\]
- Thể tích khối trụ: \[V = \pi {R^2}h\]
Chú ý:
1) Phương pháp đường sinh.
2) Thiết diện song song với trục hình trụ là một hình chữ nhật, tạo bởi 2 đường sinh song song và bằng nhau. Đặc biệt, thiết diện qua trục hình trụ là một hình chữ nhật có 2 kích thước là đường kính đáy và chiều cao hình trụ.
Bài toán 1. Cho đường tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Giải
Gọi A là trục của đường tròn (O; R). Nếu điểm M có hình chiếu \[M'\] nằm trên (O; R) thì \[MM'//\Delta \] và khoảng cách từ M tới \[\Delta \] bằng \[M'O = R\]. Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ có trục là \[\Delta \] và có bán kính bằng R.
Bài toán 2. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
Giải
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua O và song song với d. Nếu l là tiếp tuyến của mặt cầu và \[l//d\] thì \[l//\Delta \] và l cách A một khoảng không đổi R. Vậy l nằm trên mặt trụ có trục là \[\Delta \] và có bán kính bằng R.
Bài toán 3. Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng k không đổi.
Giải
Hạ MH vuông góc với AB.
Ta có: \[k = {S_{MAB}} = \frac{1}{2}AB.MD \Rightarrow MH = \frac{{2k}}{{AB}}\] là số không đổi.
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ có trục là đường thẳng
AB, bán kính \[R = \frac{{2k}}{{AB}}\].
Giải
a) \[{S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\]
\[ = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi {R^2}\]
\[V = \pi {R^2}.R\sqrt 3 = \sqrt 3 \pi {R^3}\].
b) Gọi O và \[O'\] là tâm của hai đường tròn đáy. Gọi \[AA'\] là đường sinh của hình trụ thì \[O'A' = R,AA' = R\sqrt 3 \] và góc \[\widehat {BAA'}\] bằng 30°.
Vì \[OO'//mp\left( {ABA} \right)\] nên khoảng cách giữa \[OO'\] và AB bằng khoảng cách giữa \[OO'\] và \[mp\left( {ABA'} \right)\].
Gọi H là trung điểm \[BA'\] thì khoảng cách đó bằng \[O'H\].
Tam giác \[BA'A\] vuông tại \[A'\] nên: \[BA' = AA'\tan 30^\circ = R\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = R\].
Do đó \[BA'O'\] là tam giác đều vậy khoảng cách \[O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Bài toán 5. Cho một khối trụ có bán kính đáy \[R = 5\](cm) và khoảng cách giữa hai đáy là 7(cm). Người ta cắt khối trụ đó bằng một mặt phẳng song song với trục của khối trụ và cách trụ một khoảng 3(cm). Tính diện tích của thiết diện.
Giải
Gọi tâm của hai đáy là O và O'.
Thiết diện khi cắt khối trụ là hình chữ nhật \[AA'B'B\].
Gọi K là trung điểm của AB
Ta có \[OK \bot AB \Rightarrow OK \bot AA' \Rightarrow OK \bot \left( {AA'B'B} \right)\].
Vậy OK là khoảng cách từ trục \[OO'\] tới mặt phẳng thiết
diện, tức là \[OK = 3\].
Trong tam giác vuông OKA:
\[K{A^2} = O{A^2} - O{K^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow KA = 4,AB = 8\].
Vậy diện tích của thiết diện \[AA'B'B\] là:
\[S = AB.BB' = 8.7 = 56\left( {c{m^2}} \right)\].
Bài toán 6. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó.
Giải
Gọi \[C'\] là hình chiếu của C trên mặt đáy chứa AB thì
\[AB \bot BC'\] do đó \[AC'\] là đường kính của đường tròn đáy.
Từ các tam giác vuông \[ABC'\] và \[CBC'\], ta có:
\[B{C'^2} = A{C'^2} - A{B^2} = 4{R^2} - A{B^2}\]
\[B{C'^2} = B{C^2} - C{C'^2} = A{B^2} - {R^2}\]
Suy ra: \[2A{B^2} = 5{R^2}\],
Vậy diện tích của hình vuông \[S = A{B^2} = \frac{5}{2}{R^2}\].
Bài toán 7. Trên hai đáy của hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đồng thời tạo với nhau một góc là 30°. Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai bán kính không đi qua tâm đường tròn có độ dài là a.
a) Tính tang của góc hợp trục và đoạn thẳng qua 2 mút đó.
b) Tính thể tích của khối trụ.
Giải
a) Gọi bán kính của hình trụ là R, hai bán kính chéo nhau là OA' và O'D.
Vẽ đường sinh DA thì: \[g\left( {OO',A'D} \right) = g\left( {AD,A'D} \right) = \widehat {ADA'} = \alpha \]
Trong tam góc \[AOA'\] cân tại O:
\[A{A'^2} = 2{R^2} - 2{R^2}\cos 30^\circ \]
\[ = \left( {2 - \sqrt 3 } \right){R^2} \Rightarrow AA' = \sqrt {2 - \sqrt 3 } R\]
Tam giác \[ADA'\] vuông tại A nên: \[D{A'^2} = A{D^2} + A{A'^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} = {\left( {2R} \right)^2} + \left( {2 - \sqrt 3 } \right){R^2} \Rightarrow {a^2} = \left( {6 - \sqrt 3 } \right){R^2} \Rightarrow R = \frac{a}{{\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}\]
Ta có: \[{h^2} = A{D^2} = D{A'^2} - A'{A^2}\]
\[ = {a^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right).\frac{{{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }} = \frac{{4{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }} \Rightarrow h = 2.\frac{{a\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}{{6 - \sqrt 3 }}\].
Do đó \[\tan \alpha = \frac{{AA'}}{{AD}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\].
b) Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{R^2}h = \pi .\frac{{{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }}.2.\frac{{a\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}{{6 - \sqrt 3 }} = \frac{{2\pi \sqrt {6 - \sqrt 3 } {a^3}}}{{{{\left( {6 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}\].
DẠNG TOÁN 2. NỘI NGOẠI TIẾP HÌNH TRỤ
- Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có tâm là tâm đường
tròn ngoại tiếp thiết diện hình chữ nhật qua trục hình trụ.
Tâm E là trung điểm trục \[OO'\]
Bán kính \[r = \sqrt {{R^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \]
- Mặt cầu nội tiếp hình trụ chỉ tồn tại khi hình trụ có
đuờng kính đáy bằng chiều cao hình trụ, có tâm là tâm
đường tròn nội tiếp thiết diện hình vuông qua trục hình trụ.
Tâm I là trung điểm của trục \[OO'\]
Bán kính \[r = R\] với điều kiện \[h = 2R\]
Chú ý:
1) Diện tích xung quanh của khối trụ: \[{S_{xq}} = 2\pi Rh\],
Thể tích của khối trụ: \[V = \pi {R^2}h\]
2) Diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2}\]
Thể tích khối cầu: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\].
Bài toán 1. Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Tính thế tích của khối trụ.
Giải
Khối hộp chữ nhật có thể nội tiếp trong ba khối trụ khác
nhau có đường tròn đáy ngoại tiếp lần lượt các mặt hình chữ
nhật, kích thước còn lại là chiều cao.
Thể tích của ba khối trụ đó lần lượt là:
\[\frac{{\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c}}{4},\frac{{\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a}}{4}\] và \[\frac{{\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b}}{4}\].
Bài toán 2. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Giải
a) Từ giả thiết ta suy ra hình trụ có bán kính đáy bằng R và đường sinh bằng 2R.
Từ đó: \[{S_{xq}} = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}\]
\[V = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\]
b) Hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp là hình tăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2R và có đáy là hình vuông cạnh \[R\sqrt 2 \] nên có thể tích
\[{V_{LT}} = 2{R^2}.2R = 4{R^3}\].
Bài toán 3. Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích của khối trụ đó.
Giải
Lăng trụ tam giác đều cạnh đáy a nên đáy hình trụ ngoại tiếp là đường tròn ngoại tiếp đáy có bán kính \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\], chiều cao hình trụ là chiều cao h của lăng trụ.
Do đó thể tích khối trụ ngoại tiếp: \[V = \pi {R^2}h = \frac{{\pi {a^2}h}}{3}\].
Bài toán 4. Một khối lăng trụ tam giác đều có canh đáy bằng a và chiều cao bằng h ngoại tiếp một khối trụ. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối trụ đó.
Giải
Lăng trụ tam giác đều cạnh đáy a nên đáy hình trụ nội tiếp là đường tròn nội tiếp đáy có bán kính \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\], chiều cao hình trụ là chiều cao h của lăng trụ.
Do đó thể tích khối trụ nội tiếp: \[V = \pi {R^2}h = \frac{{\pi {a^2}h}}{{12}}\].
Diện tích xung quanh của khối trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi ah\].
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
