TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Dạng toán 1. TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN

Định nghĩa: Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

- f đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

- f nghịch biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\]  khi đó:

- Nếu hàm số f đồng biến trên \[\left( {a;b} \right)\] thì \[f'\left( x \right) \ge 0\] với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\)

- Nếu hàm số f nghịch biến trên \[\left( {a;b} \right)\] thì \(f'\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\).

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] khi đó:

Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số f đồng biến trên \[\left( {a;b} \right)\]

Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số f nghịch biến trên \[\left( {a;b} \right)\]

Khi \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \[\left( {a;b} \right)\] thì kết quả trên vẫn đúng. Nếu hàm số f đồng biến trên \[\left( {a;b} \right)\] và liên tục trên nửa khoảng \[\left[ {a;b} \right)\]; \[\left( {a;b} \right]\]; đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì đồng biếntrên nửa khoảng \[\left[ {a;b} \right)\]; \[\left( {a;b} \right]\]; đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) tương ứng. Tương tự cho nghịch biến.

Phương pháp xét tính đơn điệu:

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên

- Kết luận

Chú ý:

1) Công thức và quy tắc đạo hàm

\(y = C \Rightarrow y' = 0\); \(y = x \Rightarrow y' = 1\); \(y = {x^n} \Rightarrow y' = n{x^{n - 1}}\);

\(y = \sqrt x  \Rightarrow y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {x > 0} \right)\); \(y = \sqrt[n]{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{n\sqrt[{n - 1}]{{{x^n}}}}}\);

\(y = \sin x \Rightarrow y' = \cos x\); \(y = \cos x \Rightarrow y' =  - \sin x\);

\(y = \tan x \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\); \(y = \cot x \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).

\({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\); \({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'\)   

\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'.v + u.v'\); \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\); \({f'_x} = {f'_u}.{u'_x}\) .

2) Phương trình lượng giác cơ bản:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\)    \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \)     \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \)      \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) \[y = {x^2} - 8x + 5\]             b) \[y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\] .

Giải

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 2x - 8\).

Cho \[y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4\].

Bảng biến thiên (BBT)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;4} \right)\), đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).

b) \(D = \mathbb{R}\). Ta có \[y' = 3{x^2} - 4x + 1\]

Cho \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\] hoặc \[x = 1\].

BBT

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\).

Bài toán 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) \[y = {x^4} - 2{x^2}\].           b) \[y = {x^4} + 9{x^2} - 3\].

Giải

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\[y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\], \[y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\] hoặc \(x =  \pm 1\).

BBT

\(y' > 0\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow \) y đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(y' < 0\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) \( \Rightarrow \) y nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Bài toán 3. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) \[y = \frac{{3x - 9}}{{1 - x}}\].   b) \[y = x + \frac{3}{x}\].

Giải

a) \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có \(y' = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)nên hàm số nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

b) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có \(y' = 1 - \frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \)

BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( {0;\sqrt 3 } \right)\).

Bài toán 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a) \[y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}\].      b) \[y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\].

Giải

a) \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^2}}}\)

                       \(y' = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} - 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) hay \(x = 2\)

BBT

b) \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;3} \right\}\).Ta có \(y' = \frac{{ - 2\left( {{x^2} + 9} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} < 0\), \(\forall x \ne  \pm 3\).Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;2} \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty  - 4} \right)\), \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do đó \(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\), \(\left( { - 3;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right)\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

Bài toán 5. Xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn, nửa khoảng:

a) \(y = \sqrt {9 - {x^2}} \)         b) \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 7} \).

Giải

a) Điều kiện \(9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\) nên \(D = \left[ { - 3;3} \right]\).

Với \( - 3 \le x \le 3\) thì \(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

BTT:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\). Do hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

b) Vì \(\Delta ' = 1 - 3 < 0\) nên \({x^2} - 2x + 7 > 0\), \(\forall x \Rightarrow D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 7} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 7} }}\)

\(y' \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\), \(y' \le 0 \Leftrightarrow x \le 1\)

Và f liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right]\) và đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Bài toán 6. Xét sự biến thiên của hàm số:

a) \(y = \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)   b) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}\).

Giải

a) ĐK: \(16 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < 16 \Leftrightarrow  - 4 < x < 4\). \(D = \left( { - 4;4} \right)\)

Ta có \(y' = \frac{{16}}{{\left( {16 - {x^2}} \right)\sqrt {16 - {x^2}} }} > 0\), \(\forall x \in \left( { - 4;4} \right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;4} \right)\).

b) \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\). Với \(x > 0\), \(y' = \frac{{2 - x}}{{2\sqrt x \left( {x + 2} \right)}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\) 

BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).