Dạng bài tập Biến đổi logarit

Thủy Nguyễn Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 5 11.7 K 84

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Biến đổi logarit Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 5 trang, tuyển chọn 10 bài tập Biến đổi logarit đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Lôgarit

BIẾN ĐỔI LÔGARIT

I. Phương pháp giải

- Lôgarit cơ số a: $\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\,(0 < a \ne 1$ và $b > 0)$

- Lôgarit cơ số 10: ${\log _{10}}b = \lg b$ hay $\log b$

- Lôgarit cơ số e: ${\log _e}b = \ln b\left( {e \approx 2,7183} \right)$

- Tính chất: ${\log _a}1 = 0$ và ${\log _a}{a^b} = b$ với $a > 0,a \ne 1.$

${a^{{{\log }_a}b}} = b$ với $a > 0,b > 0,a \ne 1.$

- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:

$lo{g_a}\left( {b.c} \right) = lo{g_a}b + lo{g_a}c$

$lo{g_a}\frac{b}{c} = lo{g_a}b - lo{g_a}c,lo{g_a}\left( {\frac{1}{c}} \right) = - lo{g_a}c$

$lo{g_a}{b^\alpha } = \alpha lo{g_a}b$ ( với mọi $\alpha$ ), $lo{g_a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}lo{g_a}b\left( {n \in {N^*}} \right)$

- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:

${\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}x = {\log _a}x$

${\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}a = 1;{\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$

- Quan hệ so sánh với $a > 0,a \ne 1,b > 0,c > 0$ .

Nếu $a > 1$ thì: ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c.$

Nếu $0 < a < 1$ thì: ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c.$

Nếu $a > 1$ thì: ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1.$

Nếu $0 < a < 1$ thì: ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1.$

${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c.$

II. Ví dụ minh họa

Bài toán 1: Tính:

a) ${\log _{\frac{1}{5}}}125;{\rm{ }}{\log _{0,5}}\frac{1}{2};{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{6}}}36$

b) ${3^{{{\log }_3}18}};{\rm{ }}{3^{5{{\log }_3}2}};{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}.$

Giải

a) ${\log _{\frac{1}{5}}}125 = {\log _{\frac{1}{5}}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 3}} = - 3;{\rm{ }}{\log _{0,5}}\frac{1}{2} = {\log _{0,5}}0,5 = 1$

${\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}} = {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = 3;{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{6}}}36 = {\log _{\frac{1}{6}}}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ - 2}} = - 2$

a) ${3^{{{\log }_3}18}} = 18;{\rm{ }}{3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}{2^5}}} = {2^5} = 32$

${\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{\left( { - 3} \right){{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ - 3}}}} = {5^{ - 3}} = \frac{1}{{125}}$

${\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{{{\log }_{^{\frac{1}{2}}}}{2^5}}} = {2^5} = 32.$

Bài toán 2: Tính:

a) $\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}$

b) ${36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.$

Giải

a) $\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}} = \frac{{{{\log }_5}3}}{{2{{\log }_5}3}} = \frac{1}{2}$

b) ${36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}} = {6^{{{\log }_6}{5^2}}} + {10^{{{\log }_{10}}5}} - {2^{{{\log }_2}{3^3}}} = {5^2} + 5 - {3^3} = 3.$

Bài toán 3: Tính gọn

a) ${\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)$

b) $\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625}$

Giải

a) $\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = {a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{173}}{{60}}}} \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right) = \frac{{173}}{{60}}$

b) $\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625}$

$= \log {2^{ - 3}} - \log \left( {0,{5^3}.3} \right) + 2\log \sqrt {0,{5^4}{{.3}^2}}$

$\begin{array}{l} = \log {2^{ - 3}} - \log {2^{ - 3}} - \log 3 + 2\log {2^{ - 2}} + 2\log 3\\ = \log {2^{ - 4}} + \log 3 = \log \frac{3}{{16}}\end{array}$ .

Bài toán 4: Tính gọn:

$A = {\log _3}6.{\log _8}9.lo{g_6}2$ $B = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4.{\log _6}5.{\log _7}6.{\log _8}7$

Giải

$A = {\log _3}6.lo{g_6}2.{\log _8}9 = {\log _3}2.\frac{1}{3}{\log _2}9 = \frac{1}{3}{\log _3}9 = \frac{2}{3}$

$B = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4.{\log _6}5.{\log _7}6.{\log _8}7$

$\begin{array}{l} = \frac{{\log 2}}{{\log 3}}.\frac{{\log 3}}{{\log 4}}.\frac{{\log 4}}{{\log 5}}.\frac{{\log 5}}{{\log 6}}.\frac{{\log 6}}{{\log 7}}.\frac{{\log 7}}{{\log 8}}\\ = \frac{{\log 2}}{{\log 8}} = {\log _8}2 = \frac{1}{3}{\log _2}2 = \frac{1}{3}\end{array}$

Bài toán 5: Tìm $x$ biết:

a) ${\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b$

b) ${\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a + \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b$

Giải

a) ${\log _5}x = {\log _5}{a^2} - {\log _5}{b^3} = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}$

b) ${\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} + {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{5}}}} \right) \Rightarrow x = {a^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{5}}}.$

Bài toán 6:

a) Tính ${\log _{25}}15$ theo $a = {\log _{15}}3.$

b) Tính $lo{g_4}1250$ theo $b = {\log _2}5.$

Giải

a) $\begin{array}{l}{\log _{25}}15 = \frac{1}{{{{\log }_{15}}25}} = \frac{1}{{2{{\log }_{15}}5}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}15 - {{\log }_{15}}3} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\end{array}$

b) $lo{g_4}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^4}.2} \right) = 2{\log _2}5 + \frac{1}{2} = 2b + \frac{1}{2}$

Bài toán 7:

a) Tính ${\log _{\sqrt 3 }}50$ theo ${\log _3}15 = a,{\log _3}10 = b.$

b) Tính ${\log _{25}}24$ theo ${\log _6}15 = x,{\log _{12}}18 = y.$

Giải

a) ${\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5$

$= 2{\log _3}10 + 2{\log _3}\frac{{15}}{3} = 2{\log _3}10 + 2\left( {{{\log }_3}15 - 1} \right)$

$= 2b + 2\left( {a - 1} \right) = 2a + 2b - 2.$

b) Ta có $x = \frac{{{{\log }_2}3.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}$ và $y = \frac{{{{\log }_2}{{2.3}^2}}}{{{{\log }_2}{2^2}.3}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}$

Suy ra ${\log _2}3 = \frac{{2y - 1}}{{2 - y}};{\log _2}5 = \frac{{x + 1 - 2y + xy}}{{2 - y}}$

Do đó ${\log _{25}}24 = \frac{{{{\log }_2}{2^3}.3}}{{{{\log }_2}{5^2}}} = \frac{{5 - y}}{{2\left( {x + 1 - 2y + xy} \right)}}.$

Bài toán 8: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:

a) ${a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}$

b) $\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_{ab}}x}} = 1 + {\log _a}b$

c) $\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^3}}}b}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{{\log }_a}b}}$

Giải

a) ${a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_b}{a^{{{\log }_c}b}}}} = {b^{{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}} = {b^{{{\log }_c}a}}$

b) $\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_{ab}}x}} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}ab}}}} = {\log _a}ab = {\log _a}a + {\log _a}b = 1 + {\log _a}b$

c) $VT = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{2}{{{{\log }_a}b}} + \frac{3}{{{{\log }_a}b}} + ... + \frac{n}{{{{\log }_a}b}}$

$= \left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right).\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{{\log }_a}b}}.$

Bài toán 9: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:

a) Nếu ${a^2} + {b^2} = 7ab$ thì ${\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)$

b) Nếu ${a^2} + {c^2} = {b^2}$ thì ${\log _{b + c}}a + {\log _{b - c}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{b - c}}a.$

Giải

a) ${a^2} + {b^2} = 7ab \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Rightarrow \frac{{a + b}}{3} = \sqrt {ab} \Rightarrow$ đpcm.

b) Theo giả thiết: ${a^2} = \left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)$ . Xét $a = 1$ : đúng.

Xét $a \ne 1$ thì ${\log _a}\left( {b - c} \right) + {\log _a}\left( {b + c} \right) = 2 \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_{b - c}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{b + c}}a}} = 2$

nên ${\log _{b + c}}a + {\log _{b - c}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{b - c}}a.$

Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức ${\left( {\sqrt {{x^{\frac{1}{{\lg x + 1}}}}} + \sqrt[{12}]{x}} \right)^6}$ , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm $x$ ?

Giải

ĐK: $x > 0,x \ne \frac{1}{{10}}.$

Ta có:

${\left( {\sqrt {{x^{\frac{1}{{\lg x + 1}}}}} + \sqrt[{12}]{x}} \right)^6} = {\left( {{x^{\frac{1}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}}}} + {x^{\frac{1}{{12}}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {x^{\frac{{6 - k}}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}}}}.{x^{\frac{k}{{12}}}}$

Số hạng thứ 4 ứng với k = 3, theo giả thiết bằng 200 nên:

$C_6^3{x^{\frac{3}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}} + \frac{1}{4}}} = 200 \Leftrightarrow {x^{\frac{{7 + {\mathop{\rm lgx}\nolimits} }}{{4\lg x + 4}}}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{7 + {\mathop{\rm lgx}\nolimits} }}{{4\lg x + 4}}\lg x = 1$

$\Leftrightarrow {\lg ^2}x + 3\lg x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\lg x = 1\\\lg x = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = {10^{ - 4}}\end{array} \right.$ (Chọn).