50 Bài tập Phương trình mặt phẳng (có đáp án)- Toán 12

Tải xuống 17 1.6 K 9

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2:Phương trình mặt phẳng. Bài viết gồm 50 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 12. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Chương 3 Bài 2: Phương trình mặt phẳng. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

A. Bài tập Phương trình mặt phẳng

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-x0; -y0; z0) và phương trình của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz = D = 0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳn song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0. M là một điểm di động trên mặt phẳng (P). Khẳng định nào dưới đây có thể sai?

A. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.

B. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D' - D|

Lời giải:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và M thuộc mặt phẳng (P) thì:

+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

+ Đặc biệt, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D - D'| khi và chỉ khi :

A2 + B2 + C2 =1

Do đó, mệnh đề D có thể sai.

Câu 3: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Mỗi mặt phẳng chỉ có duy nhất một vectơ pháp tuyến

B. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

C. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) vuông góc với một mặt phẳng (Q) cho trước

D. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) song song với một đường thẳng d cho trước

Lời giải:

Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A(x0; y0; z0) thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến n(A; B; C) của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) khi đó: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0)= 0

Câu 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến nP = (A; B; C) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng cũng vuông góc

C. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng không cùng phương

D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song

Lời giải:

Khẳng định: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song là sai vì khi đó hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể trùng nhau.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

A. 2x - y - 3z - 8 = 0   

C. x - 2z - 8 = 0

B. x - 2z - 8 = 0   

D. 2x - y - 3z + 6 = 0

Lời giải:

Do (P) ⊥ AB nên mp(P) có một vectơ pháp tuyến là nP = AB = (-2; 1; 3) . Mặt khác (P) đi qua điểm A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 ⇔ -2x + y + 3z + 8 = 0 ⇔ 2x - y - 3z - 8 = 0.

Vậy đáp án đúng là A.

Lưu ý. Khi ta viết phương trình mặt phẳng (P) bị nhầm ở cột z:

-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 <> 2x - y - 3z - 4 = 0

thì ta được đáp án B.

Khi ta viết phương trình mặt phẳng bị nhầm giữa tọa độ của điểm A với tọa độ của vectơ pháp tuyến 1(x - (-2)) + 0(y - 1) -2(z - 3) = 0 <=> x - 2x + 8 = 0 thì ta được đáp án C.

Khi ta viết phương trình mặt phẳng đi qua B thì ta thu được đáp án D.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;5), B(-1;5;3). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB

A. x + y + z = 0   

B. x + y - z = 0   

C. x - y + z = 0    

D. -x + y + z = 0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB. Ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Ta chọn :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

-2(x - 0) + 2(y - 4) - 2(z - 4) = 0 ⇔ -2x + 2y - 2z = 0 ⇔ x - y + z = 0

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 7: Trong không gian Oxyz, gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

C. Thể tích của tứ diện OA1A2A3 bằng 4

D. Mặt phẳng (A1A2A3) đi qua điểm A.

Lời giải:

Vì A1, A2, Alần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) lên các trục Ox, Oy, Oz nên ta có A1(4; 0; 0), A2(0; 3; 0), A3(0; 0; 2) .

Từ đó suy ra các khẳng định A và B là đúng.

Thể tích của khối tứ diện

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vậy khẳng định C là đúng.

Khẳng định D là sai do

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12
Vậy đáp án cần tìm là đáp án D.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3), vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + y - 3z = 0 đồng thời (P) song song với trục Oz.

A. x + y - 3 = 0   

B. x - y - 1 = 0   

C. 2x + y - 3z - 1 = 0   

D. x - y + 1 = 0

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Ta chọn

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Mặt khác (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 2) - 1(y - 1) = 0 <=> x - y - 1 = 0 .

Vậy đáp án đúng là B

Lưu ý. Đáp án A xuất phát từ việc tính sai thành phần thứ hai của vectơ pháp tuyến

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án C xuất phát từ sai lầm trong công thức viết phương trình mặt phẳng, nhầm giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ pháp tuyến

Đáp án D xuất phát từ việc nhầm hệ số tự do khi viết phương trình mặt phẳng (P).

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ;0 ;1), B(0 ;-1 ;-3), C(3 ;2 ;5).

A. x - y - 1 = 0   

B. x - y + 1 = 0   

C. x + z - 2 = 0   

D. x + y - 1 = 0

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Mặt khác (P) đi qua điểm A(1 ;0 ;1) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 1) - 1(y - 0) = 0 <=> x - y - 1 = 0.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1 ;2 ;2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. 2x + 2y + z - 8 = 0

B. 2x + 2y + z + 8 = 0

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

D. x + 2y + 2z - 9 = 0

Lời giải:

Ta có OA ⊥ OB, OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC .

Mặt khác ta có AM ⊥ BC nên ta suy ra BC ⊥ (OAM) => BC ⊥ OM

Chứng minh tương tự ta được AC ⊥ OM . Do đó OM ⊥ (ABC).

Ta chọn nP=OM= (1; 2; 2). Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là :

1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0 <=> x + 2y + 2z - 9 = 0

Chọn D

Lưu ý. Bài toán này có thể giải bằng cách tìm tọa độ của các điểm A, B, C dựa vào các điều kiện

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12
II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m2 - 2m)x + y + (m - 1)z + m2 + m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox ?

Lời giải:

Ta có nP = (m2 - 2m; 1; m - 1). Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Từ đó ta được m=2.

Vậy đáp án B là đáp án đúng.

Lưu ý. Học sinh thường chỉ để ý đến điều kiện (1) và quên mất điều kiện (2), từ đó sẽ chọn đáp án (C)

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z + 1 = 0, (Q): 2x + 4y + az + b = 0. Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.

Lời giải:

Muốn khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lớn hơn 0 thì trước hết hai mặt phẳng đó phải song song (nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau hoặc cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0). Do đó ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Lấy điểm A(-1;0;0) ∈ (P). Khi đó ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vậy đáp án đúng là B.

Lưu ý. Đáp án A sai là do khi tính khoảng cách quên không lấy giá trị tuyệt đối

Đáp án D sai, xuất phát từ sai lầm khi tính khoảng cách bị sai do thiếu căn thức ở mẫu số.

Đáp án C sai, do trong trường hợp đó hai mặt phẳng cắt nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng này sẽ bằng 0.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 5 = 0 và cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 3z + 3 = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

- (P) giao (S) theo một đường tròn

- (P) tiếp xúc với (S)

- (P) không cắt (S)

- Mặt phẳng (P) đi qua tâm của mặt cầu (S)

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và có bán kính

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Do đó mặt phẳng (P) giao với mặt cầu (S) theo một đường tròn và (P) không đi qua tâm I của (S).

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thay đổi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện 3ab + bc - 2ac = abc . Khoảng cách lớn nhất từ O đến mặt phẳng (ABC) là?

Lời giải:

Phương trình của mặt phẳng (ABC) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Theo giả thiết ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Từ đó suy ra M(1; -2; 3) ∈ mp(ABC) .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H trùng M.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có một vectơ pháp tuyến nP = (A; B; C) là?

Lời giải:

Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến nP = (A; B; C) là:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x0, y0, -z0) và có một vectơ pháp tuyến nP = (-A; B; -C) là?

Lời giải:

Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x0; y0; -z0) và có một vectơ pháp tuyến nP = (-A; B; -C) là:

-A(x + x0) + B(y - y0) - C(z + z0) = 0

⇔ A(x + x0) - B(y - y0) + C(z + z0) = 0

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC

Lời giải:

Ta có: OA → OB, OC => OA → (OBC) => OA → BC

Mặt khác vì AM → BC (M là trực tâm tam giác ABC) nên ta suy ra BC → (OAM) => BC → OM

Chứng minh tương tự ta được AC → OM. Do đó OM → (ABC). Ta chọn: nP=OM = (1; -2; 3)

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là:

1(x - 1) - 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0 ⇔ x - 2y + 3z - 14 = 0

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;2;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là?

Lời giải:

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 . Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vì M(3 ;2 ;1) thuộc (P) nên ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vì tam giác ABC đều nên ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b= c (do a, b, c > 0)

Thay a = b = c vào phương trình (*) ta được

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Suy ra: a = b = c = 6. Vậy có một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm là A(2;0;0), M(1;1;1). Cho (P) cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho thể tích của từ diện OABC nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c > 0.

Ta có: OA = 2; OB = b; OC = c

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u = (-1; 3; 4),v = (2; -1; 5). Tích có hướng của hai vectơ u và v là?

Lời giải:

Hai vectơ u = (-1; 3; 4), v = (2; -1; 5)

Thì tích có hướng của hai vectơ u và v là:

[u,v] = (19; 13; -5)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là x - 2y + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Bài 3 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Bài 4 Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (Oxy) là?

Bài 5 Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy) là?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;3) và song song với mặt phẳng (Q)?

Bài 7 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;-2) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x - y + 2z = 0

Bài 8 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-2 ;1 ;-2) và vuông góc với trục Oz.

Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ;0 ;-2), B(-1 ;1 ;2). Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là?

Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-2), B(1;1;2). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương trình của mặt phẳng (P) là?

Bài 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu vuông góc của điểm A trên các trục tọa độ?

B. Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1.  Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto n  0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu n là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn  (k0) cũng là vecto pháp tuyến của  mặt phẳng đó. 

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a=(a1;a2;a3)b=(b1;b2;b3). Tích có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là a,b, được xác định bởi

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: AB(-3;1;1);AC(2;0;3)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :

n=AB;AC=(3;7;2)

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n(A;B;C).

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ n(A;B;C) khác  là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.

Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là (2; -1; 3).

Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có: AB(2;0;2);  BC(4;0;1)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

n  =  AB;  BC=  (0;10;0)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay  y – 1 = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) :  Ax + By + Cz + D =  0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b)

- Nếu A=0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu A0,B=0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu A0,B0,C=0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

c)

- Nếu  A = B = 0; C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; B0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; A0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn α:xa+yb+zc=1. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc0.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: x2  +​  y3  +​  z1  =1

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: n1  (A;1  B1;C1);   n2  (A;2  B2;C2)

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chú ý:  Để (α) cắt (β)n1  k.n2(A1;B1;C1)k(A2;  B2;​​C2)

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên nα=(1;1;2)

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

(α)    (β)  n1  n2A1A2+​  B1B2+​  C1C2  =0

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: nQ=  (1;1;2)

Và AB  (1;1;2)

Vì nP  nQ;  nP  AB nên nP  =nQ;  AB=  (0;4;2)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:

d(M0,(α))=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: d((P);(Q))=d(A;(Q))=32.0+2.0712+(2)2+22=  103

Tài liệu có 17 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống