+ Ta có: ( - 4 ).5 = 4.( - 5 ) → Khẳng định ( 1 ) sai.

+ Ta có: 12 > 11 ⇒ 12.( - 7 ) < 11.( - 7 ) → Khẳng định ( 2 ) sai.

+ Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ - 4x² ≤ 0 → Khẳng định ( 3 ) sai

Chọn đáp án A.

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc

Khi đó, ta có: a + 1 ≤ b + 2 ⇒ 2( a + 1 ) ≤ 2( b + 2 ) ⇔ 2a + 2 ≤ 2b + 4.

Chọn đáp án C.

+ Ta có: a > b ⇒ - 3a < - 3b ⇔ - 3a - 1 < - 3b - 1

→ Đáp án A sai.

+ Ta có: a > b ⇒ a - 1 > b - 1 ⇔ - 3( a - 1 ) < - 3( b - 1 )

→ Đáp án B đúng.

+ Ta có: a > b ⇒ a - 1 > b - 1 ⇔ - 3( a - 1 ) < - 3( b - 1 )

→ Đáp án C sai.

+ Ta có: a > b ⇒ a - 1 > b - 1 ⇔ 3( a - 1 ) > 3( b - 1 )

→ Đáp án D sai.

Chọn đáp án B.

+ Ta có: a ≥ b ⇒ 2a ≥ 2b

Mặt khác, ta có: - 5 ≥ - 6

Khi đó 2a - 5 ≥ 2b - 6 hay 2a - 5 ≥ 2( b - 3 ).

Chọn đáp án C.

Ta có: x > 0 ⇒ x + 1 > 1 ⇒ ( x + 1 )² > 12.

Hay ( x + 1 )2 > 1.

Chọn đáp án B.

Chọn đáp án A

* Ta có: a > b nên 2a > 2b

Suy ra: 2a + 9 > 2b + 9 (1)

* Lại có: 10 > 9 nên 2a + 10 > 2a + 9 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2a+ 10 > 2b + 9

Chọn đáp án C

Ta có: - 2a - 8 < - 2b – 8 nên: -2a - 8 + 8 < - 2b – 8 + 8 hay -2a < - 2b

Nhân cả 2 vế bất đẳng thức với -$\frac{1}{2}$ < 0 ta được: a > b

Chọn đáp án A

Ta có: a < b, nhân cả 2 vế bất đẳng thức với 2 > 0 ta được: 2a < 2b

Suy ra: 2a – 3 < 2b – 3 (1)

Lại có: -3 < 4 nên 2b – 3 < 2b + 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2a – 3 < 2b + 4

Chọn đáp án A

Ta có: 4a < 7a nên 4a + (-4a) < 7a + (- 4a) hay 0 < 3a (1)

Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức (1) với $\frac{1}{3}$ > 0 ta được:

Vậy a > 0

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Lời giải

* Với a > b > 0 ta có:

+) a. a > a. b ⇔ a² > ab

+) Ta có: a² > ab ⇒ a²a> a. ab ⇔ a³ > a²b

Mà, 

a > b > 0 ⇒ ab > b.b ⇔ ab > b² ⇒ ab. a > b^2. b ⇒ a².b > b³.

⇒ a²b > b³ ⇒ a³ > a²b > b³

⇒ a³ > b³

Vậy a² > ab và a³ > b^3.

Bài 2: Cho a > b > 0. So sánh a³……b^3, dấu cần điền vào chỗ chấm là?

Lời giải

* Với a > b > 0 ta có:

+) a. a > a. b ⇔ a² > ab

+) Ta có: a² > ab ⇒ a^2. a > a. ab ⇔ a³ > a²b

Mà a > b > 0 ⇒ ab > b. b ⇔ ab > b²

⇒ ab. a > b². b ⇒ a²b > b^3.

⇒ a²b > b³ ⇒ a³ > a²b > b³.

⇒ a³ > b³

Vậy a³ > b³

Lời giải

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Xét hiệu: P = a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b)

Nên a² + b² > 2ab với mọi a, b.

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Bài 6 a) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với 5091 thì được bất đẳng thức nào?

b) Dự đoán kết quả: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với số c dương thì ta được bất đẳng thức nào?

Lời giải

a) - 2. 5091 = - 10 182 và 3. 5091 = 15 273

⇒ - 10 182 < 15 273

b) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với số c dương thì ta được bất đẳng thức: -2c < 3c

Bài 8 Đặt dấu thích hợp (<, >) vào ô vuông:

a) (-15,2) . 3,5 .....(-15,08) . 3,5;

b) 4,15 . 2,2 ..... (-5,3) . 2,2.

Lời giải

a) (-15,2) . 3,5 < (-15,08) . 3,5

b) 4,15 . 2,2 > (-5,3) . 2,2

Bài 9 

a) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với -345 thì được bất đẳng thức nào?

b) Dự đoán kết quả: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với số c âm thì ta được bất đẳng thức nào?

Lời giải

a) – 2 . (- 345) = 690; 3 . 345 = - 1035

⇒ 690 > - 1035

b) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức -2 < 3 với số c âm thì ta được bất đẳng thức: -2c > 3c

Bài 10 Cho -4a > -4b, hãy so sánh a và b.

Lời giải

a < b

Bài 11 Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác không thì sao?

Lời giải

- Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương: Bất đằng thức không đổi dấu

- Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm: bất đằng thức đổi dấu

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho a < b, hãy so sánh:

2a và 2b; 2a và a + b; -a + b; -a và -b.

Bài 2 Số a là số âm hay dương nếu:

12a < 15 a? 4a < 3a? -3a > -5a?

Bài 3 Cho a < b, chứng tỏ:

a) 2a - 3 < 2b - 3; b) 2a - 3 < 2b + 5.

Bài 4 Cho tam giác ABC. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Bài 5

a) So sánh (-2).3 và -4,5.

b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau:

(-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 < 0

Bài 6 Cho a < b, chứng minh:

a) 3a + 1 < 3b + 1; b) -2a – 5 > -2b - 5

Bài 7 Chứng minh:

a) 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14;

b) (-3).2 + 5 < (-3).(-5) + 5

c) a + 5 < b + 5;        

d) – 3a > -3b

e) 5a – 6 ≥ 5b – 6;    

g) -2a + 3 ≤ - 2b + 3

Bài 8 Cho a < b, hãy so sánh:

2a + 1 với 2b + 1; 2a + 1 với 2b + 3

Bài 9 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) $(-6).5<(-5).5$

b) $(-6).(-3)<(-5).(-3)$

c) $(-2003).(-2005)\le (-2005).2004$

d) $-3x^2\le 0$

Bài 10 Số a là số âm hay dương nếu:

a) $12a<15a$

b) $4a<3a$

c) $-3a>-5a$

B. Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1. Tính chất 1

- Khi nhân (hay chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Với ba số a, b, c trong đó c > 0, ta có:

+ Nếu a > b thì ac > bc;

+ Nếu a < b thì ac < bc;

+ Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc;

+ Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc.

2. Tính chất 2

- Khi nhân (hay chia) cả hai vế bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Với ba số a, b, c trong đó c <0, ta có:

+ Nếu a > b thì ac < bc;

+ Nếu a < b thì ac > bc;

+ Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc;

+ Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc.

3. Tính chất bắc cầu

Nếu a > b và b > c thì a > c.

Tương tự cho các bất đẳng thức với dấu <; ≥; ≤.