Nếu a > 0 thì ax + b > 0 ⇔ x > - $\frac{b}{a}$ nên

Nếu a < 0 thì ax + b > 0 ⇔ x < - $\frac{b}{a}$ nên

Nếu a = 0 thì ax + b > 0 có dạng 0x + b > 0

Với b > 0 thì S = R.

Với b ≤ 0 thì S = Ø

Chọn đáp án D.

Ta có: 5x - 1 ≥ $\frac{2x}{5}$ + 3 ⇔ 25x - 5 ≥ 2x + 15 ⇔ 23x ≥ 20 ⇔ x ≥ $\frac{20}{23}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≥ $\frac{20}{23}$;

Chọn đáp án D.

Ta có:

Vì x ∈ Z, - 10 < x ≤ - 5 nên có 5 nghiệm nguyên.

Chọn đáp án B.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x > $\sqrt{2}$

Chọn đáp án B.

Ta có: ( 2x - 1 )( x + 3 ) - 3x + 1 ≤ ( x - 1 )( x + 3 ) + x² - 5

⇔ 2x² + 5x - 3 - 3x + 1 ≤ x² + 2x - 3 + x² - 5 ⇔ 0x ≤ - 6

⇔ x ∈ Ø → S = Ø

Chọn đáp án D.

Chọn đáp án B

Ta có: 8x + 4 > 2( x +5 )

⇔ 8x + 4 > 2x + 10

⇔ 8x – 2x > 10 - 4

⇔ 6x > 6

⇔ x > 6 : 6

⇔ x > 1

Chọn đáp án D

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

Do x = 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho nên:

⇔ 2m + 2 < 2 + 3 + m

⇔ 2m – m < 2 + 3- 2

⇔ m < 3

Chọn đáp án B

II. Bài tập tự luận có giải

Lời giải

Lời giải

Ta có (x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25

⇔ x² + 7x + 12 > x² + 7x - 18 + 25

⇔ x² + 7x + 12 - x² - 7x + 18 - 25 > 0

⇔ 5 > 0

Vì 5 > 0 (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm x $\in$ R.

Lời giải

Ta có: (x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25

⇔ x² + 7x + 12 > x² + 7x - 18 + 25

⇔ x² + 7x + 12 - x² - 7x + 18 - 25 > 0

⇔ 5 > 0

Vì 5 > 0 (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm x $\in$ R.

Lời giải

Phân thức  không âm  ⇔  ≥ 0

Vì 4 > 0 nên

 ≥ 0 ⇔ 9 - 3x > 0 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3

Vậy để phân thức  không âm thì x < 3.

Bài 6 Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn:

a) 2x – 3 < 0;

b) 0 . x + 5 > 0;

c) 5x – 15 ≥ 0;

d) x² > 0.

Lời giải

Các bất phương trình a, b, c là các bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 7 Giải các bất phương trình sau:

a) x + 12 > 21;

b) -2x > -3x – 5.

Lời giải

a) x + 12 > 21 ⇔ x > 21 - 12 ⇔ x > 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x + 12 > 21 là {x|x > 9}

b) -2x > -3x – 5 ⇔ -2x + 3x > -5 ⇔ x > -5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -2x > -3x – 5 là {x|x > -5}

Bài 8 Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân):

a) 2x < 24;

b) -3x < 27.

Lời giải

a) 2x < 24 ⇔ 2x. < 24. ⇔ x < 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x < 24 là {x|x < 12}

b) -3x < 27 ⇔ -3x. > 27. ⇔ x > -9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình - 3x < 27 là {x|x > -9}

Bài 9 Giải thích sự tương đương:

a) x + 3 < 7 ⇔ x – 2 < 2;

b) 2x < - 4 ⇔ -3x > 6.

Lời giải

a) x + 3 < 7 ⇔ x + 3 - 5 < 7-5 ⇔ x – 2 < 2

b) 2x < -4 ⇔ 2x. > -4. ⇔ -3x > 6

Bài 10 Giải bất phương trình - 4x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải

- 4x – 8 < 0 ⇔ -4x < 8 ⇔ x > -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x|x > -2}

Biểu diễn trên trục số

Bài 11 Giải bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2.

Lời giải

- 0,2x – 0,2 > 0,4x – 2

⇔ 0,4x – 2 < -0,2x – 0,2

⇔ 0,4x + 0,2x < -0,2 + 2

⇔ 0,6x < 1,8

⇔ x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2 là {x|x < 3}

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế):

a) x - 5 > 3

b) x - 2x < -2x + 4

c) -3x > -4x + 2

d) 8x + 2 < 7x - 1

Bài 2 Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân):

a) 0,3x > 0,6 ; b) -4x < 12

c) -x > 4 ; d) 1,5x > -9

Bài 3 Giải thích sự tương đương sau:

a) x - 3 > 1 ⇔ x + 3 > 7

b) -x < 2 ⇔ 3x > -6

Bài 4 Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 1,2x < -6 ; b) 3x + 4 > 2x + 3

Bài 5 Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 2x - 3 > 0; b) 3x + 4 < 0

c) 4 - 3x ≤ 0; d) 5 - 2x ≥ 0

Bài 6 Giải các bất phương trình:

a) 2x - 1 > 5; b) 3x - 2 < 4

c) 2 - 5x ≤ 17; d) 3 - 4x ≥ 19

Bài 7 Giải các bất phương trình:

Bài 8 Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm).

Bài 9 Đố: Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không?

Bài 10 Cho bất phương trình x² > 0.

a) Chứng tỏ x = 2, x = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Có phải mọi giá trị của ẩn x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?

B. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Bất phương trình bậc nhất một ẩn  là bất phương trình có dạng $ax+b<0$ (hoặc $ax+b>0;ax+b\le 0;ax+b\ge 0$) trong đó a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$.

* Các quy tắc

- Quy tắc chuyển vế; Khi chuyển một hạng tử từ một vế của bất phương trình sang vế còn lại, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ  $A\left(a\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff A\left(x\right)<C\left(x\right)-B\left(x\right)$

- Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0: Khi nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với một số khác 0 ta phải giữ nguyên chiều bất phương trình (nếu số đó dương) hoặc đổi chiều bất phương trình (nếu số đó âm) ta được bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.

Ví dụ:

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff mA\left(x\right)+mB\left(x\right)<mC\left(x\right)$ với $m>0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff \frac{A\left(x\right)}{m}+\frac{B\left(x\right)}{m}<\frac{C\left(x\right)}{m}$ với $m>0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff mA\left(x\right)+mB\left(x\right)>mC\left(x\right)$ với $m<0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff \frac{A\left(x\right)}{m}+\frac{B\left(x\right)}{m}>\frac{C\left(x\right)}{m}$ với $m<0$.

* Cách giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn   $ax+b<0(a>0)$

Ta có:

$ax+b<0\iff ax<-b$ (sử dụng quy tắc chuyển vế)

  $\iff x<-\frac{b}{a}$   (sử dụng quy tắc chia cho một số dương)

* Tương tự cho các trường hợp còn lại (chú ý tuân thủ hai quy tắc ở trên)