Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập Tổ hợp Toán 11 chọn lọc , tài liệu bao gồm 52 trang, đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

B. BÀI TẬP:

I. DẠNG I:    TOÁN ĐẾM

1.Lý thuyết áp dụng:

- Quy tắc cộng ,quy tắc nhân

- Hoán vị

- Chỉnh hợp

- Tổ hợp

2. Phương pháp đếm

                    - Đếm trực tiếp: Tức là đếm những gì cần đếm

                    - Đếm gián tiếp : Trước tiên ta đếm tổng thể sau đó đếm những cái không cần

                       đếm rồi lấy tổng thể trừ đi ta được cái cần đếm

Loại 1:Chọn phần tử từ các tập hợp

VD1: Tổ 1 có 10 người tổ 2 có 9 người . Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 8 người sao cho mỗi tổ trên có ít nhất 2 người.

VD2: Người ta sử dụng ba loại sách gồm: 7 cuốn sách về Toán học, 6 cuốn sách về vật Lí và 4 cuốn sách về Hóa học.Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau. Có bao nhiêu cách chọn 5 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn.

VD3:Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A,4 học sinh lớp B ,3 học hinh lớp C cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 hs hỏi có bao nhiêu cách chọn.

HD:

VD4:Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó ,10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ . Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại và ít nhất phải có 2 câu hỏi dễ.

HD

VD5: Một hộp đựng 11 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 11 .Hỏi có bao nhêu cách lấy ra 6 thẻ để tổng số ghi trên 6 thẻ đó là một số lẻ.

HD:

Để tổng số ghi trên các thẻ là một số lẻ thì số các thẻ lẻ rút ra phải là một số lẻ từ đó ta có bảng phân chia các trường hợp là

Loại 2: Sắp xếp thứ tự các vật từ một họ các vật

VD6: Có 5 viên bi xanh giống nhau 4 viên bi trắng giống nhau, 3 viên bi đỏ đôi một khác nhau có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mối ô có một viên.

Kỹ thuật tạo vách ngăn:

Khi bài toán yêu cầu xếp hai hay nhiều các phần tử không đứng cạnh nhau chúng ta có thể tạo ra các “ vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng.

VD7: Có 6 hs và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 thầy giáo không đứng cạnh nhau

Giải:

Bước 1: Xếp 6 học sinh thành 1 hàng ngang có 6! Cách.Khi đó mỗi học sinh có vai trò như một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí có thể xếp 2 thày giáo vào đó.

Bước 2: Xếp 2 thầy giáo vào 7 vị trí trên ta có \(A_7^2\) cách

Bước 3: Theo quy tắc nhân ta có 6!.\(A_7^2\) = 30240 cách

VD 8: Từ Các số 2 và 5 có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau.

Giải:

Trường hợp 1:  Có 10 số 5: có 1 số

 Trường hợp 2:  Có 9 số 5 và 1 số 2: có 1.\(C_{10}^1\) số

 Trường hợp 3:  Có 8 số 5 và 2 số 2: có 1.\(C_9^2\) số

 Trường hợp 4:  Có 7 số 5 và 3 số 2: có 1.\(C_8^3\) số

…..

 Trường hợp 6:  Có 5 số 5 và 5 số 2: có 1.\(C_6^5\)số

VD9:

Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ quanh một bàn tròn sao cho không có 2 học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.

Đ/S: 4!.\(A_5^3\)

Kỹ thuật “buộc” các phần tử : Yêu cầu của bài toán là xếp hai hay nhiều phần tử đứng cạnh nhau vì vậy ta buộc chúng lại thành một nhóm coi như một phần tử

VD 10:

Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A,3 học sinh lớp B ,5 học hinh lớp C,hỏi có bao nhêu cách xếp số học sinh trên theo một hàng ngang sao cho 4 học sinh lớp A đứng canh nhau,3 học sinh lớp B đứng cạnh nhau.

ĐS: 7!.4!.3!

Loại 3: Phân chia các vật từ một họ các vật

VD15: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật

Đ/S : \(C_{99}^3\)

VD16: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người .

Đ/S : \(C_{103}^3\)

VD17: Có bao nhiêu cách chia 4 đồ vật giống nhau cho 100 người .

Đ/S : \(C_{103}^3\)

Tổng quát :Chia vật giống nhau.

1)Chia n vật giống nhau cho m người sao cho người  nào cũng có quà thì (n>m) và số cách chia là:\(C_{n - 1}^{m - 1}\)

2)Chia n vật giống nhau cho m người có số cách chia là: \(C_{n + m - 1}^{m - 1}\)

VD18: Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được 2 đồ vật.

Giải

          -Bước 1: Chọn 2 trong 6 đồ vật chia cho người thứ nhất có: \(C_6^2\) cách chọn

          -Bước 2: Chọn 2 trong 4 đồ vật chia cho người thứ hai có: \(C_4^2\) cách chọn

          -Bước 3:  2 còn lại chia cho người còn lại có: \(C_2^2\) cách chọn

Đ/S:\(C_6^2.C_4^2.C_2^2\)

VD 19: : Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho một người được 1 đồ vật , một người được 2 đồ vật và một người được 3 đồ vật.

Giải:

          -Bước 1: Chọn 1 trong 3 người nhận 1 đồ vật có: \(C_3^1\) cách chọn

          -Bước 2: Chọn 1 trong 6 đồ vật chia cho người này có: \(C_6^1\) cách chọn

          -Bước 3:  Chọn 1 trong 2 người còn lại nhận 2 đồ vật có: \(C_2^1\) cách chọn

          -Bước 4: Chọn 2 trong 5 đồ vật còn lại chia cho người này có: \(C_5^2\) cách chọn

          -Bước 5:  Người còn lại nhận 3 đồ vật còn lại có: 1 cách chọn

Đ/S:\(C_3^1.C_6^1.C_2^1.C_5^2.1\)

VD 20: : Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật khác nhau cho 3 bạn An,Bình ,Công sao cho An được 1 đồ vật , Bình được 2 đồ vật và Công được 3 đồ vật.

Giải:

          -Bước 2: Chọn 1 trong 6 đồ vật chia cho An có: \(C_6^1\) cách chọn

          -Bước 4: Chọn 2 trong 5 đồ vật còn lại chia cho Bình có: \(C_5^2\) cách chọn

          -Bước 5:   đồ vật còn lại chia cho Công có: 1 cách chọn

Đ/S:\(C_6^1.C_5^2.1\)

VD22: Có bao nhiêu cach chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật .

VD23: Có bao nhiêu cach chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho có 1 người được 2 đồ vật và hai người còn lại mỗi người được 3 đồ vật

Đ/S: \(3C_8^2C_6^3 = 1680\)

VD24:

Loại 4: Đếm số

Một số lưu ý khi giải toán đếm số:

-Số 0 đứng đầu không có nghĩa

- Tổng hai số chẵn, hai số lẻ là số chẵn. Tổng một số chẵn một số lẻ là số lẻ.

- Các dấu hiệu chia hết

- Cấp số cộng

VD29. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.

Giải

Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.

Vậy có \(\frac{{10!}}{{5!2!3!}} = 2520\) số.

Cách giải thường dùng:

+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có \(C_{10}^5\) cách.

+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có \(C_5^2\) cách.

+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.

Vậy có \(C_{10}^5.C_5^2.1 = 2520\) số.