Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập cấp số nhân và cấp số cộng toán 11 có lời giải, tài liệu bao gồm 12 trang, tuyển chọn các bài tập và có lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: 

BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số a²; b²; c² lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số \[\frac{1}{{b + c}};\frac{1}{{c + a}};\frac{1}{{a + b}}\]là một cấp số cộng.

Bài 2: Biết rằng dãy số thực dương a₁; a₂; …; a_n là một cấp số cộng. Chứng minh hệ thức:

            \[\frac{1}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}}  + \sqrt {{a_3}} }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}}  + \sqrt {{a_n}} }} = \frac{{n - 1}}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_n}} }}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\]

Bài 3: Cho hai cấp số cộng:

u_n = u₁; u₂; ….u_n có công sai d₁

và v_n = v₁; v₂ ….v_n có công sai d₂.

Gọi tổng của n số hạng đầu của  mỗi cấp số theo thứ tự là  S_n = u₁ + u₂ + ….+ u_n = 7n + 1

và T_n = v₁ + v₂ +….+ v_n =4n + 27. Tìm tỷ số \[\frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}}\].

Bài 4: Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.

Bài 5: Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Bài 6: a) Tìm phân số sinh ra số a = 0,23232323….

            b) Tìm phân số sinh ra số b = 1,939393…

            c) Tìm phân số sinh ra số c = 2,3121212…

Bài 7: a)Tính tổng của n số hạng : S_n = \(3 + 33 + 333 + ...\)

            b) Tính tổng của n số hạng: T_n = 105 + 110 + 115 +….+995

Bài 8: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng a; b; c. Biết \[\widehat A = {90^0};{\rm{v\`a  }}a;\sqrt {\frac{2}{3}} b;c\]theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo các góc B và C.

Bài 9. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?

Bài 10. Cho phương trình : \({x^4} + 3{x^2} - \left( {24 + m} \right)x - 26 - n = 0\).

Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng ?

Bài 11.

a)Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.

i) x³ - 3x² – 9x + m = 0           ii) x³ + 3(m -1)x² + 2(m² – 4m + 1)x – 4m(m – 1) = 0

b) Tìm m để các phương trình sau: có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng

 \(i){x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}ii){x^4} - 2(m + 1){x^2} + 2m + 1 = 0\)

Bài 12. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá \({60^0}\)?

Bài 13.Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng \(16\frac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .

Bài 14. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?

Bài 15. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?

Bài 16. Tính tổng :

S=\({\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} \right)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)^2}\)

Bài 17. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :

\({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}},\frac{a}{2},{25^x} + {25^{ - x}}\) lập thành một cấp số cộng ?

Bài 18. Chứng minh rằng dãy số : \({a_n} = {2.3^n}\) lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?

Bài 19. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :                                                                                 \({\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} - {\left( {a - d} \right)^2}\)

Bài 20. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :

\({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ?

Bài 21. Cho một cấp số cộng : \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\). Chứng minh rằng nếu : \(\left| {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right| \le 6\) thì biểu thức A= \(\sqrt {\left( {x - {u_1}} \right)\left( {x - {u_2}} \right)\left( {x - {u_3}} \right)\left( {x - {u_4}} \right) + 9} \) có nghĩa với mọi x ?

Bài 23.Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng . Tìm ba số đó

Bài 24. Tìm bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng  của hai số ở giữa là 12 ?

Bài 25. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?

Bài 26. Cho tam giác ABC có \(A = {90^0}\) còn a,b,\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\),c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ?

Bài 27. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng : \(\cot \frac{A}{2}.\cot \frac{C}{2} = 3\).

Bài 28. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA.tanB=6 và tanA.tanC=3 . Hãy chứng tỏ : tanA,tanB,tanC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ?

Bài 29. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B có thể có được ?

Bài 30. Tam giác ABC có : \(\cot \frac{A}{2},\cot \frac{B}{2},\cot \frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

Bài 31. Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ?

BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số a²; b²; c² lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số \[\frac{1}{{b + c}};\frac{1}{{c + a}};\frac{1}{{a + b}}\]là một cấp số cộng.

Giải: Dãy số \[\frac{1}{{b + c}};\frac{1}{{c + a}};\frac{1}{{a + b}}\]là một cấp số cộng \[ \Leftrightarrow \frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{{b - a}}{{\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{{c - b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right)}} \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2}\]

Vậy a²; b²; c² lập thành một cấp số cộng.

Bài 2: Biết rằng dãy số thực dương a₁; a₂; …; a_n là một cấp số cộng. Chứng minh hệ thức:

            \[\frac{1}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}}  + \sqrt {{a_3}} }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}}  + \sqrt {{a_n}} }} = \frac{{n - 1}}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_n}} }}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\]

Giải: Ta có: \[\frac{1}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} }} = \frac{{\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} }}{{\left( {\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} } \right)\left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} }}{{{a_2} - {a_1}}} = \frac{{\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} }}{d}\]

            Tương tự: \[\frac{1}{{\sqrt {{a_2}}  + \sqrt {{a_3}} }} = \frac{{\sqrt {{a_3}}  - \sqrt {{a_2}} }}{d};.....\frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}}  + \sqrt {{a_n}} }} = \frac{{\sqrt {{a_n}}  - \sqrt {{a_{n - 1}}} }}{d}\]

Vế trái của (1) thành:

\[\begin{array}{l}\frac{{\left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right) + \left( {\sqrt {{a_3}}  - \sqrt {{a_2}} } \right) + ... + \left( {\sqrt {{a_n}}  - \sqrt {{a_{n - 1}}} } \right)}}{d} = \frac{{\left( {\sqrt {{a_n}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{d} = \frac{{{a_n} - {a_1}}}{{d\left( {\sqrt {{a_n}}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} = \frac{{\left( {{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) - {a_1}}}{{d\left( {\sqrt {{a_n}}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{n - 1}}{{\left( {\sqrt {{a_n}}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}}\end{array}\]

Bài 3: Cho hai cấp số cộng:

u_n = u₁; u₂; ….u_n có công sai d₁

và v_n = v₁; v₂ ….v_n có công sai d₂.

Gọi tổng của n số hạng đầu của  mỗi cấp số theo thứ tự là  S_n = u₁ + u₂ + ….+ u_n = 7n + 1

và T_n = v₁ + v₂ +….+ v_n =4n + 27. Tìm tỷ số \[\frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}}\].

Giải: Ta có: S_n = 2u₁ +(n – 1)d₁ và T_n = 2v₁ + (n – 1)d₂ nên

            \[\begin{array}{l}\frac{{{S_n}}}{{{T_n}}} = \frac{{2{u_1} + (n - 1){d_1}}}{{2{v_1} + (n - 1){d_2}}} = \frac{{7n + 1}}{{4n + 27}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\\frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{{u_1} + 10{{\rm{d}}_1}}}{{{v_1} + 10{{\rm{d}}_2}}} = \frac{{2{u_1} + 20{{\rm{d}}_1}}}{{2{v_1} + 20{{\rm{d}}_2}}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\end{array}\]

So sánh (1) và (2) => n = 21 nên \[\frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{148}}{{111}} = \frac{4}{3}\]

Bài 4: Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.

Giải: Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là: (x – d); x; (x + d). Ta có hệ phương trình:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(x - d) + x + (x + d) = 9\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\{(x - d)^2} + {x^2} + {(x + d)^2} = 125\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = 9 \Rightarrow x = 3\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {(3 - d)^2} + {3^2} + {(3 + d)^2} = 125 \Leftrightarrow d =  \pm 7\end{array}\]

Với d = 7 cấp số là: -4; 3; 10 và với d = -7 cấp số là 10; 3; -4

Bài 5: Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Giải: Gọi \[{\rm{d}} = 2a\] là công sai. Bốn số phải tìm là: A = (x – 3a); B = (x – a); C = (x + a); D = (x + 3a). Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 3{\rm{a}}} \right) + \left( {x - a} \right) + \left( {x + a} \right) + \left( {x + 3a} \right) = {360^0}\\\left( {x + 3a} \right) = 5\left( {x - 3a} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {90^0}\\a = {20^0}\end{array} \right.\]

Bốn góc phải tìm là:A = 30⁰; B = 70⁰ ; C = 110⁰ ; D = 150⁰

Bài 6: a) Tìm phân số sinh ra số a = 0,23232323….

            b) Tìm phân số sinh ra số b = 1,939393…

            c) Tìm phân số sinh ra số c = 2,3121212…

Giải:

Cách 1: Ta có: 0,232323… = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 +….

                               \[ = \frac{{23}}{{100}} + \frac{{23}}{{10000}} + \frac{{23}}{{1000000}} + ... = \frac{{23}}{{{{10}^2}}} + \frac{{23}}{{{{10}^4}}} + \frac{{23}}{{{{10}^6}}} + ...\]

Đây là cấp số nhân có \[{u_1} = \frac{{23}}{{{{10}^2}}}\] và công bội \[q = \frac{1}{{{{10}^2}}}\]nên \[S = \frac{{\frac{{23}}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{{10}^2}}}}} = \frac{{23}}{{99}}\]

Cách 2:( các em lớp 6 làm như sau) Ta có:

            \[\begin{array}{l}{\rm{    A}} = 0,232323....\\100{\rm{A}} = 23.232323...\\ \Rightarrow 100{\rm{A}} - {\rm{A}} = 99{\rm{A}} = 23 \Rightarrow A = \frac{{23}}{{99}}\end{array}\]

Tương tự \[b = \frac{{64}}{{33}};c = \frac{{763}}{{330}}\]

Bài 7: a)Tính tổng của n số hạng : S_n = \(3 + 33 + 333 + ...\)

            b) Tính tổng của n số hạng: T_n = 105 + 110 + 115 +….+995

Giải:

a. Tính tổng của n số hạng : S=\(3 + 33 + 333 + ...\)

Ta có : S=3(1+11+111+....+11...1 (n chữ số 1))

            = 3\(\left( {\frac{{10 - 1}}{9} + \frac{{{{10}^2} - 1}}{9} + .... + \frac{{{{10}^n} - 1}}{9}} \right) = \frac{3}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n} \right)\)

            = \(\frac{1}{3}\left( {10.\frac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}} - n} \right) = \frac{1}{{27}}\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} \right)\)

b. Ta có: a₁ = 105; a₂ = 110 => d = 5; a_n = 995

mà: a_n = a₁ + (n – 1)d => 995 = 105 + (n – 1)5 => n = 179\[ \Rightarrow S = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2} = 98450\]

Bài 8: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng a; b; c. Biết \[\widehat A = {90^0};{\rm{v\`a  }}a;\sqrt {\frac{2}{3}} b;c\]theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo các góc B và C.

Giải:

Theo tính chất cấp số nhân, ta có: \[ac = \frac{2}{3}{b^2}\].

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: b = a. sinB, c = a. cosB.

Vậy \[ac = \frac{2}{3}{b^2} \Leftrightarrow 3{{\rm{a}}^2}.\cos B = 2{{\rm{a}}^2}{\sin ^2}B \Leftrightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + 3\cos B - 2 = 0 \Rightarrow \cos B = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat B = {60^0};\widehat C = {30^0}\]

Bài 9. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?

HƯỚNG DẪN

Theo đầu bài ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_1} = 7\\{u_3} - {u_2} = 14\\{u_4} - {u_3} = 21\\....................\\{u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} \right)\end{array} \right.\)

Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược :

\( \Leftrightarrow {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} \right) = 7\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\quad \left( 1 \right)\)

Đặt : \({u_n} = 35351 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 35351 - 1 = 7\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \to n = 101\).

Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy sô .

Bài 10. Cho phương trình : \({x^4} + 3{x^2} - \left( {24 + m} \right)x - 26 - n = 0\).

Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Vì 3 nghiệm phân biệt : \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt :

\({x_1} = {x_0} - d,{x_2} = {x_0},{x_3} = {x_0} + d\left( {d \ne 0} \right)\). Theo giả thiết ta có :

\({x^3} + 3{x^2} - \left( {24 + m} \right)x - 26 - n = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) = \left( {x - {x_0} + d} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0} - d} \right)\)

\( = {x^3} - 3{x_0}{x^2} + \left( {3x_0^2 - {d^2}} \right)x - x_0^3 + {x_0}{d^2}\quad \left( {\forall x} \right)\)

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{x_0} = 3\\3x_0^2 - {d^2} =  - \left( {24 + m} \right)\\ - x_0^3 + {x_0}{d^2} =  - 26 - n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\3 - {d^2} =  - 24 - m\\1 - {d^2} =  - 26 - n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\m = n\end{array} \right.\)

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .

Bài 11.Tìm m để phương trình : \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình : \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\).

Đặt \({x^2} = y \ge 0\), ta được phương trình :

\( \Leftrightarrow {y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\quad \left( 1 \right)\)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : \(0 < {y_1} < {y_2}\), Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là : \({x_1} =  - \sqrt {{y_2}} ,{x_2} =  - \sqrt {{y_1}} ,{x_3} = \sqrt {{y_1}} ,{x_4} = \sqrt {{y_2}} \)( Rõ ràng : \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) )

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :

\( \Rightarrow {x_3} + {x_1} = 2{x_2}\; \vee {x_4} + {x_2} = 2{x_3} \Leftrightarrow \sqrt {{y_1}}  - \sqrt {{y_2}}  = 2\sqrt {{y_1}}  \Rightarrow 3\sqrt {{y_1}}  = \sqrt {{y_2}}  \Leftrightarrow 9{y_1} = {y_2}\left( * \right)\)

Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\S = {y_1} + {y_2} = 10{y_1} = 3m + 5\\P = {y_1}{y_2} = 9y_1^2 = {\left( {m + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - \frac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)

Bài 12. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá \({60^0}\)

HƯỚNG DẪN

Giả sử ba cạnh của tam giác ABC thứ tự là a,b,c . Không giảm tính tổng quát , ta giả sử 0<a\( \le b \le c\), nếu chúng tạo thành cấp số nhân thì , theo tính chất của cấp số nhân ta có : \({b^2} = ac.\)

Theo định lý hàm số cô sin , ta có :

\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow ac = {a^2} + {c^2} - 2ac.c{\rm{osB}} \Leftrightarrow {\rm{cosB = }}\frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {c^2}}}{{2ac}} - \frac{1}{2}\)

Mặt khác : \({a^2} + {c^2} \ge 2ac \Rightarrow c{\rm{osB}} \ge {\rm{1 - }}\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Vậy góc \(B \le {60^0}\)

Nhưng : \(a \le b \Rightarrow A \le {60^0}\), cho nên tam giác ABC có hai góc không quá \({60^0}\).

Bài 13.Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng \(16\frac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .

HƯỚNG DẪN

Gọi : \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\) là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 16\frac{4}{9}\\{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_4} = {v_1} + 3d\\{u_3} = {v_8} = {v_1} + 7d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 16\frac{4}{9}\;\left( 1 \right)\\{u_1}q = {u_1} + 3d\quad \left( 2 \right)\\{u_1}{q^2} = {u_1} + 7d\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Khử d từ (2) và (3) ta được : \({u_1}\left( {3{q^2} - 7q + 4} \right) = 0\quad \left( 4 \right)\).

Do (1) nên : \({u_1} \ne 0 \Rightarrow \left( 4 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1\\q = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) . Theo định nghĩa thì \(q \ne 1\), do vậy \(q = \frac{4}{3}\)

Thay vào (1) , ta được : \({u_1} = 4,{u_2} = {u_1}q = \frac{{16}}{3},{u_3} = \frac{{64}}{9},{u_4} = \frac{{256}}{{27}}\)

Bài 14. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết ta có :\({u_1} + {u_2} = {u_1} + \frac{1}{4}\left( {{u_1}} \right) = 24 \Rightarrow {u_1} + \frac{1}{4}u_1^2 - 24 = 0 \Leftrightarrow {u_1} =  - 12 \vee {u_1} = 8\)

Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là : 8,16,32,128 hoặc : -12,36,-108,-972

Bài 15. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?

HƯỚNG DẪN

Nếu xen 4 số vào giữa hai số để được một cấp số cộng thì cấp số đó có 6 số hạng . Theo đầu bài ta có :

\({u_1} = 4,{u_6} = 40 \Rightarrow 40 = 4 + 5d \Leftrightarrow d = \frac{{40 - 4}}{5} = 7,2\)

Vậy 4 số thêm vào là : 4+7,2=11,2, 18,4.,25,6,32,8.

Bài 16. Tính tổng :

S=\({\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} \right)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)^2}\)

HƯỚNG DẪN .

Ta có :

\(S = \left( {4 + 2 + \frac{1}{4}} \right) + \left( {16 + 2 + \frac{1}{{16}}} \right) + ... + \left( {{2^{2n}} + 2 + \frac{1}{{{2^{2n}}}}} \right) = \left( {4 + 16 + .. + {2^{2n}}} \right) + 2n + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + .. + \frac{1}{{{2^{2n}}}}} \right)\)

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân :\({S_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)  : \(S = 4.\frac{{{4^{n - 1}}}}{3} + 2n + \frac{1}{4}.\frac{{{2^{\frac{1}{{2n}}}} - 1}}{{\frac{1}{4} - 1}} = 4.\frac{{{4^n} - 1}}{3} + 2n + \frac{1}{3}.\frac{{{2^{2n}} - 1}}{{{2^{2n}}}} = 2n + \frac{{{4^n} - 1}}{3}.\frac{{{{4.4}^n} + 1}}{{{4^n}}} = 2n + \frac{{\left( {{4^n} - 1} \right)\left( {{4^{n + 1}} + 1} \right)}}{{{{3.4}^n}}}\)

Bài 17. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :

\({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}},\frac{a}{2},{25^x} + {25^{ - x}}\) lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Để 3 số hạng đó lập thành cấp số cộng , ta có :

\(\left( {{5^{1 + x}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right) = 2\left( {\frac{a}{2}} \right) \Leftrightarrow a = 5\left( {{5^x} + \frac{1}{{{5^x}}}} \right) + \left( {{5^{2x}} + \frac{1}{{{5^{2x}}}}} \right)\)

Theo bất đẳng thức cô si , ta có : \({5^x} + \frac{1}{{{5^x}}} \ge 2\sqrt 1  = 2,{5^{2x}} + \frac{1}{{{5^{2x}}}} \ge 2\; \Rightarrow a \ge 5.2 + 2 = 12\).

Vậy với : \(a \ge 12\) , thì ba số đó lập thành cấp số cộng .

Bài 18. Chứng minh rằng dãy số : \({a_n} = {2.3^n}\) lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?

HƯỚNG DẪN

Xét : \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{{2.3}^{n + 1}}}}{{{{2.3}^n}}} = 3 > 1\). Chứng tỏ \({a_n}\) là một cấp số nhân , có công bội q=3 ,\({a_1} = 2.3 = 6\)

Do vậy : \({S_8} = \frac{{6\left( {{3^8} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = 3.\left( {{3^8} - 1} \right) = 17.680\).

Bài 19. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :

\({\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} - {\left( {a - d} \right)^2}\)

HƯỚNG DẪN

Ta có :

A=\({\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} - {\left( {a - d} \right)^2} = {\left( {a - a{q^2}} \right)^2} + {\left( {aq - a{q^2}} \right)^2} + {\left( {aq - a{q^3}} \right)^2} - {\left( {a - a{q^3}} \right)^2} = 0\)

Bài 20. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :

\({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết ta có hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {5x - y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = 2\left( {2x + 3y} \right)\\{\left( {y + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {xy + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 5y\\\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy + x + y = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x = 5y\\x + y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x = 5y\\y\left( {5y} \right) + 5y + 2y = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0,y = 0\\x =  - \frac{3}{4},y =  - \frac{3}{{10}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Bài 21. Cho một cấp số cộng : \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\). Chứng minh rằng nếu : \(\left| {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right| \le 6\) thì biểu thức A= \(\sqrt {\left( {x - {u_1}} \right)\left( {x - {u_2}} \right)\left( {x - {u_3}} \right)\left( {x - {u_4}} \right) + 9} \) có nghĩa với mọi x ?

HƯỚNG DẪN

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : \({u_1} + {u_4} = {u_2} + {u_3}\)

Do đó : \( \Leftrightarrow \left( {x - {u_1}} \right)\left( {x - {u_2}} \right)\left( {x - {u_3}} \right)\left( {x - {u_4}} \right) = \left[ {{x^2} - \left( {{u_1} + {u_4}} \right)x + {u_1}{u_4}} \right]\left[ {{x^2} - \left( {{u_2} + {u_3}} \right)x + {u_2}{u_3}} \right]\) (*)

Đắt : \(t = {x^2} - \left( {{u_1} + {u_4}} \right)x = {x^2} - \left( {{u_2} + {u_3}} \right)x\), khi đó :

(*)\( \Leftrightarrow f(t) = \left( {t + {u_1}{u_4}} \right)\left( {t + {u_2}{u_3}} \right) + 9 = {t^2} + \left( {{u_1}{u_4} + {u_2}{u_3}} \right)t + {u_1}{u_4}{u_2}{u_3} + 9\)

Với : \({\Delta _t} = {\left( {{u_1}{u_4} + {u_1}{u_3}} \right)^2} - 4{u_1}{u_2}{u_3}{u_4} - 36 = {\left( {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right)^2} - 36\).

Rõ ràng : \(\left| {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right| \le 6 \Rightarrow {\Delta _t} < 0 \leftrightarrow f(t) > 0\forall t \Leftrightarrow \) A có nghĩa với mọi x..

Bài . Chứng minh rằng : Nếu \(0 < N \ne 1\) thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :

\(\frac{{{{\log }_a}N}}{{{{\log }_c}N}} = \frac{{{{\log }_a}N - {{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}N - {{\log }_c}N}}\quad \left( {a,b,c \ne 1} \right)\)

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết , nếu ba số a,b,c lập thành cấp số nhân thì : \(ac = {b^2}\quad \left( 1 \right)\)

Lấy logarit cơ số N hai vế của (1) ta có :

\( \Leftrightarrow {\log _N}\left( {ac} \right) = {\log _N}{b^2} \Leftrightarrow {\log _N}a + {\log _N}C = 2{\log _N}b\quad \left( 2 \right)\)

Sử dụng công thức đổi cơ số :

(2)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}N}} + \frac{1}{{{{\log }_C}N}} = \frac{2}{{{{\log }_b}N}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}N}} - \frac{1}{{{{\log }_b}N}} = \frac{1}{{{{\log }_b}N}} - \frac{1}{{{{\log }_C}N}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_b}N - {{\log }_a}N}}{{{{\log }_a}N.{{\log }_b}N}} = \frac{{{{\log }_c}N - {{\log }_b}N}}{{{{\log }_c}N.{{\log }_b}N}} \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_b}N - {{\log }_a}N}}{{{{\log }_c}N - {{\log }_b}N}} = \frac{{{{\log }_a}N}}{{{{\log }_c}N}} \Rightarrow \frac{{{{\log }_a}N - {{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}N - {{\log }_c}N}} = \frac{{{{\log }_a}N}}{{{{\log }_c}N}}\)

Bài. Chứng minh rằng , nếu \({\log _x}a,{\log _y}b,{\log _z}c\) tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó ) thì : \({\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}\left( {0 < x,y,z,a,b,c \ne 1} \right)\).

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết :

\( \Leftrightarrow {\log _x}a + {\log _z}c = 2{\log _y}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}z}} = \frac{2}{{{{\log }_b}y}} \Rightarrow {\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}\quad \left( {dpcm} \right)\)

Bài 22. Cho ba số : x,3,y lập thành một cấp số nhân và \({x^4} = y\sqrt 3 \). Tìm x,y và công bội q của cấp số đó ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết : \(\left\{ \begin{array}{l}xy = {3^2}\\{x^4} = y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{9}{x}\\{x^4} = \frac{{9\sqrt 3 .}}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{9}{x}\\{x^5} = 9\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt[5]{{\sqrt {{3^5}} }}\\y = \frac{{{3^2}}}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bài 23.Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng . Tìm ba số đó

HƯỚNG DẪN

Gọi ba số đã cho là : \({u_1},{u_2},{u_3}\) theo thứ tự là ba số của một cấp số cộng .

Còn cáp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\). Theo giả thiết ta có hệ :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1} + {v_2} + {v_3} = 93\left( * \right)\\{v_1} = {u_1}\quad \left( 1 \right)\\{u_1} + d = {v_1}q\;\left( 2 \right)\\{u_1} + 2d = {v_1}{q^2}\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 93\;\left( * \right)\\d = {u_1}\left( {q - 1} \right)\quad \left( {1 \vee 2} \right)\;\left( 4 \right)\\6d = {u_7} - {u_1} = {u_1}\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {2 \vee 3} \right)\left( 5 \right)\\\quad \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 93\left( * \right)\\{u_1}\left( {q - 1} \right) = \frac{1}{6}{u_1}\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {4 \vee 5} \right)\\d = {u_1}\left( {q - 1} \right)\quad \quad \end{array} \right.\left( 6 \right)\)

Từ (2) và (2) cho ta phương trình (4) . Còn từ (2) và (3) cho phương trình (5) . Mặt khác từ (4) và (5) cho phương trình (6).

Do : \({u_1} \ne 0,q \ne 1 \Rightarrow \left( 6 \right) \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{6}\left( {q + 1} \right) \Leftrightarrow q = 5\)

Theo (*) : \({v_1} + 5{v_1} + 25{v_1} = 93 \Leftrightarrow {u_1} = 3\). Vậy ba số cần tìm là : 3,15,75.

Bài.a.

    b. Tìm x để ba số : \(\ln 2,\ln \left( {{2^x} - 1} \right),\ln \left( {{2^x} + 3} \right)\) lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

b. Tìm x để ba số : \(\ln 2,\ln \left( {{2^x} - 1} \right),\ln \left( {{2^x} + 3} \right)\) lập thành một cấp số cộng ?

Điều kiện : \({2^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {2^x} > 1 = {2^0} \Rightarrow x > 0\left( * \right)\)

Khi đó ta có phương trình : \(2\ln \left( {{2^x} - 1} \right) = \ln 2 + \ln \left( {{2^x} + 3} \right) \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - 1} \right)^2} = 2\left( {{2^x} + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {4.2^x} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} =  - 1\\{2^x} = 5 > 1\end{array} \right. \Rightarrow x = {\log _2}5 > 0\)

Bài 24. Tìm bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng  của hai số ở giữa là 12 ?

HƯỚNG DẪN

Gọi 4 số phải tìm là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\). Theo đầu bài ta có hệ :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}{a_3}\\2{a_3} = {a_2} + {a_4}\\{a_1} + {a_4} = 14\\{a_2} + {a_3} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a_1}{q^2} = {a_1}q + {a_2} + d\left( 1 \right)\\{a_1} + {a_2} + 2d = 14\quad \left( 2 \right)\\{a_1}q + {a_1}{q^2} = 12\quad \left( 3 \right)\\{a_2} + {a_2} + d = 12\quad \left( 4 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}\left( {{a_2} + d} \right)\quad \left( * \right)\\{a_2} + 2d = 14 - {a_1}\\{a_1} = \frac{{12}}{{q + {q^2}}}\\d = 12 - 2{a_2}\end{array} \right.\)        

Giải hệ thống các phương trình ta có kết quả :

Đáp số : \(\left( {2,4,8,12} \right),\left( {\frac{{25}}{2},\frac{{15}}{2},\frac{9}{2},\frac{3}{2}} \right)\)

Bài 25. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?

HƯỚNG DẪN

Gọi cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là : \({a_n}\). Theo đầu bài ta có \({a_2},{a_4}\) là hai nghiệm của phương trình : \({t^2} - 30t + 144 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_2} = 6\\{a_4} = 24\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a_2} = 24\\{a_4} = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1}q = 6\\{a_1}{q^3} = 24\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a_1}q = 24\\{a_1}{q^3} = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1}q = 6\\{q^2} = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a_1}q = 24\\{q^2} = \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{6}{{ \pm 2}}\\q =  \pm 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 24.\left( { \pm 2} \right)\\q =  \pm \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do cấp số nhân tăng nghiêm ngặt , cho nên q>1 , do vậy ta chọn \({a_1} = 3,q = 2\)

Cho nên : \({S_{10}} = {u_1}\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}} = 3.\left( {1024 - 1} \right) = 3069\)

Bài 26. Cho tam giác ABC có \(A = {90^0}\) còn a,b,\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\),c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết ta có hệ :\(\left\{ \begin{array}{l}A = {90^0}\\\frac{{..}}{{..}}a,b,\frac{{\sqrt 6 }}{3},c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2}\\\frac{2}{3}{b^2} = ac \Leftrightarrow {b^2} = \frac{3}{2}ac\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra : \({a^2} = \frac{3}{2}ac + {c^2} \Leftrightarrow 2{a^2} = 3ac + 2{c^2} \Leftrightarrow \left( {2a + c} \right)\left( {a - 2c} \right) = 0 \Rightarrow a = 2c\left( {2a + c > 0} \right)\)

Mà : \(c{\rm{osB = }}\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B = {60^0},C = {30^0}\). Vậy tam giác ABC là tam giác nửa đều .

Bài 27. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng : \(\cot \frac{A}{2}.\cot \frac{C}{2} = 3\).

HƯỚNG DẪN

Nếu ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng thì ta có : a+c=2b

\( \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}} = 4\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}\)(1)

Vì : \(A + C = {180^0} - B \Rightarrow \frac{{A + C}}{2} = {90^0} - \frac{B}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \frac{{A + C}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{B}{2}} \right) = c{\rm{os}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}\\c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2} = c{\rm{os}}\left( {{{90}^0} - \frac{B}{2}} \right) = \sin \frac{B}{2}\end{array} \right.\left( * \right)\)

Do đó (1) trở thành :

\( \Leftrightarrow \sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}} = 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}} = 2\sin \frac{B}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}} = 2c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}}\)

\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{\rm{A}}}{{\rm{2}}}c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{\rm{A}}}{{\rm{2}}}c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} = 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\)

\( \Rightarrow \cot \frac{A}{2}\cot \frac{C}{2} = 3\left( {dpcm} \right)\)

Bài 28. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA.tanB=6 và tanA.tanC=3 . Hãy chứng tỏ : tanA,tanB,tanC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Từ giả thiết ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anAtanB = 6}}\\{\rm{tanAtanC = 3}}\end{array} \right.\)

Mặt khác ta cũng có : \( - \tan B = \tan \left( {A + C} \right) = \frac{{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanC}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anAtanC}}}} = \frac{{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanC}}}}{{{\rm{1 - 3}}}} =  - \frac{1}{2}\left( {{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanC}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\tan B = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanC}} \Leftrightarrow {\rm{2tanAtanB = 2ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}A + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anAtanC}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{\rm{.6 = 2ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}A + 3 \Rightarrow {\tan ^2}A = 9\)

Theo giả thiết : tanAtanB=6>0,tanAtanC=3>0 cho nên tanA>0,tanB>0,tanC>0

Suy ra : tanA=3 ,tanB=2 và tanC=1 . Điều đó chứng tỏ tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng có công sai d=1.

Bài 29. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B có thể có được ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết : tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng thì ta có : tanA+tanC=2tanB

\( \Leftrightarrow {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanC = }}\frac{{\sin \left( {A + C} \right)}}{{c{\rm{osA}}{\rm{.cosC}}}} = \frac{{\sin B}}{{c{\rm{osA}}{\rm{.cosC}}}} \Rightarrow \frac{{2\sin B}}{{c{\rm{osB}}}} = \frac{{\sin B}}{{c{\rm{osA}}{\rm{.cosC}}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{c{\rm{osB}}}} = \frac{{\rm{1}}}{{c{\rm{osA}}{\rm{.cosC}}}} \Leftrightarrow 2\cos A.c{\rm{osC = cosB}} \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {{\rm{A + C}}} \right) + c{\rm{os}}\left( {{\rm{A - C}}} \right) = c{\rm{osB}}\)

\( \Leftrightarrow  - c{\rm{osB + cos}}\left( {{\rm{A - C}}} \right) = c{\rm{osB}} \Leftrightarrow {\rm{cosB = }}\frac{1}{2}c{\rm{os}}\left( {{\rm{A - C}}} \right) \le \frac{1}{2}\quad \left( 2 \right)\)( vì 0<cos(A-C)\( \le \)1 )

Do 0<B\( \le \pi  \Rightarrow \)Giá trị nhỏ nhất của B \( = \frac{\pi }{3}\)

Bài 30. Tam giác ABC có : \(\cot \frac{A}{2},\cot \frac{B}{2},\cot \frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Theo đầu bài ta có : \(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{c{\rm{os}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}}}{{{\rm{sin}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}}} = 2\frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}}}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}}} \right) = 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{{A + C}}{2} = \left( {c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}} - c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}}} \right)\sin \frac{{A + C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A + C}}}}{{\rm{2}}} = c{\rm{os}}\frac{{{\rm{A - C}}}}{{\rm{2}}}\sin \frac{{A + C}}{2} \Leftrightarrow 2\sin \left( {A + C} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin A + \sin C} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \Rightarrow a + c = 2b\). Chứng tỏ ba cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng

Bài 31. Tam giác ABC có : \(\cot A,\cot B,\cot C\) theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng . Hãy chứng minh rằng : \({a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết ta có : cotA+cotC=2cotB

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {A + C} \right)}}{{\sin A\sin C}} = \frac{{2\cos B}}{{\sin B}} \Leftrightarrow {\sin ^2}B = 2\sin B\sin C\cos B = \left[ {c{\rm{os}}\left( {{\rm{A - C}}} \right) - c{\rm{os}}\left( {{\rm{A + C}}} \right)} \right]c{\rm{osB}}\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}B = c{\rm{os}}\left( {{\rm{A - C}}} \right)c{\rm{osB - cos}}\left( {{\rm{A + C}}} \right)c{\rm{osB =  - cos}}\left( {{\rm{A - C}}} \right)c{\rm{os}}\left( {{\rm{A + C}}} \right) + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}B =  - \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os2A + cos2C}}} \right) + 1 - {\sin ^2}B =  - \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}A + 1 - 2{{\sin }^2}C} \right) + 1 - {\sin ^2}B\)

\( \Rightarrow 2{\sin ^2}B = {\sin ^2}A + {\sin ^2}C \Leftrightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2}\)

Vậy chứng tỏ \({a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài 32. Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ?

 HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết : AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số cộng  cho nên ta có hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{q} = \frac{{BC}}{{AH}} = \frac{{2HC}}{{AH}} = 2\cot C\\\frac{1}{q} = \frac{{AH}}{{AB}} = \sin B\end{array} \right.\). Cho nên từ đó ta có kết quả sau : 2cotC=sinC , hay :\(2\cos C = {\sin ^2}C = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}C\)

\( \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}C + 2\cos C - 1 = 0 \Leftrightarrow c{\rm{osC =  - 1 + }}\sqrt 2 \left( {0 < C < {{90}^0}} \right)\)

Do C là nhọn cho nên \(\sin C = \sqrt {2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} \)

Cho nên công bội của cấp số nhân là : \(q = \frac{1}{{\sin C}} = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} }} = \frac{1}{2}\sqrt {2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)} \)

Những bài này được sưu tầm  từ nhiều nguồn khác nhau. Cám ơn các tác giả nhiều nhiều nha.