Giải phương trình nghiệm nguyên: ${}^{x^2+y^2+3xy=x^2{y}^2}$

 

 

$x^2+y^2+3xy=x^2{y}^2$

$\iff (x^2+2xy+y^2)+xy=x^2{y}^2$

$\iff {(x+y)}^2=xy(xy-1)$

Do VT là số chính phương nên VP là số chính phương, để VP là số chính phương thì một trong 2 số bằng 0.

Dễ nhận ra $x=y=0$ là nghiệm cần tìm

Phương pháp giải:

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng sẽ chia hết cho p^2, và ngược lại.

Hằng đẳng thức để tính hiệu của hai số chính phương

$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$

Nhận biết số chính phương vào tính chất của chúng, ta có một số tính chất quan trọng sau:

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9. Nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.

- Ngoại trừ số 0 và số 1 thì các số chính phương còn lại: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100..v.v Đều là số chính phương lớn hơn 1.

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 4 dạng: 4n hoặc 4n + 1, 3n hoặc 3n + 1

Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2, 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n thuộc tập hợp số tự nhiên N).

- Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1. Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.

- Số ước nguyên dương của số chính phương chính là một số lẻ.

- Tất cả các số chính phương đều có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1. Bắt đầu từ 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v