Chứng minh $a^4+b^4+c^4=2*{(ab+bc+ca)}^2$ biết $a+b+c=0$

 

 

a + b + c = 0

=> (a + b + c)² = 0

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 0

=> a² + b² + c² = -2(ab + 2bc + 2ca)

=> (a² + b² + c²)² = [-2(ab + bc + ca)]²

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² = 4(a²b² + b²c² + c²a² + 2ab²c + 2a²bc + 2abc²) 

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 4a²b² + 4b²c² + 4c²a² + 8a²bc + 8ab²c + 8abc² - 2a²b² - 2b²c² - 2a²c²

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² + 8abc(a + b + c)

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²b² + 2b²c² + c²a²

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² + 2abc(a + b + c) (Vì a + b + c = 0)

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² + 2a²bc + 2ab²c + 2abc²

=>  a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a² + a²bc + ab²c + abc²) 

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(ab + bc + ca)² (đpcm)

Phương pháp giải:

Sử dụng giả thiết $a + b + c = 0$ để rút gọn các biểu thức.

Bình phương phương trình để tạo ra mối quan hệ giữa các hạng tử bậc hai.

Bình phương tiếp để tạo biểu thức chứa các hạng tử bậc bốn.

Biến đổi đại số để đưa về dạng cần chứng minh.

Sử dụng giả thiết lần cuối để đơn giản hóa biểu thức cuối cùng.

Phương pháp này giúp giải quyết các bài toán dạng tương tự, khi có điều kiện đặc biệt như tổng ba số bằng 0.