Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA’ = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có:

+ DABC là tam giác vuông cân tại A nên AI ^ BC

+ ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đứng nên AA’ ^ BC

Suy ra BC ^ (AA’I) Þ BC ^ A’I.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng góc giữa A’I và AI.

Mà DAA’I vuông tại A nên ta có $\widehat{AIA\text{'}}$ là góc nhọn.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng $\widehat{AIA\text{'}}$= 60°

Trong tam giác vuông AA’I, ta có AI = $\frac{AA\text{'}}{\tan 60°}$= $\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

ABC là tam giác vuông cân tại A nên:

BC = 2.AI = $\frac{4a}{\sqrt{3}}$, AB = AC = $\frac{BC}{\sqrt{2}}$= $\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

V = AA’.S_∆ABC

= AA’.$\frac{1}{2}$AB.AC

= $\frac{1}{2}$.2a.${\left(\frac{2a\sqrt{6}}{3}\right)}^2$= $\frac{8a^3}{3}.$

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

- Cho khối lăng trụ có:                                                                      

+ Chiều cao là h                                                                                

+ Diện tích đáy là S

Khi đó thể tích: V = h.S 

Phương pháp tính thể tích lăng trụ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu OA // (α) thì d(O,(α)) = d(A,(α)) 

Nếu (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đề thi thử Toán sở GD&DT Kiên Giang năm 2024

Đề thi thử Toán sở GD&DT Nam Định năm 2024