Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, chứng minh vectơ

Trả lời nhanh

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. O là trung điểm của cả AC và BD nên SA^→ + SC^→ = 2·SO^→ và SB^→ + SD^→ = 2·SO^→. Hai vế cùng bằng 2·SO^→, do đó SA^→ + SC^→ = SB^→ + SD^→. Kết quả này đúng với bất kì vị trí điểm S.

Đề bài và hình vẽ

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng SA^→ + SC^→ = SB^→ + SD^→. Hình vẽ dưới đây tô màu để em thấy hai cặp vectơ cùng “gặp nhau” ở tâm O.

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tâm O, minh hoạ chứng minh vectơ SA + SC = SB + SD — Hình 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O; nét đứt là các cạnh bị che khuất và hai đường chéo.

Cách 1: Dùng tâm O của hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
O là trung điểm AC, theo tính chất trung điểm với điểm S bất kì: SA^→ + SC^→ = 2·SO^→.
O cũng là trung điểm BD nên SB^→ + SD^→ = 2·SO^→.
Từ hai đẳng thức trên suy ra SA^→ + SC^→ = SB^→ + SD^→. (đpcm)

Vì sao SA^→ + SC^→ = 2·SO^→? Chèn điểm O: SA^→ = SO^→ + OA^→ và SC^→ = SO^→ + OC^→. Cộng lại được 2·SO^→ + (OA^→ + OC^→), mà OA^→ + OC^→ = 0^→ vì O là trung điểm AC.

Cách 2: Biến đổi bằng quy tắc hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB^→ = DC^→.
Chèn điểm S: AB^→ = SB^→ − SA^→ và DC^→ = SC^→ − SD^→.
Do AB^→ = DC^→ nên SB^→ − SA^→ = SC^→ − SD^→.
Chuyển vế: SB^→ + SD^→ = SA^→ + SC^→. (đpcm)

Cách 2 không cần dựng tâm O, chỉ dùng điều kiện hai vectơ đối diện bằng nhau, nên rất gọn khi đề không nhắc tới đường chéo.

Điều đáng chú ý

Kết luận không phụ thuộc vào việc S nằm ở đâu, kể cả khi S nằm trong mặt phẳng đáy. Vì thế ta chỉ cần ABCD là hình bình hành.
Điều ngược lại cũng đúng: nếu với mọi điểm S ta có SA^→ + SC^→ = SB^→ + SD^→ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mở rộng: tổng bốn vectơ từ đỉnh

Cộng hai vế của đẳng thức vừa chứng minh: SA^→ + SB^→ + SC^→ + SD^→ = 4·SO^→. Đây là một kết quả hay dùng để chứng minh đồng phẳng hoặc xác định trọng tâm hệ điểm.

Lỗi sai thường gặp

Viết SA^→ + SC^→ = SO^→ (quên hệ số 2).
Dùng AC = BD (đúng với hình chữ nhật, không đúng với hình bình hành tổng quát).
Nhầm vectơ với độ dài: đẳng thức vectơ không có nghĩa là SA + SC = SB + SD về độ dài.

Bài luyện tập có đáp án

Với hình bình hành ABCD và điểm M bất kì, chứng minh MA^→ + MC^→ = MB^→ + MD^→. Gợi ý: làm giống cách 1 với M thay cho S.
Cho SA^→ = a^→, SB^→ = b^→, SC^→ = c^→. Biểu diễn SD^→. Đáp án: SD^→ = a^→ + c^→ − b^→.
Chứng minh SA^→ + SB^→ + SC^→ + SD^→ = 4·SO^→. Đáp án: cộng hai đẳng thức SA^→ + SC^→ = 2·SO^→ và SB^→ + SD^→ = 2·SO^→.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao SA + SC = 2·SO trong hình chóp có đáy là hình bình hành?

Vì O là trung điểm của AC. Với điểm S bất kì, tổng hai vectơ nối S tới hai đầu đoạn thẳng bằng 2 lần vectơ nối S tới trung điểm đoạn đó.

Có cần S nằm ngoài mặt phẳng đáy để đẳng thức đúng không?

Không. Đẳng thức SA + SC = SB + SD đúng với mọi điểm S, vì nó chỉ dựa vào việc ABCD là hình bình hành.

Có cách chứng minh nào không cần dựng tâm O?

Có. Dùng AB = DC, chèn điểm S để được SB − SA = SC − SD, rồi chuyển vế sẽ có SA + SC = SB + SD.

Kết quả mở rộng của bài toán này là gì?

Cộng hai vế thu được SA + SB + SC + SD = 4·SO, với O là tâm hình bình hành ABCD.