Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

A. Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

I. Phép chiếu song song

1. Định nghĩa

Cho mặt phẳng $\left(P\right)$và đường thẳng $l$ cắt $\left(P\right)$. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho MM’ song song hoặc trùng với $l$ được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng $\left(P\right)$ theo phương $l$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng  $l$ gọi là phương chiếu, điểm M’ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M qua phép chiều song song.

2. Tính chất

- Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.

- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

III. Hình biểu diễn của một hình không gian

1. Khái niệm

Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

2. Hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản

Hình 86a: Hình tứ diện

Hình 86b: Hình hộp

Hình 86c: Hình hộp chữ nhật

Hình 86d: Hình lăng trụ tam giác

B. Bài tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.

a) Chứng minh hình chiếu song song G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Hướng dẫn giải

a) Gọi I là trung điểm của CD.

Ta có hình chiếu song song của đoạn IA trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là đoạn IB.

Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của ba điểm A, G, I nên ảnh G’ của G qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB nằm trên đoạn BI và nằm giữa hai điểm B, I, đồng thời GG’ // AB.

Tam giác IAB, có: $\frac{I{G}^{\text{'}}}{IB}=\frac{IG}{IA}=\frac{1}{3}$ (do G là trọng tâm của tam giác ACD).

Mà I là trung điểm CD.

Vậy G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

b) Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu song song của M, N trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB.

Ta có đoạn BD là hình chiếu song song của đoạn AD trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB.

Mà M là trung điểm AD.

Do đó ảnh M’ của M qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là trung điểm của đoạn BD.

Chứng minh tương tự, ta được ảnh N’ của N qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là trung điểm của đoạn BC.

Bài 2. Vẽ hình biểu diễn của một chiếc hộp đựng bánh ít trong hình vẽ dưới đây:

Hướng dẫn giải

Hình biểu diễn của một chiếc hộp đựng bánh ít:

Bài 3. Vẽ một hình biểu diễn của:

a) Hình thang cân ABCD có đáy lớn là CD sao cho CD = 2AB.

b) Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong hình tròn tâm O.

Hướng dẫn giải

a) Hình biểu diễn của hình thang ABCD có đáy lớn là CD sao cho CD = 2AB là hình thang A’B’C’D’ có đáy lớn là C’D’ sao cho C’D’ = 2A’B’:

b) Hình biểu diễn của hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong hình tròn tâm O là hình bình hành M’N’P’Q’ nội tiếp trong elip có tâm O’:

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Lý thuyết Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song