Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết

Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Admin Vietjack Ngày: 31-12-2023 Lớp 11

1.5 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Giới hạn 0 của dãy số

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = 0$ .

* Chú ý:

+ $lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k \in Z .$

+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$

b, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ và c là hằng số thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$
$\begin{array}{l} lim_{n \to + \infty} (c . u_{n}) = c . a \\ lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b \end{array}$
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$
Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

* Chú ý:

$lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty$
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ ) thì $lim \frac{1}{u_{n}} = 0$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = 0, u_{n} > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, \forall n$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .

*Nhận xét:

$\begin{array}{l} a, lim n^{k} = + \infty, k \in N, k \geq 1. \\ b, lim q^{n} = + \infty; q \in R, q > 1. \end{array}$

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2 n + 6}{n - 3}$ ;

b) $\lim \frac{n^{3} - n + 3}{1 - 2 n^{3}}$ ;

c) $\lim \frac{3^{n} - 4^{n} + 2}{3 . 4^{n} - 5 . 2^{n}}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{2 n + 6}{n - 3} = \lim \frac{2 + \frac{6}{n}}{1 - \frac{3}{n}} = 2$ ;

b) $\lim \frac{n^{3} - n + 3}{1 - 2 n^{3}} = \lim \frac{1 - \frac{n}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{3}} - 2} = \lim \frac{1 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{3}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{3}} - 2} = \frac{- 1}{2}$ ;

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{- 3}{5}$ và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giới hạn của dãy số

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giới hạn của dãy số

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giới hạn của dãy số và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S = \frac{5}{8}$ .