Với giải sách bài tập Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 6. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Bài 1 trang 30 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2:

Hãy biểu diễn bằng phần tô màu:

a) $\frac{3}{4}$ của hình vuông (Hình 1);

b) $\frac{2}{3}$ của hình chữ nhật (Hình 2).

Lời giải:

a) Chia hình vuông thành 4 phần bằng nhau rồi tô màu 3 phần (hình vẽ).

b) Chia hình chữ nhật thành 3 phần bằng nhau rồi tô màu 2 phần (hình vẽ).

Bài 2 trang 30 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2:Phần tô màu trong Hình 3 biểu diễn phân số nào?

Lời giải:

Ta thấy hình chữ nhật được chia làm 8 phần bằng nhau, đã tô màu 3 phần nên phần tô màu biểu diễn phân số $\frac{3}{8}$

Bài 3 trang 30 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta phân số?

a) $-\frac{9,4}{11,5}$

b) $\frac{-8}{0}$

c) $\frac{7}{1}$

d) $\frac{n}{2}$ (n ∈ ℤ).

Lời giải:

Phân số có dạng $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên và b ≠ 0.

Cách viết $-\frac{9,4}{11,5}$ không cho ta phân số vì 9,4 và 11,5 không phải là số nguyên.

Cách viết $\frac{-8}{0}$ không cho ta phân số vì mẫu số bằng 0.

Cách viết $\frac{7}{1}$ cho ta phân số vì 7; 1 là các số nguyên và 1 ≠ 0.

Cách viết $\frac{n}{2}$ cho ta phân số vì n; 2 là các số nguyên và 2 ≠ 0.

Vậy cách viết c) và d) cho ta phân số.

Bài 4 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Trong các cặp phân số sau đây, cặp phân số nào bằng nhau? Vì sao?

$\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$; $\frac{12}{-4}$ và $\frac{-9}{3}$; $\frac{-13}{9}$ và $\frac{13}{-9}$; – 5 và $\frac{-10}{2}$; $\frac{2x}{6}$ và $\frac{x}{3}$ (x ∈ ℤ).

Lời giải:

• Do 3 . (–14) ≠ 7 . 6 nên $\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$ không bằng nhau.

• Do 12 . 3 = (–4) . (–9) nên $\frac{12}{-4}=\frac{-9}{3}.$

• Do (–13) . (–9) = 9 . 13 nên $\frac{-13}{9}=\frac{13}{-9}.$

• Do – 5 = $\frac{-5}{1}$ và (–5) . 2 = 1. (–10) nên – 5 = $\frac{-10}{2}$.

• Do với x ∈ ℤ thì 2x . 3 = 6 . x nên $\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}.$

Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Viết mỗi phân số sau thành phân số bằng nó và có mẫu là số nguyên dương:

a) $\frac{-32}{-71}$;

b) $\frac{14}{-17}$;

c) $\frac{5}{-39}$;

d) $\frac{-x}{-y}$ (x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, y > 0).

Lời giải:

a) $\frac{-32}{-71}=\frac{\left(-32\right).\left(-1\right)}{\left(-71\right).\left(-1\right)}=\frac{32}{71}$;

b) $\frac{14}{-17}=\frac{14.\left(-1\right)}{\left(-17\right).\left(-1\right)}=\frac{-14}{17}$;

c) $\frac{5}{-39}=\frac{5.\left(-1\right)}{\left(-39\right).\left(-1\right)}=\frac{-5}{39}$;

d) $\frac{-x}{-y}=\frac{\left(-x\right).\left(-1\right)}{\left(-y\right).\left(-1\right)}=\frac{x}{y}$ (x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, y > 0).

Bài 6 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2:Tìm các số nguyên x và y, biết:

a) $\frac{4}{x}=\frac{y}{21}=\frac{28}{49}$;

b) $\frac{x}{7}=\frac{9}{y}$ và x > y;

c) $\frac{x}{15}=\frac{3}{y}$ và x < y < 0;

d) $\frac{x}{y}=\frac{21}{28}$.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{28}{49}=\frac{28:7}{49:7}=\frac{4}{7}$

Do đó

• $\frac{4}{x}=\frac{4}{7}$ nên x = 7;

• $\frac{y}{21}=\frac{4}{7}$ nên y . 7 = 21 . 4 = 84

Suy ra y = 84 : 7 = 12.

Vậy x = 7, y = 12.

b) Ta có $\frac{x}{7}=\frac{9}{y}$ nên x . y = 7 . 9 = 63.

Mà 63 = 63.1 = 21.3 = 9.7 = (–1).(–63) = (–3).(–21) = (–7).(–9)

Lại có x > y nên ta có bảng sau:

c) Ta có $\frac{x}{15}=\frac{3}{y}$ nên x . y = 15 . 3 = 45.

Mà 45 = (–45).(–1) = (–15).(–3) = (–9).(–5) = 45.1 = 15.3 = 9.5

Lại có x < y < 0 nên ta có bảng sau:

d) Ta có $\frac{x}{y}=\frac{21}{28}=\frac{21:7}{28:7}=\frac{3}{4}=\frac{3k}{4k}$ với k ∈ ℤ, k ≠ 0.

Do đó có vô số giá trị x, y thoả mãn x = 3k và y = 4k (k ∈ ℤ, k ≠ 0).

Bài 7 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Rút gọn về phân số tối giản:

a) $\frac{-147}{252}$

b) $\frac{765}{900}$

c) $\frac{11.3-11.8}{17-6}$

d) $\frac{3^5{.2}^4}{{8.3}^6}$

e) $\frac{84.45}{49.54}$

Lời giải:

a) $\frac{-147}{252}=\frac{\left(-147\right):21}{252:21}=\frac{-7}{12}$;

b) $\frac{765}{900}=\frac{765:45}{900:45}=\frac{17}{20}$;

c) $\frac{11.3-11.8}{17-6}=\frac{11.\left(3-8\right)}{11}=\frac{11.\left(-5\right)}{11}=-5$;

d) $\frac{3^5{.2}^4}{{8.3}^6}=\frac{3^5{.2}^{3+1}}{2^3{.3}^{5+1}}=\frac{3^5{.2}^3.2}{2^3{.3}^5.3}=\frac{2}{3}$;

e) $\frac{84.45}{49.54}=\frac{\mathrm{7.12.5.9}}{\mathrm{7.7.6.9}}=\frac{12.5}{7.6}=\frac{\mathrm{2.6.5}}{7.6}=\frac{10}{7}$.

Bài 8 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Giải thích tại sao các phân số sau đây bằng nhau:

a) $\frac{-630}{224}=\frac{-45}{16}$;

b) $\frac{352352}{-470470}=\frac{-176}{235}$;

c) $\frac{\mathrm{199...99}}{\mathrm{999...95}}=\frac{1}{5}$ (Biết rằng có 100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số).

Lời giải:

a) $\frac{-630}{224}=\frac{\left(-630\right):14}{224:14}=\frac{-45}{16}$;

b) $\frac{352352}{-470470}=\frac{352352:\left(-1001\right)}{\left(-470470\right):\left(-1001\right)}$

$=\frac{-352}{470}=\frac{\left(-352\right):2}{470:2}=\frac{-176}{235}$;

c) $\frac{\mathrm{199...99}}{\mathrm{999...95}}=\frac{1}{5}$ (Biết rằng có 100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số).

Vì 999…995 = 5 . 199…99

100 chữ số 9 100 chữ số 9

Do đó $\frac{\mathrm{199...99}}{\mathrm{999...95}}=\frac{1}{5}$.

Bài 9 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Cho biểu thức $A=\frac{3}{n+2}$.

a) Số nguyên n phải thoả mãn điều kiện gì để A là phân số?

b) Tìm phân số A khi n = 0, n = 2, n = – 7.

c) Tìm các số nguyên n để A là một số nguyên.

Lời giải:

a) Để $A=\frac{3}{n+2}$ là phân số thì n + 2 là số nguyên khác 0, tức n là số nguyên khác – 2.

b) Xét biểu thức $A=\frac{3}{n+2}$.

• Với n = 0 thì $A=\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$.

• Với n = 2 thì $A=\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}$.

• Với n = –7 thì $A=\frac{3}{-7+2}=\frac{3}{-5}$.

c) Với n là số nguyên, để $A=\frac{3}{n+2}$ là một số nguyên thì 3 ⋮ (n + 2) hay (n + 2) là ước của 3.

Mà Ư(3) = {–3; –1; 1; 3} nên (n + 2) ∈ {–3; –1; 1; 3}.

Ta có bảng sau:

Vậy n ∈ {–5; –3; –1; 1}.

Bài 10 trang 31 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Cho phân số A = $\frac{1+2+3+\mathrm{...}+9}{11+12+13+\mathrm{...}+19}$.

a) Rút gọn A.

b) Hãy xoá một số hạng ở tử và xoá một số hạng ở mẫu của phân số A để được phân số mới có giá trị vẫn bằng A.

Lời giải:

a) Ta có 1 + 2 + 3 + … + 9 = $\frac{9.\left(9+1\right)}{2}=45$;

11 + 12 + 13 + … + 19 = $\frac{9.\left(19+11\right)}{2}=135$.

Khi đó $A=\frac{1+2+3+\mathrm{...}+9}{11+12+13+\mathrm{...}+19}=\frac{45}{135}=\frac{45}{45.3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $A=\frac{1}{3}.$

b) Gọi số hạng cần xoá ở tử là m, số hạng cần xoá ở mẫu là n (1 ≤ m ≤ 9; 11 ≤ n ≤ 19; m, n ∈ ℕ).

Khi đó ta có $\frac{45-m}{135-n}=\frac{1}{3}$

Suy ra 3 . (45 – m) = (135 – n) . 1

Hay 3 . 45 – 3 . m = 135 – n

135 – 3m = 135 – n

3m = n

Ta có bảng sau:

Khi đó:

• Xoá số 4 ở tử và xoá số 12 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-4}{135-12}=\frac{41}{123}=\frac{41:41}{123:41}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 5 ở tử và xoá số 15 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-5}{135-15}=\frac{40}{120}=\frac{40:40}{120:40}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 6 ở tử và xoá số 18 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-6}{135-18}=\frac{39}{117}=\frac{39:39}{117:39}=\frac{1}{3}$.

Bài 11 trang 31,32 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: a) Một mẫu Bắc Bộ bằng 3 600 m². Một mẫu Bắc Bộ bằng bao nhiêu phần của một héc-ta?

b) Một pao (pound) bằng 0,45 kg. Một pao bằng bao nhiêu phần của một ki-lô-gam?

c) Một vòi nước chảy vào bể không có nước trong 48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi vào bể không có nước trong 36 phút thì lượng nước chiếm bao nhiêu phần bể?

Lời giải:

a) Vì 1 000 m² = 1 ha

Nên 3 600 m² = $\frac{3600}{1000}=\frac{3600:400}{1000:400}=\frac{9}{25}$ ha.

Vậy một mẫu Bắc Bộ bằng $\frac{9}{25}$ héc-ta.

b) Ta có 0,45 = $\frac{45}{100}=\frac{45:5}{100:5}=\frac{9}{20}$.

Vậy 0,45 kg = $\frac{9}{20}$ kg.

c) Do vòi chảy 48 phút vào bể không có nước thì đầy bể nên mỗi phút vòi chảy được

$\frac{1}{48}$phần của bể.

Vậy 36 phút vòi chảy được $36.\frac{1}{48}=\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$ phần của bể.

Bài 12 trang 32 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Cô giáo khuyên em điều gì?

Chọn số thích hợp cho $\boxed{?}$. Sau đó, viết các chữ tương ứng với các số tìm được vào các ô ở bảng dưới cùng để biết lời khuyên của cô giáo.

Lời giải:

Bài 13 trang 32 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Cho phân số $\frac{-5}{9}$. Phải cộng thêm vào tử và mẫu cùng một số nào để được phân số mới có giá trị bằng phân số $\frac{2}{9}$ ?

Lời giải:

Gọi số cộng thêm vào tử và mẫu là m.

Khi đó ta có phân số mới là $\frac{-5+m}{9+m}=\frac{2}{9}$

Suy ra:

(–5 + m) . 9 = (9 + m) . 2

(–5) . 9 + m . 9 = 9 . 2 + m . 2

–45 + 9m = 18 + 2m

9m – 2m = 18 + 45

7m = 63

m = 63 : 7 = 9.

Vậy số cần cộng thêm vào tử và mẫu là 9.

Bài 14 trang 32 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 2: Chứng tỏ rằng $\frac{14n+3}{21n+4}$ là phân số tối giản (n là số tự nhiên).

Lời giải:

Gọi d = ƯCLN(14n + 3; 21n + 4).

Khi đó 14n + 3 và 21n + 4 chia hết cho d.

Suy ra 3 . (14n + 3) và 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Do đó 3 . (14n + 3) – 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Hay 3 . 14n + 3 . 3 – 2 . 21n – 2 . 4 chia hết cho d.

Từ đó suy ra 42n + 9 – 42n – 8 = 1 chia hết cho d.

Khi đó ta có d = 1.

Vậy ƯCLN(14n + 3; 21n + 4) = 1 hay $\frac{14n+3}{21n+4}$ là phân số tối giản (n là số tự nhiên).

Lý thuyết Phân số với tử và mẫu là số nguyên

1. Khái niệm phân số

Kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạng$\frac{a}{b}.$

Ta gọi $\frac{a}{b}.$ là phân số.

Phân số $\frac{a}{b}.$ đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ 1. Kết quả của phép chia 5 cho 12 có thể viết dưới dạng  $\frac{5}{12}.$

Ta gọi $\frac{5}{12}.$ là phân số và đọc là năm phần mười hai; trong đó 5 là tử số, 12 là mẫu số.

Chú ý: Mọi số nguyên a có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{a}{1}.$ 

Ví dụ 2. Số ‒2 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{-2}{1}.$ 

Số 30 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{30}{1}.$  

2. Phân số bằng nhau

Khái niệm hai phân số bằng nhau: Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

Quy tắc bằng nhau của hai phân số:

Xét hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$.

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Ví dụ 3. Hai phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không?

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$;

b) $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$

Ta so sánh hai tích (‒1).9 và 3.(‒3)

(‒1).9 = ‒9 và 3.(‒3) = ‒9

Do đó (‒1).9 = 3.(‒3).

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

b) $\frac{-4}{-10}$và $\frac{-6}{15}$

Ta so sánh hai tích (‒4).15 và (‒10).(‒6)

(‒4).15 = ‒60 và (‒10).(‒6) = 60

Do đó (‒1).9 ≠ 3.(‒3).

Vậy hai phân số $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$ không bằng nhau.

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Chú ý: Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có: $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ và $\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$.

Ví dụ 4. $\frac{3}{-2}=\frac{-3}{2};\frac{-4}{-10}=\frac{4}{10}.$   

3. Tính chất cơ bản của phân số

a) Tính chất cơ bản

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a.m}{b.m}$ với $m\in \mathbb{Z}$, m ≠ 0.

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a:n}{b:n}$ với m $\in$ ƯC(a, b).

Ví dụ 5.

a)  $\frac{1}{2}=\frac{1.2}{2.2}=\frac{2}{4};\frac{1}{2}=\frac{1.\left(-3\right)}{2.\left(-3\right)}=\frac{-3}{-6}$;

b) $\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):3}{12:3}=\frac{-2}{4};\frac{6}{-12}=\frac{6:\left(-6\right)}{\left(-12\right):\left(-6\right)}=\frac{-1}{2}$.

Chú ý: Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

Ví dụ 6.  $\frac{6}{-12}=\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):6}{12:6}=\frac{-1}{2};$ $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ (với $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}*$).

b) Rút gọn về phân số tối giản

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1: Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu “– “ (nếu có)

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ 7. Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản có mẫu số là số dương.

a) $\frac{-12}{27}$;

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-12}{27}$

Ta có ƯCLN(12, 27) = 3. Do đó $\frac{-12}{27}=\frac{\left(-12\right):3}{27:3}=\frac{-4}{9}$.

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Ta có ƯCLN(36, 42) = 6. Do đó $\frac{36}{-42}=\frac{36:6}{\left(-42\right):6}=\frac{6}{-7}=\frac{-6}{7}.$

c) Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu dương đó để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu, bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 8. Quy đồng mẫu những phân số sau:

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và `$\frac{5}{-18}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

BCNN(6, 5) = 30.

Ta có: 30 : 6 = 5 và 30 : 5 = 6.

Vậy  $\frac{-5}{6}=\frac{\left(-5\right).5}{6.5}=\frac{-25}{30}$ và $\frac{3}{5}=\frac{3.6}{5.6}=\frac{18}{30}$.

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và $\frac{5}{-18}$.

Ta có $\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}$.

BCNN(6, 12, 18) = 36.

Mà 36 : 6 = 6; 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2.

Vậy $\frac{-1}{6}=\frac{\left(-1\right).6}{6.6}=\frac{-6}{36};$$\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}=\frac{5.3}{12.3}=\frac{15}{36}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}=\frac{\left(-5\right).2}{18.2}=\frac{-10}{36}.$