Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Lý thuyết

Công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ ứng với n = 4 ; n = 5 :

• (a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴

     = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

• (a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵ + $C_5^1$a⁴b + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

 = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Ví dụ:

a) Khai triển (2 + x)⁴ ;

b) Khai triển (x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(2 + x)⁴ = $C_4^0$2⁴ + $C_4^1$2³.x + $C_4^2$2²x² + $C_4^3$2.x³ + $C_4^4$x⁴

= 2⁴ + 4.2³x + 6.2².x² + 4.2.x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Vậy (2 + x)⁴ = 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

b) Ta có : 

(x – 3)⁵ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.(–3) + $C_5^2$x³.(–3)² + $C_5^3$x².(–3)³ + $C_5^4$x.(–3)⁴ + $C_5^5$(–3)⁵

= x⁵ + 5x⁴.(–3) + 10x³.(–3)² + 10x².(–3)³ + 5x.(–3)⁴ + (–3)⁵

= x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Vậy (x – 3)⁵ = x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tập hợp E có 4 phần tử. Tính số tập con của E.

Hướng dẫn giải

Số tập hợp con của E có 0 phần tử là: $C_4^0$;

Số tập hợp con của E có 1 phần tử là: $C_4^1$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^2$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^3$;

Số tập hợp con của E có 6 phần tử là: $C_4^4$.

Khi đó số tập hợp con của E là : $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$.

Mặt khác, ta có:  (1 + 1)⁴ =  $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$

⇒ = 2⁴ = 16.

Vậy tập hợp E có 16 tập con.

Bài 2. Khai triển các đa thức sau :

a) (2x – 3)⁴ ;

b) (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 3)⁴ 

= (2x)⁴ + 4(2x)³.(–3) + 6(2x)².(–3)² + 4.2x.(–3)³ + (–3)⁴.

= 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

Vậy: (2x – 3)⁴ = 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

b) Ta có:

(x + 5)⁵ + (x – 5)⁵

= [x⁵ + 5x⁴.5 + 10.x³.5² + 10.x².5³ + 5.x.5⁴ + 5⁵] + [x⁵ + 5x⁴.(–5) + 10.x³.(–5)² + 10.x².(–5)³ + 5.x.(–5)⁴ + (–5)⁵]

= [x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125] + [x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125]

= x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125 + x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125

= 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Vậy (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵ = 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Bài 3. Xác định hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức (3x – 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Newton ta có :

(3x – 2)⁴ = $C_4^0$(3x)⁴ + $C_4^1$(3x)³.(–2) + $C_4^2$(3x)².(–2)² + $C_4^3$(3x).(–2)³ + $C_4^4$(–2)⁴

= (3x)⁴ + 4(3x)³(–2) + 6(3x)²(–2)² + 4(3x)(–2)³ + (–2)⁴

= 3⁴x⁴ + 4.3³x³.(–2) + 6.3².x².(–2)² + 4.3x.(–2)³ + (–2)⁴

⇒ Hệ số của x³ là 4.3³.(–2) =  – 216.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁴  là  – 216.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tổng hệ số của x³ và x² trong khai triển (1 + 2x)⁴ là :

A. 24;

B. 44;

C. 20;

D. 54.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 5a²b² + 4ab³ + b⁴.

Do đó (1 + 2x)⁴ = 1⁴ + 4.1³.(2x) + 5.1².(2x)² + 4.1.(2x)³ + (2x)⁴

= 1 + 8x + 20x² + 24x³ + 16x⁴

Suy ra hệ số của x³ là 24 và hệ số của x² là 20.

Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24  + 20 = 44.

Câu 2. Hệ số của x² trong khai triển (2 – 3x)³ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ? 

A. k là một số tự nhiên;

B. k là một số nguyên âm;

C. k là một số nguyên dương;

D. k = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (2x – 3)³

= (2x)³ + 2.(2x)².(– 3) + 2.(2x).(– 3)² + (– 3)³

= 8x³ – 24x² + 36x – 27.

Hệ số của x² là k = – 24.

Vậy k là một số nguyên âm.

Câu 3. Tính giá trị biểu thức $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$.

A. $\frac{3}{2}$;

B. $\frac{9}{16}$;

C. $\frac{81}{16}$;

D. $\frac{27}{16}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0+C_4^1{.1}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+C_4^2{.1}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{81}{16}$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Tổ hợp

Lý thuyết Bài 4: Nhị thức Newton

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Lý thuyết Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm