Trả lời nhanh
Với tam giác đều ABC cạnh a, gọi M là trung điểm BC thì →AB + →AC = 2→AM nên |→AB + →AC| = 2 · AM = 2 · (a√3/2) = a√3. Còn hiệu hai vectơ là →AB − →AC = →CB nên |→AB − →AC| = BC = a. Quy ước trong bài: →AB là vectơ AB.
Đề bài và hướng suy nghĩ
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài của vectơ →AB + →AC (đề có thể hỏi thêm hiệu →AB − →AC). Hai vectơ →AB và →AC có chung gốc A và tạo với nhau góc 60°. Có hai cách đi tự nhiên: dùng quy tắc trung điểm hoặc bình phương độ dài rồi dùng tích vô hướng.
Cách 1: Dùng trung điểm của BC
- Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó với mọi điểm A có →AB + →AC = 2→AM.
- Trong tam giác đều, trung tuyến AM cũng là đường cao, nên AM = a√3/2.
- Suy ra |→AB + →AC| = 2 · AM = 2 · a√3/2 = a√3.
Với hiệu hai vectơ, ta dùng quy tắc trừ: →AB − →AC = →CB (nối ngọn của vectơ thứ hai tới ngọn của vectơ thứ nhất). Vậy |→AB − →AC| = CB = a.
Cách 2: Dùng tích vô hướng
Trước tiên tính tích vô hướng: →AB · →AC = AB · AC · cos 60° = a · a · 1/2 = a²/2.
Sau đó bình phương độ dài của tổng:
|→AB + →AC|² = AB² + AC² + 2 · →AB · →AC = a² + a² + 2 · a²/2 = 3a².
Suy ra |→AB + →AC| = a√3, trùng với kết quả cách 1.
Tương tự: |→AB − →AC|² = a² + a² − 2 · a²/2 = a², nên |→AB − →AC| = a.
Tổng hợp kết quả
| Đại lượng | Giá trị |
|---|---|
| →AB · →AC | a²/2 |
| |→AB + →AC| | a√3 |
| |→AB − →AC| | a |
Cách 3: Dùng tọa độ
Đặt B(0; 0), C(a; 0) thì A(a/2; a√3/2) vì tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó →AB = (−a/2; −a√3/2) và →AC = (a/2; −a√3/2).
- Tổng: →AB + →AC = (0; −a√3), có độ dài a√3.
- Hiệu: →AB − →AC = (−a; 0), có độ dài a.
- Tích vô hướng: →AB · →AC = −a²/4 + 3a²/4 = a²/2.
Ba cách cho cùng kết quả, nên bạn có thể dùng cách này để kiểm tra lại bài làm của mình khi có thời gian.
Mở rộng: công thức cho hai vectơ cùng độ dài
Nếu hai vectơ cùng gốc có cùng độ dài a và hợp với nhau góc α thì độ dài tổng bằng 2a·cos(α/2) và độ dài hiệu bằng 2a·sin(α/2). Với α = 60° ta có 2a·cos 30° = a√3 và 2a·sin 30° = a, khớp với kết quả bài toán.
Ứng dụng trong vật lí: hai lực cùng độ lớn 10 N cùng đặt vào một điểm và hợp nhau góc 60° có hợp lực độ lớn 10√3 ≈ 17,3 N, hướng theo đường phân giác của góc giữa hai lực.
Nhận xét hình học
Dựng điểm D sao cho ABDC là hình bình hành (với tam giác đều, đó là hình thoi cạnh a có góc A bằng 60°). Khi đó →AB + →AC = →AD, tức là tổng hai vectơ chính là đường chéo AD của hình thoi. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm M của BC, nên AD = 2AM = a√3. Đường chéo còn lại BC dài a, chính là độ dài của →AB − →AC. Cách nhìn này giúp bạn không cần nhớ công thức nào mà vẫn suy ra được cả hai kết quả.
Bạn cũng có thể kiểm tra bằng định lí Pythagore trong tam giác vuông AMB: AM² = AB² − BM² = a² − a²/4 = 3a²/4, suy ra AM = a√3/2, rồi nhân đôi để được a√3.
Vì sao không phải 2a hay a?
- Nhầm thành 2a: cộng độ dài AB + AC. Điều này chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng, nhưng ở đây chúng hợp góc 60°, nên độ dài tổng nhỏ hơn 2a.
- Nhầm thành a: nhầm giữa tổng và hiệu. Hiệu →AB − →AC mới có độ dài a.
- Quên nhân đôi trung tuyến: →AB + →AC = 2→AM, nếu quên hệ số 2 sẽ ra a√3/2.
Mẹo nhớ
Khi hai vectơ cùng gốc: tổng là đường chéo của hình bình hành dựng trên hai vectơ, còn hiệu là đường chéo còn lại. Với góc 60° giữa hai cạnh bằng nhau (hình thoi), đường chéo dài là a√3 và đường chéo ngắn là a. Hình thoi ABDC chính là cách hình dung trực quan của bài này.
Luyện tập
- Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính |→AB + →BC|. Đáp án: →AB + →BC = →AC nên độ dài bằng a.
- Tính |→AB − →BC|. Đáp án: |→AB − →BC|² = a² + a² − 2 · →AB · →BC, với →AB · →BC = a · a · cos 120° = −a²/2, nên bình phương bằng 3a², độ dài là a√3.
- Tính |→AB + →AC + →BC|. Đáp án: (→AB + →BC) + →AC = 2→AC nên độ dài là 2a.
Câu hỏi thường gặp
Độ dài vectơ AB + AC của tam giác đều cạnh a là bao nhiêu?
Bằng a√3, vì →AB + →AC = 2→AM với M là trung điểm BC và AM = a√3/2.
Độ dài vectơ AB − AC của tam giác đều cạnh a là bao nhiêu?
Bằng a, vì →AB − →AC = →CB và CB = a.
Tích vô hướng của AB và AC trong tam giác đều cạnh a bằng bao nhiêu?
Bằng a²/2, vì góc giữa hai vectơ là 60° và cos 60° = 1/2.