Câu 5 : Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết rằng người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800 m. Hỏi anh ta phải chọn mảnh đất có kích thước như thế nào để diện tích đất canh tác là lớn nhất.

(HD: Sử dụng bất đẳng thức $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$).

ĐÁP ÁN

I. Trắc nghiệm

II. Tự luận

Câu 1:

a) $\left(x-1\right)\left(3x-6\right)=0$

+) $x-1=0$

$x=1$

+) $3x-6=0x=1$

$3x=6$

$x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$; $x=2$.

b) $\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

ĐKXĐ: $x\ne -3$ và $x\ne 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\\ \frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\\ 2\left(x-2\right)-\left(x+3\right)=2x-13\\ 2x-4-x-3=2x-13\\ x-7=2x-13\\ x-2x=-13+7\\ -x=-6\\ x=6\left(TM\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=6$.

c) $2x-4>0$

$\begin{array}{l}2x>4\\ x>2\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x>2$.

d) $2-3x\le 4x+5$

$\begin{array}{l}-3x-4x\le 5-2\\ -7x\le 3\\ x\ge \frac{-3}{7}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{-3}{7}$.

Câu 2:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 2x+y=1\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 4x+2y=2\end{array}\\ \{\begin{array}{l}7x=7\\ 2x+y=1\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=1\\ 2.1+y=1\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)$.

b) Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp 1 và xí nghiệp II phải làm lần lượt là $x,y$ $\left(x,y\in N^{\ast }\right)$.

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp sản xuất phải làm tổng cộng 360 dụng cụ nên ta có:

$x+y=360$ (1)

Thực tế, xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ nên ta có phương trình:

$\left(x+12\mathrm{\%}x\right)+\left(y+10\mathrm{\%}y\right)=400$ hay $1,12x+1,1y=400$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 1,12x+1,1y=400\end{array}$.

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}x=200\\ y=160\end{array}\left(TM\right)$.

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp I làm được 200 dụng cụ và xí nghiệp II làm được 160 dụng cụ.

Câu 3:

Giả sử hình biểu diễn như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\tan BCA=\frac{AB}{AC}$

Suy ra $AB=AC.\tan BCA=16.\tan {52}^{\circ }\approx 20,48\left(m\right)$

Vậy chiều cao của công trình này là khoảng $20,48m$.

Câu 4:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore trong tam giác, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+6^2=48$ suy ra $BC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\left(cm\right)$

Ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\hat{B}={60}^{\circ }$.

$\hat{C}={90}^{\circ }-\hat{B}={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$.

Vậy $BC=4\sqrt{3}cm;\hat{B}={60}^{\circ };\hat{C}={30}^{\circ }$.

b) Xét tam giác BHD và tam giác HAD có:

$\widehat{BDH}=\widehat{HDA}\left(={90}^{\circ }\right)$

$\widehat{BHD}=\widehat{HAD}$ (cùng phụ với $\widehat{DBH}$)

suy ra $\mathrm{\Delta }BHD\backsim \mathrm{\Delta }HAD\left(g.g\right)$ nên $\frac{BD}{DH}=\frac{DH}{DA}$. Do đó  $BD.DA=D{H}^2$. (1)

Xét tam giác CHE và tam giác HAE có:

$\widehat{CEH}=\widehat{HEA}\left(={90}^{\circ }\right)$

$\hat{C}$ chung

suy ra $\mathrm{\Delta }CHE\backsim \mathrm{\Delta }HAE\left(g.g\right)$ nên $\frac{CE}{HE}=\frac{HE}{AE}$. Do đó $CE.AE=H{E}^2$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD.DA+CE.AE=D{H}^2+H{E}^2$ (3).

Vì tứ giác ADHE có $\widehat{DAE}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}={90}^{\circ }$ nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Do đó $AH=DE$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DHE vuông tại H, ta có: $D{H}^2+H{E}^2=D{E}^2$. Suy ra $D{H}^2+H{E}^2=A{H}^2$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BD.DA+CE.AE=A{H}^2$ (đpcm)

c) Xét tam giác BIA và tam giác BAM có:

$\widehat{BIA}=\widehat{BAM}\left(={90}^{\circ }\right)$

$\hat{B}$ chung

suy ra $\mathrm{\Delta }BIA\backsim \mathrm{\Delta }BAM\left(g.g\right)$ nên $\frac{BI}{AB}=\frac{AB}{BM}$. Do đó $BI.BM=A{B}^2$.

Xét tam giác BHA và tam giác BAC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(={90}^{\circ }\right)$

$\hat{B}$ chung

suy ra $\mathrm{\Delta }BHA\backsim \mathrm{\Delta }BAC\left(g.g\right)$ nên $\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}$. Do đó $BH.BC=A{B}^2$.

Từ đó ta có $BI.BM=BH.BC$ suy ra $\frac{BI}{BC}=\frac{BH}{BM}$.

Xét tam giác BHI và tam giác BMC có:

$\hat{B}$ chung

$\frac{BI}{BC}=\frac{BH}{BM}$ (cmt)

nên $\mathrm{\Delta }BHI\backsim \mathrm{\Delta }BMC$ suy ra $\frac{HI}{MC}=\frac{BI}{BC}$.

Xét tam giác AMB vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{AMB}=\frac{AB}{BM}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$.

Suy ra$\sin \widehat{AMB}.\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BM}.\frac{AB}{BC}=\frac{A{B}^2}{BM.BC}=\frac{BI.BM}{BM.BC}=\frac{BI}{BC}=\frac{HI}{CM}$.

Vậy $\sin \widehat{AMB}.\sin \widehat{ACB}=\frac{HI}{CM}$ (đpcm).

Câu 5:

* Chứng minh bất đẳng thức $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$ hay ${\left(a+b\right)}^2-4ab\ge 0$

Ta có: ${\left(a+b\right)}^2-4ab\ge 0$ với mọi a, b.

Vậy $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$.

* Áp dụng bất đẳng thức trên để giải.

Gọi hai cạnh của miếng đất lần lượt là x, y (m). ($0<x,y<800$)

Vì chu vi của mảnh đất là 800m nên ta có: $2\left(x+y\right)=800$ hay $x+y=800$.

Diện tích đất canh tác là $xy$.

Ta có: $xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\le \frac{{400}^2}{4}=40000\left(m^2\right)$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của xy. Khi đó kích thước của mảnh đất thỏa mãn $x+y=400$ và $xy=40000$.

Ta có $x+y=400$ nên $y=400-x$.

Thay vào $xy=40000$, ta được:

$\begin{array}{l}\left(400-x\right)x=40000\\ -x^2+400x-40000=0\\ x^2-400x+40000=0\\ {\left(x-200\right)}^2=0\\ x=200\end{array}$

Khi đó $y=400-200=200$.

Vậy người đó phải chọn mảnh đất có kích thước 200m x 200m để diện tích đất canh tác là lớn nhất.