Bài 1. Cho  chia hết cho 9. Tìm số thay thế cho a.

Hướng dẫn giải

Tổng các chữ số của  là 1 + a + 3 + 2 = a + 6 = a + 6.

Nên để  chia hết cho 9 thì a + 6 phải chia hết cho 9.

Do a là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên:

0 + 6 ≤ a + 6 ≤ 9 + 6.

Hay 6 ≤ a + 6 ≤ 15.

Số chia hết cho 9 từ 6 đến 15 chỉ có đúng một số là 9 nên a + 6 = 9

Do đó a = 3.

Vậy số thay thế cho a chỉ có thể là 3.

Bài 2: Cho  chia hết cho 3 và chia hết cho 9. Hãy tìm chữ số z.

Hướng dẫn giải

Vì một số bất kỳ nếu chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3 nên ta chỉ xét  chia hết cho 9.

Để  ⋮ 9 thì (5 + z + 8 + 9) ⋮ 9

Hay (22 + z) ⋮ 9 nên z = 5.

Vậy với z = 5 thì  chia hết cho 3 và chia hết cho 9.

Bài 3. Tổng (hiệu) sau chia hết cho 3 hay 9?

a) 1251 + 5316;

b) 5436 – 1324;

c) 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 + 27.

Hướng dẫn giải

a) Tổng các chữ số của 1251 là 1 + 2 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 3 và 9.

Tổng các chữ số của 5 316 là 5 + 3 + 1 + 6 = 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Vậy 1251 + 5316 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

b) Tổng các chữ số của 5436 có 5 + 4 + 3 + 6 = 18 chia hết cho 3 và 9.

Tổng các chữ số của 1324 có 1 + 3 + 2 + 4 = 10 không chia hết cho 3 và 9.

Vậy 5436 – 1324 không chia hết cho 3 và 9.

c) Tích 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 chia hết cho 3 (vì tích này có thừa số là 3).

Ta có: 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . (3 . 2)

= 1 . 2 . 4 . 5 . (3 . 3) . 2

= 1 . 2 . 4 . 5 . 9 . 2 chia hết cho 9 (vì nó có thừa số là 9).

Do đó 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 chia hết cho 3 và 9.

Tổng các chữ số của 27 là 2 + 7 = 9 chia hết cho 3 và 9.

Vậy 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 + 27 chia hết cho 3 và 9.

Bài 4. Cho các số 104, 627, 3 114, 5 123, 6 831 và 72 102. Trong các số đó:

a) Số nào chia hết cho 3? Vì sao?

b) Số nào không chia hết cho 3? Vì sao?

c) Số nào chia hết cho 9? Vì sao?

d) Số nào chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 9? Vì sao?

Lời giải:

Ta áp dụng dấu hiệu chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết cho 9 để thực hiện bài tập này.

a) Trong các số đã cho ta có: 

+ Số 627 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 6 + 2 + 7 = 15 chia hết cho 3.

+ Số 3 114 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 3 + 1 + 1 + 4 = 9 chia hết cho 3.

+ Số 6 831 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 6 + 8 + 3 + 1 = 18 chia hết cho 3.

+ Số 72 102 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 7 + 2 + 1 + 0 + 2 = 12 chia hết cho 3.

b) Ta có: 

+ Số 104 không chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 1 + 0 + 4 = 5 không chia hết cho 3.

+ Số 5 123 không chia hết cho 3 vì tổng các chữ số 5 + 1 + 2 + 3 = 11 không chia hết cho 3.

c) Ta có: 

+ Số 3 114 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số 3 + 1 + 1 + 4 = 9 chia hết cho 9.

+ Số 6 831 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số 6 + 8 + 3 + 1 = 18 chia hết cho 9.

d) Ta có: 

+ Số 627 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 vì tổng các chữ số 6 + 2 + 7 = 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

+ Số 72 102 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 vì tổng các chữ số 7 + 2 + 1 + 0 + 2 = 12 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Bài 5. Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. 

Lời giải:

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1; n + 2 (với)

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là n(n + 1)(n + 2)

Mọi số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận số dư là 0, 1, 2.

+ Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3. Khi đó n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

+ Nếu r = 1 thì n có dạng n = 3k + 1 ()

Ta có: n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3.

Do đó: n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

+ Nếu r = 2 thì n có dạng n = 3k + 2 ()

Khi đó: n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1) chia hết cho 3.

Do đó: n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Câu 6. Hãy chọn câu sai:

A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3

B. Một số chia hết cho 3thì số đó chia hết cho 9

C. Một số chia hết cho 10thì số đó chia hết cho 5

D. Một số chia hết cho 45thì số đó chia hết cho 9

Trả lời:

Câu sai là B: Số chia hết cho 3thì chia hết cho 9.Chẳng hạn số 3 chia hết cho 3 nhưng số 3 không chia hết cho 9.

+ Mọi số chia hết cho 9 đều hia hết cho 3 nên A đúng.

+ Một số chia hết cho 10thì số đó chia hết cho 5 vì các số chia hết cho 10 luôn có chữ số tận cùng là chữ số 0. Nên C đúng.

+ Một số chia hết cho 45thì số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5 nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7. Cho $\overline{1a52}$ chia hết cho 9. Số thay thế cho a có thể là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Trả lời:

Tổng các chữ số của $\overline{1a52}$ là 1 + a +5 + 2 = a + 8 để số $\overline{1a52}$ chia hết cho 9 thì a + 8 phải chia hết cho 9.

Do a là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

0 + 8 ≤ a + 8 ≤ 9 + 8 ⇒ 8 ≤ a + 8 ≤ 17

Số chia hết cho 9 từ 8 đến 17 chỉ có đúng một số 9, do đó a + 8 = 9 ⇒ a = 1

Vậy số thay thế cho a chỉ có thể là 1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8. Số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 là:

A. 10008

B. 152

C. 153

D. 2156

Trả lời:

Số chia hết cho 2 là: 10008, 152 và 2156

10008 có tổng các chữ số bằng 9 nên 10008 chia hết cho 9.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9. Trong những số sau, có bao nhiêu số chia hết cho 3?

555464, 15645, 5464, 561565, 641550

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

Trả lời:

555464 có tổng các chữ số là: 5+5+5+4+6+4 = 29 không chia hết cho 3 nên 555464 không chia hết cho 3.

15645 có tổng các chữ số là: 1+5+6+4+5 = 21 chia hết cho 3 nên 15645 chia hết cho 3

5464 có tổng các chữ số là: 5+4+6+4 = 19 không chia hết cho 3 nên 5464 không chia hết cho 3.

561565 có tổng các chữ số là: 5+6+1+5+6+5 = 28 không chia hết cho 3 nên 561565 không chia hết cho 3.

641550 có tổng các chữ số là: 6+4+1+5+5+0 = 21 chia hết cho 3 nên 641550 chia hết cho 3.

Vậy có tất cả 2 số chia hết cho 3 là: 15645 và 641550

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11. Tìm số tự nhiên $\overline{145*}$chia hết cho cả 3 và 5.

A. 1454

B. 1450

C. 1455

D. 1452

Trả lời:

Vì $\overline{145*}$ chia hết cho 5 nên * có thể bằng 0 hoặc 5.

+ Nếu * bằng 0 thì ta được số 1450 có 1 + 4 + 5 + 0 = 103 nên loại

+ Nếu * bằng 5 thì ta được số 1455 có 1 + 4 + 5 + 5 = 15⁝3 nên thỏa mãn.

Vậy số cần tìm là 1455.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12. Dùng ba trong bốn chữ số 5; 8; 4; 0 hãy lập ra các số tự nhiên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

A. 840; 804; 408

B. 840; 804; 408; 480

C. 540; 450; 405

D. 540; 450; 405; 504

Trả lời:

Ta thấy chỉ có 8 + 4 + 0 = 12 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên các số cần tìm là 840; 480; 408; 804.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13. Có bao nhiêu cặp số a; b sao cho số $\overline{52ab}$ chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 2.

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Trả lời:

Vì $\overline{52ab}$ chia cho 5 dư 2 nên bϵ{2; 7}

+ Xét b = 2 ta có $\overline{52ab}$⁝9 ⇒ 5 + 2 + a + 2 = (9 + a)⁝9

suy ra a ϵ{0; 9}

+ Xét b = 7 ta có $\overline{52ab}$⁝9 ⇒ 5+2+a+7=(14+a)⁝9

suy ra a ϵ{4}

Vậy a = 0; b = 2 hoặc a = 9; b = 2 hoặc a = 4; b = 7.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14. Tìm x ϵ N, biết x chia hết cho 3 và 360 < x < 370?

A. 360; 366; 369

B. 363; 366; 369

C. 362; 364; 368

D. 365; 369; 366

Trả lời:

360 < x < 370: Các số từ 361 đến 369. Đó là 361; 362; 363; 364; 365; 366; 367; 368; 369

Trong các số trên chỉ có số 363; 366; 369 là chia hết cho 3 (Tính tổng các chữ số).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15. Số $A=\overline{abcd}-\left(a+b+c+d\right)$ chia hết cho số nào dưới đây?

A. 2

B. 5

C. 9

D. 6

Trả lời:

Ta có $A=\overline{abcd}-\left(a+b+c+d\right)$

= 1000a + 100b+ 10c + d − (a + b + c + d)

= 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) − (a + b + c + d)

= 999a + 99b + 9c

Mà 999⁝9; 99⁝9; 9⁝9 nên A⁝9.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16. Cho $\overline{55a62}$ chia hết cho 3. Số thay thế cho a có thể là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Trả lời:

Tổng các chữ số của $\overline{55a62}$ là 5 + 5 + a + 6 + 2 = a + 18

để số $\overline{55a62}$ chia hết cho 3 thì a + 18 phải chia hết cho 3.

Do a là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

0 + 18 ≤ a + 18 ≤ 9 + 18 ⇒ 18 ≤ a + 18 ≤ 27

Số chia hết cho 3 từ 18 đến 27 có thể là các số: 18, 21, 24, 27

Tức là a + 18 có thể nhận các giá trị: 18, 21, 24, 27

Với a + 18 bằng 18 thì a = 18 – 18 = 0

Với a + 18 bằng 21 thì a = 21 – 18 = 3

Với a + 18 bằng 24 thì a = 24 – 18 = 6

Với a + 18 bằng 27 thì a = 27 – 18 = 9

Vậy số có thể thay thế cho a là một trong các số 0; 3; 6; 9.

Vậy số thay thế cho a trong đề bài chỉ có thể là 3

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17. Cho số $A=\overline{a785b}$. Tìm tổng các chữ số avà bsao cho Achia 9dư 2.

A. (a + b) ϵ {9; 18}

B. (a + b) ϵ {0; 9; 18}

C. (a + b) ϵ {1; 2; 3}

D. (a + b) ϵ {4; 5; 6}

Trả lời:

Ta có: a; b ϵ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và a ≠ 0.

A chia 9dư 2⇒ a + 7 + 8 + 5 + b = a + b + 20 chia 9dư 2 hay (a + b + 18)⁝9 .

Mà 18⁝9 ⇒ (a + b)⁝9 ⇒ (a + b) ϵ {9; 18}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18. Cho số $N=\overline{5a27b}$ .Có bao nhiêu sốN sao cho Nlà số có 5 chữ số khác nhau và N chia cho 3 thì dư 2,N chia cho 5 thì dư 1 và N chia hết cho 2.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Trả lời:

Điều kiện: a; b ϵ {0; 1; 2;.......; 9}

$N=\overline{5a27b}$ chia 5 dư 1 nên bϵ{1; 6} .

Mà N chia hết cho 2 nên b = 6 , ta được số $N=\overline{5a27b}$.

Vì N chia 3 dư 2 nên 5 + a + 2 + 7 + 6 = 20 + a chia 3 dư 2. Suy ra (18 + a)⁝3 .

Mà 18⁝3 ⇒ a⁝3 ⇒ a ϵ{0; 3; 6; 9} (do alà chữ số).

Lại có N là số có 5 chữ số khác nhau nên aϵ{0; 3; 9} .

Vậy có ba số N thỏa mãn là các số 50276; 53276; 59276

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19. Tìm các chữ số x, y biết rằng: $\overline{23x5y}$ chia hết cho 2; 5 và 9.

A. x = 0; y = 6

B. x = 6; y = 0

C. x = 8; y = 0

D. x = 0; y = 8

Trả lời:

Điều kiện: x; y ϵ {0; 1; 2;.......; 9}

Vì $\overline{23x5y}$ chia hết cho cả 2 và 5 nên y = 0 ta được số $\overline{23x50}$.

Số $\overline{23x50}$⁝9 ⇒ (2 + 3 + x + 5 + 0)⁝9 ⇒ (10 + x)⁝9 ⇒ x = 8.

Vậy x = 8; y = 0, ta có số 23850.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20. Có bao nhiêu số tự nhiên dạng $\overline{5a42b}$ chia hết cho cả 2; 5 và 3?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Trả lời:

Vì số $\overline{5a42b}$ chia hết cho cả 2; 5 nên b = 0.

Để $\overline{5a42b}$ chia hết cho 3 thì 5 + a + 4 + 2 + 0 = 11 + a chia hết cho 3.

Suy ra a ϵ {1; 4; 7}.

Vậy có ba số tự nhiên thỏa mãn là 51420; 54420; 57420.

Đáp án cần chọn là: A