Với giải sách bài tập Toán 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 6. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất

Bài 109 trang 33 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1:

a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau: 1; 5; 13; 15; 35; 53?

b) Tìm ƯCLN(27, 156).

c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó tìm các ước chung của 424, 636.

Lời giải:

a) Ta có 15 = 3.5, 105 = 3.5.7

Khi đó Ư CLN(15, 105) = 3.5 = 15

Suy ra ƯC(15, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

Vậy trong các số đã cho các số là ước chung của 15 và 105 là: 1; 5; 15.

b) Ta có: 27 = 3³, 156 = 2².3.13.

Khi đó ƯCLN(27, 156) = 3.

Vậy ƯCLN(27, 156) = 3.

c) Ta có: 106 = 2.53, 318 = 2.3.53.

Khi đó ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106.

Ta có: 424 = 106.4, 636 =2.318.

Mà ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106 nên ƯCLN(424, 636) = 2.106 = 212.

Suy ra ƯC(424, 636) = Ư(212) = {1; 2; 4; 53; 106; 212}.

Vậy ƯC(424, 636) = {1; 2; 4; 53; 106; 212}.

Bài 110 trang 33 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1:

a) Tìm tất cả các ước chung 18, 27, 30, từ đó tìm ước chung lớn nhất của chúng.

b) Tìm ước chung lớn nhất của 51, 102, 144, từ đó tìm ra ước chung của chúng.

Lời giải:

a) Ta có: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18};

Ư(27) = {1; 3; 9; 27};

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

ƯC(18, 27, 30) = {1; 3}.

Vậy ƯCLN(18, 27, 30) = 3.

b) Ta có: 51 = 3.17, 102 = 2.3.17, 144 = 2⁴.3⁴.

ƯCLN(51, 102, 144) = 3.

Suy ra ƯC(51, 102, 144) = Ư(3) = {1; 3}.

Vậy ƯC(51, 102, 144) = {1; 3}.

Bài 111 trang 33 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Một lớp học có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành các tổ sao cho số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất?

Lời giải:

Vì số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau nên số tổ sẽ là ước chung của 27 và 18.

Ta có: 27 = 3³, 18 = 2.3².

Suy ra ƯCLN(27, 18) = 3² = 9.

ƯC(27, 18) = {1; 3; 9}.

Do đó ta có ba cách chia lớp thành 1 tổ, 3 tổ và 9 tổ, ta có bảng sau:

Để số học sinh trong mỗi tổ là ít nhất thì ta chia lớp đó thành 9 tổ.

Bài 112 trang 33 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

Do số hàng dọc của mỗi khối là như nhau nên số hàng dọc sẽ là ước chung của 300, 276, 252.

Hơn nữa cần xếp nhiều nhất thành các hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng nên số hàng là ƯCLN(300, 276, 252).

Ta có 300 = 2².3.5², 276 = 2².3.23, 252 = 2².3².7.

ƯCLN(300, 276, 252) = 2².3 = 12.

Vậy có thể xếp nhiều nhất học sinh của ba khối 6, 7 và 8 thành 12 hàng.

Khi đó ở mỗi hàng:

+) Khối 6 có 300:12 = 25 học sinh.

+) Khối 7 có 276:12 = 23 học sinh.

Bài 113 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Tìm số tự nhiên a, biết:

a) 388 chia cho a thì dư 38, còn 508 chia cho a thì dư 18;

b) 1 012 và 1 178 khi chia cho a đều có số dư là 16.

Lời giải:

a) Ta có 388 chia cho a nên dư 38 nên 388 – 38 = 350 chia hết cho a (a > 38);

và 508 chia cho a thì dư 18 nên 508 – 18 = 490 chia hết cho a (a > 18).

Suy ra a là ước chung của 350 và 490.

Ta có 350 = 2.5².7, 490 = 2.5.7².

ƯCLN(350; 490) = 2.5.7 = 70.

ƯC(350, 490) = Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}.

Mà a > 38 nên a = 70.

Vậy a = 70.

b) Ta có 1 012 và 1 178 khi chia cho a đều có số dư là 16 nên 1 012 – 16 = 996, 1 178 – 16 = 1 162 chia hết cho a (a > 16).

Suy ra a là ước chung của 996 và 1 162.

Ta có: 996 = 2².3.83, 1 162 = 2.7.83.

ƯCLN(996, 1 162) = 2.83 = 166.

ƯC(996, 1 162) = Ư(166) = {1; 2; 83; 166}.

Vì a > 16 nên a ∈ {83; 166}.

Vậy a ∈ {83; 166}.

+) Khối 8 có 252:12 = 21 học sinh.

Bài 114 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:

a) n + 2 và n + 3;

b) 2n + 1 và 9n + 4.

Lời giải:

a) Đặt d = ƯCLN(n + 2, n + 3).

Suy ra n + 2 chia hết cho d, n + 3 chia hết cho d.

Ta có n + 3 = n + 2 + 1.

Mà n + 2 chia hết cho d nên 1 chia hết cho d. Do đó d = 1.

Vậy n + 2 và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

b) Đặt d = ƯCLN(2n + 1, 9n + 4).

Suy ra 2n + 1, 9n + 4 chia hết cho d. Do đó 9(2n + 1) cũng chia hết cho d

Ta có 9(2n + 1) = 18n + 9 = 2(9n + 4) + 1.

Mà 9n + 4 chia hết cho d nên 1 cũng chia hết cho d. Do đó d = 1.

Vậy 2n + 1, 9n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Bài 115 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Tìm các số tự nhiên a, b, biết:

a) a + b = 192 và ƯCLN(a, b) = 24;

b) ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6.

Lời giải:

a) Vì ƯCLN(a, b) = 24 nên a = 24p, b = 24q với p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau.

Thay a = 24p và b = 24q vào biểu thức a + b = 192 ta được:

24p + 24q = 192

24(p + q) = 192

P + q = 8.

Do p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên ta có các cặp (p; q) tương ứng là: (1; 7), (7; 1), (3; 5), (5; 3).

+) Với p = 1, q = 7 thì a = 24, b = 168;

+) Với p = 7, q = 1 thì a = 168, b = 24;

+) Với p = 3, q = 5 thì a = 72, b =120;

+) Với p = 5, q = 3 thì a = 120, b = 73.

Vậy ta có các cặp (a, b) là: (168; 24), (24; 168), (72; 120), (120; 72).

b) Vì ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6p, b = 6q với p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau.

Thay a = 6p và b = 6q vào biểu thức ab = 216 ta được:

6p.6q = 216

36pq = 216

pq = 6.

Do p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên ta có các cặp (p; q) tương ứng là: (1; 6), (6; 1), (3; 2), (2; 3).

+) Với p = 1, q = 6 thì a = 6.1 = 6, b = 6.6 = 36;

+) Với p = 6, q = 1 thì a = 6.6 = 36, b = 6.1 = 6;

+) Với p = 3, q = 2 thì a = 6.3 = 18, b = 6.2 = 12;

+) Với p = 2, q = 3 thì a = 6.2 = 12, b = 6.3 = 18.

Vậy ta có các cặp (a, b) là: (6; 36), (36; 6), (18; 12), (18; 12).

Bài 116 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).

Suy ra 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d.

Do đó 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) cũng chia hết cho d.

Khi đó, ta có: 5(7a + 3b) - 7(5a + 2b) = 35a + 15b – (35a + 14b) = b chia hết cho d.

Ta lại có 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) cũng chia hết cho d.

Khi đó, ta có: 3(5a + 2b) - 2(7a + 3b) = 15a + 6b – (14a + 6b) = a cũng chia hết cho d.

Mà a và b nguyên tố cùng nhau nên d = 1.

Vậy 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 117 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:

Lời giải:

a) Vì 24 chia hết cho 12 nên ƯCLN(12, 24) = 12.

Khi đó 

Vì 39 chia hết cho 13 nên ƯCLN(13, 39) = 13.

Khi đó 

Vì 105 chia hết cho 35 nên ƯCLN(35, 105) = 35.

Khi đó 

b) Ta có 120 = 2³.3.5, 245 = 5.7² nên ƯCLN(120, 245) = 5.

Khi đó 

Ta có: 134 = 2.67, 402 = 2.3.67 nên ƯCLN(134, 402) = 2.67 = 134.

Khi đó 

Ta có 852 chia hết cho 213 nên ƯCLN(213, 852) = 213.

Khi đó 

c) Vì 1 170 = 234.5 nên chia hết cho 234. Do đó ƯCLN(234, 1 170) = 234.

Khi đó 

Vì 3 663 = 1 221.3 nên chia hết cho 1 221. Do đó ƯCLN(1 221, 3 663) = 1 221.

Khi đó 

Vì 31 995 = 2 133.15 nên chia hết cho 2 133. Do đó ƯCLN(31 995, 2 133) = 2 133.

Bài 118 trang 34 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1: Một số học sinh nắm tay nhau xếp thành vòng tròn lớn tham gia hoạt động tập thể. Thầy An đi quanh vòng tròn và gắn cho học sinh một số thứ tự 1; 2; 3; 4; 5; … (Hình 4) và nhận thấy học sinh được gắn số 12 đối diện với học sinh được gắn số 30. Thầy tách các học sinh được gắn số từ 1 đến 12 vào nhóm 1 và từ 30 đến số cuối cùng vào nhóm 2. Thầy muốn chia các học sinh của mỗi nhóm vào các câu lạc bộ (số câu lạc bộ nhiều hơn 1) sao cho số học sinh ở từng nhóm của mỗi câu lạc bộ là như nhau.

a) Thầy An có bao nhiêu cách để chia học sinh vào các câu lạc bộ.

b) Số câu lạc bộ nhiều nhất mà thầy An có thể chia là bao nhiêu.

Lời giải:

a) Ta có học sinh được gắn số 12 đứng đối diện với học sinh được gắn số 30 nên đường thẳng nối hai số này sẽ chia số bạn trên vòng tròn thành hai phần bằng nhau. Do đó số học sinh tham gia hoạt động tập thể là: (30 – 12).2 = 36 (học sinh).

Vì thầy An tách các học sinh được gắn số từ 1 đến 12 vào nhóm 1 và từ 30 đến số cuối cùng vào nhóm 2 nên nhóm 1 có 12 học sinh, nhóm 2 có 24 học sinh.

Để chia 12 học sinh nhóm 1 và 24 học sinh nhóm 2 vào các câu lạc bộ ( số câu lạc bộ nhiều hơn 1). Số học sinh của từng nhóm của câu lạc bộ là như nhau nên số câu lạc bộ là ước chung của 12 và 24.

Ta có: 12 = 2².3, 24 = 2³.3.

ƯCLN(12, 24) = 2².3 = 12.

ƯC(12, 24) = .

Vì số câu lạc bộ phải lớn hơn 1 nên có thể chia học sinh  vào 2 câu lạc bộ, 3 câu lạc bộ, 4 câu lạc bộ và 12 câu lạc bộ.

Vậy có 5 cách chia học sinh vào các câu lạc bộ.

b) Để số câu lạc bộ nhiều nhất thì số câu lạc bộ phải là ước chung lớn nhất của 12 và 24. Khi đó có thể chia thành nhiều nhất 12 câu lạc bộ.

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất

I. Ước chung và ước chung lớn nhất 

1. Ước chung: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Ví dụ: Ta có: 

Các ước của 8 là: 1, 2, 4, 8

Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Do đó các ước chung của 8 và 12 là: 1, 2, 4.

Vậy ƯC(8, 12) = {1; 2; 4} .

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c. 

Ví dụ: Số 14 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 14, 21 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 21, 49 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 49. Vậy 7 là ước chung của ba số 14, 21, 49. 

2. Ước chung lớn nhất: Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b). 

Ví dụ: Trong các ước chung của 8 và 12 là 1, 2, 4 thì 4 là số lớn nhất nên 4 là ước chung lớn nhất của 8 và 12. Ta viết ƯCLN(8, 12) = 4.

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng. 

Ví dụ: Biết ƯCLN (a, b) = 60. Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b.

Lời giải:

Vì ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN (a, b) = 60 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

II. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(54, 90).

+ Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

54 = 2.3³

90 = 2.3².5

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.

Vậy ƯCLN (54, 90) = 2.3² = 18.

Chú ý: 

+ Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Nếu   thì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn, ƯCLN(48, 16) = 16.

III. Hai số nguyên tố cùng nhau

1. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Ví dụ: Hai số 14 và 33 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(14, 33) = 1. 

2. Phân số tối giản

+ Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: Ta có: ƯCLN(4, 9) = 1 nên phân số là phân số tối giản.  

+ Ta có thể rút gọn một phân số về phân số tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ƯCLN của chúng. 

Ví dụ: Rút gọn phân số   về phân số tối giản.

Ta có: ƯCLN(16, 20) = 4. Vậy  .