Tài liệu chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn Toán lớp 8 gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán lớp 8. 

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 8 word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn

Chủ đề 38: HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

A. PHƯƠNG PHÁP

1. Khái niệm hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều là hình có đáy là tam giác đều các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung một đỉnh. Đỉnh chung này được gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.

+ Đường cao của hình chóp tam giác đều là đoạn nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác.

+ Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên.

2. Diện tích xung quang của hình chóp tam giác đều.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Công thức: $S_{xq}=p.d$

Trong đó: + p là nửa chu vi

+ d: trung đoạn

3. Thể tích của hình chóp tam giác đều.

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng $\frac{1}{3}$ tích của diện tích đáy với chiều cao của khối chóp.

Công thức: $V=\frac{1}{3}S.h$

Trong đó:

+ S: diện tích mặt đáy

Lưu ý: Với tam giác đều cạnh bằng $\mathrm{a}$ thì độ dài đường cao là $a\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. BÀI TẬP MẪU

Bài tập mẫu 1: Tính diện tích xung quanh của các hình chóp tam giác đều ở các hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Hình 1: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều ta được: $S_{xq}=p.d$

Trong đó: $p=\frac{7+7+7}{2}=\frac{21}{2}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Thay vào ta được:

$S_{xq}=\frac{21}{2}\cdot 5=\frac{105}{2}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Hình 2: Nửa chu vi của đáy là:

$p=\frac{9+9+9}{2}=\frac{27}{2}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Trung đoạn là đường cao của tam giác đều cạnh bằng 9

Nên $h=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Nên diện tích xung quanh là: $S_{x/}=p\cdot d=\frac{27}{2}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{243\sqrt{3}}{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Bài tập mẫu 2: Tính thể tích của các hình chóp tam giác đều sau

Hướng dẫn giải

Hình 1: Diện tích đáy là : $S_{BCD}=\frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Thể tích hình chóp tam giác đều là:

$V=\frac{1}{3}\cdot 25\sqrt{3}\cdot 12=100\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$

Hình 2: Diện tích đáy là : $S_{BCD}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Thể tích hình chóp tam giác đều là:

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 42=224\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right).$

Bài tập mẫu 3: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là $4cm$, chiều cao của hình chóp là $6cm$. Tính thể tích của hình chóp là?

Hướng dẫn giải

Cạnh của tam giác đáy là 4cm

Diện tích tam giác đáy là:

$S_l=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

$V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=8\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$

Bài tập mẫu 4: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5cm và độ dài trung đoạn là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Hướng dẫn giải

Bài tập mẫu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là $100c{m}^3$; chiều cao của hình chóp là $3cm$. Tính độ dài cạnh đáy?

Hướng dẫn giải

Thể tích của hình chóp đều là: $V=\frac{1}{3}S.h$

Nên: $S_d=\frac{3V}{h}=\frac{3.100}{3}=100\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là: $S_d=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\left(c{m}^3\right)$.

Suy ra: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=100$ hay $a^2=\frac{100}{\sqrt{3}}\approx 57,74$.

Do đó: $a=\sqrt{57,74}\approx 7,6\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Vây độ dài cạnh đáy bằng: 7,6 $\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Bài tập mẫu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, $HC=2\sqrt{3}\left(cm\right)$ . Tính AB.

Hướng dẫn giải

Gọi $M$ là giao điểm của $CH$ và $AB$ ta có $CM\mathrm{\perp }AB$ và $AM=BM$.

Vì $H$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC$ nên: $CM=\frac{3}{2}CH=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Đặt $AB=BC=x$.

Ta có: $B{C}^2-M{B}^2=C{M}^2$ (định lí Pythagore cho $\mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{C}$)

Nên: $x^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=(3\sqrt{3}{)}^2$ hay $\frac{3x^2}{4}=27$.

Do đó: $x=6\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Vậy $BA=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Bài tập mẫu 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, $HC=2\sqrt{3}\left(cm\right)$ . Tính diện tích xung quanh hình chóp.

Hướng dẫn giải

Ta có: $CM=\frac{3}{2}HC=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Mà $SM=CM$ (đường cao hai tam giác đều và bằng nhau)

Nên: $SM=3\sqrt{3}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Diện tích xung quanh là:

$S_{xq}=p\cdot d=\frac{6\cdot 3}{2}\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Bài tập mẫu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, $HC=3\sqrt{3}\left(cm\right)$. Tình độ dài cạnh hình chóp.

Hướng dẫn giải

Gọi $\mathrm{M}$ là giao điểm của $\mathrm{C}\mathrm{H}$ và $\mathrm{A}\mathrm{B}$

Ta có $CM\mathrm{\perp }AB$ và $AM=BM$.

Vì $\mathrm{H}$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC$

Nên $CM=\frac{3}{2}CH=\frac{3}{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Đặt $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{x}$, ta có $B{C}^2-M{B}^2=C{M}^2$ (định lý Pytago cho $\mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{C}$)

Nên $x^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2={\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)}^2$. Từ đây ta tính được $x=9\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Vậy các cạnh của hình chóp có độ dài là 9cm.

................................

................................

................................