Với lời giải Toán 8 trang 136 Tập 2 chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 8 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD.

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì?

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

– một hình thoi?

– một hình chữ nhật?

– một hình vuông?

Lời giải:

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Ta có H là trung điểm của BO suy ra HB = HO = $\frac{1}{2}OB$;

K là trung điểm của OD nên OK = KD = $\frac{1}{2}OD$.

Mà OB = OD (O là trung điểm của BD) nên OK = OH, suy ra O là trung điểm của HK.

Tứ giác AHCK có O là trung điểm của hai đường chéo AC và HK.

Suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

+ Muốn tứ giác AHCK là hình thoi ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK vuông góc với nhau, cũng có nghĩa là hai đường chéo của hình bình hành ABCD vuông góc với nhau, vậy để tứ giác AHCK là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình thoi.

+ Muốn tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK bằng nhau, cũng có nghĩa là đường chéo AC của hình bình hành ABCD bằng nửa đường chéo BD (Do H, K lần lượt là trung điểm của OB và OD).

Vậy để tứ giác AHCK là hình chữ nhật điều kiện là: ABCD có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

+ Tứ giác AHCK là hình vuông khi nó vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật. Muốn vậy, thêm kết quả hai câu trên, tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện vừa là hình thoi và vừa có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

Bài 9 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BG và CG.

a) Chứng minh rằng tứ giác DEKI là hình bình hành.

b) Biết AF = 6 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DI và EK.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có:

CD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AB

BE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC

Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC  và $DE=\frac{1}{2}BC$ (1).

Tương tự, có IK là đường trung bình của tam giác GBC.

Suy ra IK // BC  và $IK=\frac{1}{2}BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra DE // IK  và DE = IK.

Vậy DEKI là hình bình hành.

b) Có điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AF =$\frac{2}{3}.6$ = 4 cm.

Lại có E và K lần lượt là trung điểm của AC và CG nên EK là đường trung bình của tam giác CAG, do đó EK = $\frac{1}{2}$AG = $\frac{1}{2}.4$ = 2 cm.

Vì DEKI là hình bình hành nên DI = EK = 2 cm.

Bài 10 trang 136 Toán 8 Tập 2: Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1 cm) của số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thước AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1 cm.

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khi đó trên thước ta đọc đường “bề dày” d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5 mm). Hãy giải thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm).

Lời giải:

Kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước như cách sử dụng, ta gọi B'C' là đoạn ứng với bề dày d cần đo của vật (nghĩa là d = B'C'). Dễ thấy B'C' // BC vì cùng vuông góc với AC. Do đó, ∆AB'C' ∽ ∆ABC, suy ra $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{AC\text{'}}{AC}$.

Vì BC = 1 cm, AC = 10 cm nên $B\text{'}C\text{'}=\frac{AC\text{'}}{10}$.

Vậy bề dày d của vật đúng bằng $\frac{1}{10}$ độ dài (cm) của đoạn AC'. Do đó, chẳng hạn trên thước đo, AC' = 5,5 cm thì có nghĩa là $d=\frac{\mathrm{5,5}}{10}=\mathrm{0,55}$ cm = 5,5 mm.

Bài 11 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I.

a) Chứng minh ΔBIC ∽ ΔEIF.

b) Chứng minh FB² = FI ∙ FC.

c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF.

Lời giải:

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên ta có $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}$ (1).

Tương tự với đường phân giác CF ta có $\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$  (2).

Do tam giác ABC cân tại A nên BA = AC, kết hợp với (1) và (2) suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{FA}{FB}$

Do đó, theo định lí Thalès đảo ta có EF // BC. Suy ra ∆BIC ∽ ∆EIF.

b) Ta có $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (do BE là đường phân giác của góc B)

$\widehat{BCF}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (do CF là đường phân giác của góc C)

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, $\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$.

Hai tam giác BFI và CFB có góc F chung và $\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BFI ∽ ∆CFB (g.g).

Suy ra $\frac{FB}{FC}=\frac{FI}{FB}\Rightarrow F{B}^2=FI\cdot FC$ (đpcm).

c) Theo câu a) ta có $\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ hay $\frac{FB}{FA}=\frac{BC}{BA}$.

Ta có EF // BC (chứng minh trên), do đó

$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AF}\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{\left(AF+FB\right)}{AF}$$=1+\frac{FB}{FA}=1+\frac{BC}{BA}=1+\frac{3}{6}=\frac{3}{2}$.

Từ đó ta có $\frac{3}{FE}=\frac{3}{2}\Rightarrow FE=2$ cm.