Câu 1. Tính giá trị của biểu thức $M=\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức $\sin a-\sin b=2.\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}.$

Ta có

$2\sin \frac{\pi }{7}.M=2.\cos \frac{2\pi }{7}.\sin \frac{\pi }{7}+2.\cos \frac{4\pi }{7}.\sin \frac{\pi }{7}+2.\cos \frac{6\pi }{7}.\sin \frac{\pi }{7}$

$=\sin \frac{3\pi }{7}-\sin \frac{\pi }{7}+\sin \frac{5\pi }{7}-\sin \frac{3\pi }{7}+\sin \frac{7\pi }{7}-\sin \frac{5\pi }{7}$$=-\sin \frac{\pi }{7}+\sin \pi =-\sin \frac{\pi }{7}.$ 

Vậy giá trị biểu thức $M=-\frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: C

Vì hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. 

Đáp án đúng là: A

Ta có $-1\le \sin x\le 1\to -3\le 3\sin x\le 3\to -5\le 3\sin x-2\le 1$

$\to -5\le y\le 1 \to \left\{\begin{array}{l}M=1\\ m=-5\end{array}\right..$

Đáp án đúng là: D

Ta có $-1\le \sin x\le 1\to -3\le \sin x-2\le -1,\forall x\in ℝ.$

Do đó không tồn tại căn bậc hai của $\sin x-2.$

Vậy tập xác định $D=\varnothing .$

Đáp án đúng là: A

${\cos }^{2}x=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6. Với mọi số thực $\alpha$, ta có $\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)$ bằng

A.$-\sin \alpha .$   

B. $\cos \alpha .$   

C. $\sin \alpha$.

D. $-\cos \alpha .$

Câu 7. Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo $45°$. Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung lượng giác AN bằng

A. $-45°$.   

B. $315°$.                      

C. $45°$ hoặc $315°$.  

D. $-45°+k360°,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 8. Đơn giản biểu thức $A=\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+\sin (\alpha -\pi )$, ta được

A. $A=\cos \alpha +\sin \alpha .$   

B. $A=2\sin \alpha .$

C. $A=\sin \alpha \cos \alpha .$   

D. $A=0.$

Câu 9. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \left(2018a\right)=2018\sin a.\cos a.$

B. $\sin \left(2018a\right)=2018\sin \left(1009a\right).\cos \left(1009a\right).$

C. $\sin \left(2018a\right)=2\sin a\cos a.$

D. $\sin \left(2018a\right)=2\sin \left(1009a\right).\cos \left(1009a\right).$

Câu 10. Cho $0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}$ và thỏa mãn $\tan \alpha =\frac{1}{7}$, $\tan \beta =\frac{3}{4}$. Góc $\alpha +\beta$ có giá trị bằng

A. $\frac{\pi }{3}$.   

B. $\frac{\pi }{4}$ .   

C. $\frac{\pi }{6}$ . 

D. $\frac{\pi }{2}$.

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Đáp án đúng là: B

Ta có $x\in \left[0;2\pi \right]$ $\Rightarrow \sin x\in \left[-1;1\right]$

Khi đó: $\cos \left(\sin x\right)=1\iff \sin x=k2\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$với $-1\le k2\pi \le 1\iff k=0.$

Phương trình trở thành $\sin x=0\iff x=m\pi \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pi \end{array}\right.\left(m\in \mathbb{Z}\right).$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos \left(\sin x\right)=1$ trên $\left[0;2\pi \right]$ bằng $\pi$.