Câu 1. Rút gọn biểu thức $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°={\left({\cos }^{2}15°\right)}^2-{\left({\sin }^{2}15°\right)}^2$

$=\left({\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°\right)\left({\cos }^{2}15°+{\sin }^{2}15°\right)$

$={\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°=\cos \left(2.15°\right)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\left\{\begin{array}{l}\sin a.\cos b-\cos a.\sin b=\sin \left(a-b\right)\\ \cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)\end{array}\right..$

Khi đó $\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}=\sin \left(\frac{5\pi }{18}-\frac{\pi }{9}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$

Và $\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

Vậy $P=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)$, ta được

$\sin 2x.\sin 3x=\cos 2x.\cos 3x\iff \cos 2x.\cos 3x-\sin 2x.\sin 3x=0$

$\iff \cos 5x=0\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\frac{\sin B}{\sin C}=2\cos A\Rightarrow \sin B=2\sin C.\cos A.=\sin \left(C+A\right)+\sin \left(C-A\right)$

Mặt khác

$A+B+C=\pi \Rightarrow B=\pi -\left(A+C\right)\Rightarrow \sin B=\sin \left(A+C\right)$.

Do đó, ta được $\sin \left(C-A\right)=0\Rightarrow A=C$

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha >0\\ \cos \alpha <0\end{array}\right.$nên $\sin \alpha -\cos \alpha >0$

Ta có ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=1-\sin 2\alpha =1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$.

Suy ra $\sin \alpha -\cos \alpha =\pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Do $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ nên $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}$. Vậy $P=\frac{3}{\sqrt{5}}.$

Câu 6: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\cos 6a={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a.$                  B. $\cos 6a=1-2{\sin }^{2}3a.$

C. $\cos 6a=1-6{\sin }^{2}a.$                          D. $\cos 6a=2{\cos }^{2}3a-1.$

Câu 7. Nếu $\tan \left(a+b\right)=7,\tan \left(a-b\right)=4$ thì giá trị đúng của $\tan 2a$ là

A. $-\frac{11}{27}.$                    B. $\frac{11}{27}$                 C. $-\frac{13}{27}.$                D. $\frac{13}{27}$

Câu 8. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\cot a+\cot b=\frac{\sin \left(b-a\right)}{\sin a.\sin b}.$                 B. <${\cos }^{2}a=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2a\right).$

C. $\sin \left(a+b\right)=\frac{1}{2}\sin 2\left(a+b\right).$                D. $\tan \left(a+b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}.$

Câu 9. Rút gọn $M=\sin \left(x-y\right)\cos y+\cos \left(x-y\right)\sin y.$

A. $M=\cos x.$                                                     B. $M=\sin x.$

C. $M=\sin x\cos 2y.$                                            D. $M=\cos x\cos 2y.$

Câu 10. Giá trị của biểu thức $\cos \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{5}+\sin \frac{\pi }{30}\sin \frac{\pi }{5}$ là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$              B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$             C. $\frac{\sqrt{3}}{4}.$             D. $\frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$, ta có

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sin x=2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\sin \frac{\pi }{6}=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$

Ta có $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1\iff -1\le P\le 1\stackrel{P\in \mathbb{Z}}{\to }P\in \left(-1;0;1\right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có

$A=\frac{si{n}^{2}2\alpha +4si{n}^4\alpha -4{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }{4-{\sin }^{2}2\alpha -4{\sin }^2\alpha }=\frac{4si{n}^4\alpha }{4(1-{\sin }^2\alpha )-4{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{si{n}^4\alpha }{{\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}=\frac{si{n}^4\alpha }{{\cos }^4\alpha }={\tan }^{4}a.$

Do đó giá trị của biểu thức A tại $\alpha =\frac{\pi }{6}$ là ${\tan }^4\left(\frac{\pi }{6}\right)={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^4=\frac{1}{9}$.