Với lời giải Toán 11 trang 52 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Cấp số cộng sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 2 trang 52 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u₁ và công sai d.

a) u_n = 3 – 2n;

b) u_n = $\frac{3n+7}{5}$ ;

c) u_n = 3ⁿ.

Lời giải:

a) Ta có: u_n+1 = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n

Suy ra u_n+1 – u_n = 1 – 2n – 3 + 3n = – 2.

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = – 2.

b) Ta có: u_n+1 = $\frac{3\left(n+1\right)+7}{5}=\frac{3n+10}{5}$

Xét hiệu u_n+1 – u_n = $\frac{3n+10}{5}-\frac{3n+7}{5}=\frac{3}{5}$

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁=2 và công sai d=$\frac{3}{5}$ .

c) Ta có: u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3.3ⁿ

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 3.3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ với n ∈ ℕ*

Vì vậy đây không là một cấp số cộng.

Bài 3 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 3, công sai d = 5.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Lời giải:

a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là: u₁ = – 3 + (n – 1).5 = 5n – 8.

b) Xét u_n = 492

⇔ 5n – 8 = 492

⇔ n = 100.

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét u_n = 300

⇔ 5n – 8 = 300

⇔ n = 61,6 ∉ ℕ*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300.

Bài 4 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 4, u₂ = 1. Tính u₁₀.

Lời giải:

Công sai của cấp số cộng (u_n) là d = u₂ – u₁ = 1 – 4 = – 3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n – 1).d = 4 + (n – 1).(– 3)

Suy ra u₁₀ = 4 + (10 – 1).(– 3) = 31.

Bài 5 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = $\frac{1}{3}$ và u₁ + u₂ + u₃ = – 1.

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u­_n.

b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Lời giải:

a) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = – 1

⇒ u₁ + u₁ + d + u₁ + 2d = – 1

⇒ 3u₁ + 3d = – 1

Mà u₁ = $\frac{1}{3}$ nên d = -$\frac{2}{3}$

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(n-1\right)=-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét u_n = $-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$= -67

$\iff -\frac{2}{3}n=\frac{-202}{3}$

$\iff$ n = 101

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét u_n = 7

$\iff -\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}=7$

$\iff -\frac{2}{3}n=\frac{20}{3}$

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.

Bài 6 trang 52 Toán 11 Tập 1: Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (u_n) với u_n = 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1.

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = 0,3.(n + 1) + 5 = 0,3n + 5,3

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 0,3n + 5,3 – 0,3n – 5 = 0,3.

Do đó (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 5,3 và công sai d = 0,3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng u_n là: u_n = 5,3 + (n – 1).0,3

Suy ra u₁₀₀ = 5,3 + (100 – 1).0,3 = 35.

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: S₁₀₀=$\frac{100\left(5,3+35\right)}{2}$= 2 015.

Bài 7 trang 52 Toán 11 Tập 1: Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:

x_n = 75 + 5(n – 1).

(Nguồn: https://bibabo.vn)

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?

b) Dãy số (x_n) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Lời giải:

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x₃ = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm).

b) Ta có: x_n+1 = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu x_n+1 – x_n = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (x_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu x₁ = 75 và công sai d = 5

Bài 8 trang 52 Toán 11 Tập 1: Khi kí kết hợp đồng lao động đối với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm, tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Lời giải:

+) Theo phương án 1: Gọi (u_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (u_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (v_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (v_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v_n = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₃ = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

$S_3=\frac{3.\left(120+156\right)}{2}$= 414 (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₁₂ = 24 + (12 – 1).1,8 = 43,8.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

$S_{12}=\frac{12.\left(24+43,8\right)}{2}$= 406,8 (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₁₀ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

$S_{10}=\frac{10.\left(120+282\right)}{2}$= 2010 (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₄₀ = 24 + (40 – 1).1,8 = 94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

$S_{12}=\frac{40.\left(24+94,2\right)}{2}$= 2 364 (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2.