Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 8 Hằng đẳng thức đáng nhớ, được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 8. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 8 Hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Bài tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1. Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) 2x + 1 = x + 5;                                       

b) x(x + 1) =x² + x;

c) 4a(a – 1) = 4a² – 4a;                               

d) 2a + b = 2b + a.

Hướng dẫn giải

a) Đẳng thức 2x + 1 = x + 5 không là hằng đẳng thức vì khi ta thay x = 2 thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

b) Đẳng thức x(x + 1) =x² + x là hằng đẳng thức.

c) Đẳng thức 4a(a – 1) = 4a² – 4a là hằng đẳng thức.

d) Đẳng thức 2a + b = 2b + a không là hằng đẳng thức vì khi ta thay a = 1, b = 5 thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

Bài 2. Thay dấu ? bằng biểu thức thích hợp.

a) (2x – y)(2x + y) = ? – y²;

b) (x + 5y)(x – 5y) = x² – ? y²;

c) x² + ? xy + 4y² = (x + 2y)²;

d) (? + 3)² = 4x² + ? + 9.

Hướng dẫn giải

a) (2x – y )( 2x + y) = (2x)² – y² = 4x² – y²;

b) (x + 5y)(x – 5y) = x² – (5y)² = x² – 25y²;

c) x² + 4xy + 4y² = x² + 2 . x . 2y + (2y)² = (x + 2y)²;

d) (2x + 3)² = (2x)² + 2 . 2x . 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

Bài 3. Rút gọn biểu thức sau:

a) (2x – 1)² – (2x + 1)²;                              

b) (3x + 2y)² + (2x – 3y)².

Hướng dẫn giải

a) (2x – 1)² – (2x + 1)²

= [(2x – 1) – (2x + 1)][(2x – 1) + (2x + 1)]

= –2.4x

= –8x.

b) (3x + 2y)² + (2x – 3y)²

= (3x)² + 2.3x.2y + (2y)² + (2x)² – 2.2x.3y + (3y)²

= 9x² + 12xy + 4y² + 4x² –12xy + 9y²

= 13x² + 13y².

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có:

(n + 2)² – n² chia hết cho 4.

Hướng dẫn giải

Ta có: (n + 2)² – n² = n² + 4n + 4 – n² = 4n + 4 = 4(n + 1)

Vì 4 ⁝ 4 suy ra 4(n + 1) ⁝ 4 với mọi số tự nhiên n.

Vậy (n + 2)² – n² chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n.

Bài 5. Khai triển:

a) (x + y²)³;                                                 

b)(${\left(x-\frac{1}{2}\mathrm{y)}\right)}^3.$

Hướng dẫn giải

a) (x + y²)³ = x³ + 3x²y² + 3xy⁴ + y⁶;

b) 

Bài 6. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) 125 + 150x + 60x² + 8x³;

b) 64x³ – 48x² + 12x – 1.

Hướng dẫn giải

a) 125 + 150x + 60x² + 8x³ = 5³ + 3.2x.5² + 3.(2x)².5 + (2x)³ = (5 + 2x)³

b) 64x³ – 48x² + 12x – 1 = (4x)³ – 3.(4x)².1 + 3.4x.(–1)² – (1)³ = (4x – 1)³.

Bài 7. Tính nhanh giá trị biểu thức:

a) 125 + 75x + 15x² + x³ tại x = 5;

b) x³ – 9x² + 27x – 27 tại x = 7.

Hướng dẫn giải

a) 125 + 75x + 15x² + x³ = (5 + x)³

Thay x = 5, ta được (5 + 5)³ = 10³ = 1000.

b) x³ – 9x² + 27x – 27 = (x – 3)³

Thay x = 7, ta được (7 – 3)³ = 4³ = 64.

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – y)³ + (x + y)³;                                  

b) (3x + 4)³ + (3x – 4)³.

Hướng dẫn giải

a) (x – y)³ + (x + y)³

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + x³ + 3x²y + 3xy² + y³

= 2x³ + 6xy²;

b) (3x + 4)³ + (3x – 4)³

= 27x³ + 108x² + 144x + 64 + 27x³ – 108x² + 144x – 64

= 54x³ + 288x.

Bài 9. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²);                              

b) (5 – x)(25 + 5x + x²).

Hướng dẫn giải

a) (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²)

= (2x)³ + (3y)³

= 8x³ + 27y³;                                    

b) (5 – x)(25 + 5x + x²)

= 5³ – x³.

Bài 10. Thay ? bằng biểu thức thích hợp.

a) 27x³ + 343 = (3x + 7)(9x² – ? + 49);

b) 729 – 8x³ = (? + 18x + 4x²)(? – 2x).

Hướng dẫn giải

a) 27x³ + 343 = (3x + 7)(9x² – 21x + 49);

b) 729 – 8x³ = (81 + 18x + 4x²)(9 – 2x).

Bài 11. Rút gọn biểu thức sau:

(2x – 5)(4x² + 10x + 25) + (2x + 5)(4x² – 10x + 25).

Hướng dẫn giải

(2x – 5)(4x² + 10x + 25) + (2x + 5)(4x² – 10x + 25)

= 8x³ – 125 + 8x³ + 125

= 16x³.

Bài 12.Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 7y)²;

b) (x – 5y)²;

c) (x – 3y)(x + 3y);

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²);

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2);

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²);

g) (–x + y)³;

h) (–x – xy)³.

Hướng dẫn giải

a) (3x + 7y)²

= (3x)² + 2 . 3x . 7y + (7y)²

= 9x² + 42xy + 49y²;

b) (x – 5y)²

= x² – 2 . x . 5 y + (5y)²

= x² – 10xy + 25y²;

c) (x – 3y)(x + 3y)

= x² – (3y)²

= x² – 9y².

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²)

= (2a – b)[(2a)² + 2a . b + b²]

= (2a – b)³;

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2)

= [(a – 2)(a + 2)](a² + 4)

= (a² – 4)(a² + 4)

= (a²)² – 4²

= a⁴ – 16;

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²)

= (a + 5b)[a² + a . 5b + (5b)²]

= (a + 5b)³.

g) (–x + y)³

= (–x)³ + 3.(–x)²y + 3(–x).y² + y³

= –x³ + 3x²y – 3xy² + y³.

h) (–x – xy)³

= (–x)³ – 3.(–x)²xy + 3.(–x).(xy)² – (xy)³

= –x³ – 3x³y – 3x³y² – x³y³.

Bài 13.Viết các biểu thức sau thành bình phương hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) 9x² + 6x + 1;

b) $\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2$

c) x³ – 3x² + 3x – 1;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³.

Hướng dẫn giải

a) 9x² + 6x + 1

= (3x)² + 2 . 3x . 1 + 1²

= (3x + 1)²;

c) x³ – 3x² + 3x – 1

= (x – 1)³;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³

= x³ + 3.x².3y + 3.x.(3y)² + (3y)³

= (x + 3y)³.

Bài 14.Tính nhanh:

a) 98²;

b) 45 . 55;

c) 67² – 33².

Hướng dẫn giải

a) 98²

= (100 – 2)²

= 100² – 2 . 100 . 2 + 2²

= 10 000 – 400 + 4

= 9 604;

b) 45 . 55

= (50 – 5)(50 + 5)

= 50² – 5²

= 2 500 – 25

= 2 475;

c) 67² – 33²

= (67 – 33)(67 + 33)

= 34 . 100

= 3 400.

Bài 15.Cho x + y = 3, xy = 10. Tính:

a) A = x³ + y³;

b) B = (x – y)².

Hướng dẫn giải

a) A = x³ + y³

= (x + y)(x² – xy + y²)

= (x + y)(x² + 2xy + y² – 3xy)

= (x + y)[(x + y)² – 3xy]

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức A ta có

A = 3 . (3² – 3 . 10) = 3 . (9 – 30) = 3 . (–21) = –63.

b) B = (x – y)²

= x² – 2xy + y²

= x² + 2xy + y² – 4xy

= (x + y)² – 4xy

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức B ta có

B = 3² – 4 . 10 = 9 – 40 = –31.

Bài 16.Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 cm. Thể tích hình lập phương sẽ tăng bao nhiêu nếu các cạnh đều tăng a cm?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là

V = 3 . 3 . 3 = 27 (cm³)

Khi các cạnh đều tăng thêm a cm thì độ dài các cạnh của hình lập phương là3 + a (cm)

Thể tích hình lập phương mới là

V = (3 + a)(3 + a)(3 + a)

= (3 + a)³

= 3³ + 3 . 3² . a + 3 . 3 . a² + a³

= a³ + 9a² + 27a + 27 (cm³)

Thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm là

a³ + 9a² + 27a + 27 – 27 = a³ + 9a² + 27a (cm³)

Vậy thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm a³ + 9a² + 27a cm³.

Bài 17. Viết mỗi biểu thức sau về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x² + 4x + 1;

b) y² – 6y + 9.

Hướng dẫn giải

a) 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2. 2x . 1 + 1²

= (2x + 1)²

b) y² – 6y + 9 = y² – 2 . y . 3 + 3² = (y – 3)²

Bài 18. Viết18ỗi biểu thức sau về dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) b³ + 12b² + 48b + 64;

b) x³ – 9x² + 27x – 27.

Hướng dẫn giải

a) b³ + 12b² + 48b + 64

= b³ + 3 . b² . 4 + 3 . b . 4² + 4³

= (b + 4)³.

b) x³ – 9x² + 27x – 27

= x³ – 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² – 3³

= (x – 3)³.

Bài 19. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

A = (3x – 1)² +  (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1).

Hướng dẫn giải

A = (3x – 1)² +  (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

= 9x² – 6x + 1 + 9x² + 6x + 1 – 2 . [(3x)² – 1²]

= 18x² + 2 – 2 . (9x² – 1)

= 18x² + 2 – 18x² – 2 = 0.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x (đpcm).

• A.
  ${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$.
• B.
  ${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B-3A{B}^2-B^3$.
• C.
  ${\left(A+B\right)}^3=A^3+B^3$.
• D.
  ${\left(A-B\right)}^3=A^3-B^3$.

Đáp án : A

• A.
  ${\left(x+1\right)}^3$.
• B.
  ${\left(x+3\right)}^3$.
• C.
  ${\left(x-1\right)}^3$.
• D.
  ${\left(x-3\right)}^3$.

Đáp án : A

• A.
  $x^3-6x^2+12x-8$.
• B.
  $x^3+6x^2+12x+8$.
• C.
  $x^3-6x^2-12x-8$.
• D.
  $x^3+6x^2-12x+8$.

Đáp án : A

B. Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị nhưu nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói  P = Q là một đồng nhất thức hay một hằng đẳng thức

Ví dụ: Đẳng thức 3(x + y) = 3x + 3y là một hằng đẳng thức

2. Hằng đẳng thức đáng nhớ

2.1. Bình phương của một tổng, hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A – B)² = A² – 2AB + B²

Ví dụ:

• (x + 2)² = x² + 2 . x . 2 + 2² = x² + 4x + 4;

• (x – 2)² = x² – 2 . x . 2 + 2² = x² – 4x + 4.

2.2. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

A² – B² = (A – B)(A + B)

Ví dụ: x² – 36 = ( x – 6)(x + 6)

2.3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A – B)² = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

Ví dụ:

(x + 1)³ = x³ + 3 . x² . 1 + 3 . x . 1² + 1³

= x³ + 3x²  + 3x + 1

(x – 2)³ = x³ – 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² – 2³

= x³ – 6x²  + 12x – 8

2.4. Tổng, hiệu hai lập phương

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²);

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²).

Ví dụ:

• 8 + x³ = 2³ + x³ = (2 + x)(2² – 2 . x + x²)

= (2 + x)(4 – 2x + x²).

• 8x³ – y³ = (2x)³ – y³ = (2x – y)[(2x)² + 2x . y + y²]

= (2x – y)(4x² + 2xy + y²).