20 Bài tập Hình lăng trụ và hình hộp (sách mới) có đáp án – Toán 11

Tóm tắt lý thuyết hình lăng trụ và hình hộp

1. Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P′). Lấy đa giác A₁A₂…A_n trong (P), rồi tịnh tiến từng đỉnh theo cùng một vectơ để được A₁′A₂′…A_n′ trong (P′). Hình tạo bởi hai đa giác này và n hình bình hành nối chúng là hình lăng trụ A₁A₂…A_n.A₁′A₂′…A_n′.

• Hai mặt đáy: hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
• Mặt bên: các hình bình hành A₁A₂A₂′A₁′, …; cạnh bên: A₁A₁′, A₂A₂′, … đôi một song song và bằng nhau.
• Tên gọi theo đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác… Lăng trụ n-giác có n + 2 mặt, 3n cạnh, 2n đỉnh.

2. Hình hộp

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Với hình hộp ABCD.A′B′C′D′:

• Cả 6 mặt đều là hình bình hành; hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện và chúng nằm trên hai mặt phẳng song song. Vì vậy, có thể chọn bất kì cặp mặt đối diện nào làm hai đáy.
• Hai đỉnh đối diện là hai đỉnh không cùng thuộc một mặt (như A và C′); đoạn nối chúng là đường chéo. Hình hộp có 4 đường chéo AC′, BD′, CA′, DB′, cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (O là tâm của hình hộp).
• Hai cạnh đối diện là hai cạnh song song không cùng nằm trong một mặt (như AB và C′D′).
• Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật; hình lập phương có 6 mặt là hình vuông. Đường chéo hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c bằng √(a² + b² + c²).

Phương pháp giải các dạng bài thường gặp

Dạng bài	Công cụ chính
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng	Chỉ ra đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (thường là cạnh của mặt bên, mặt đáy hoặc đường trung bình).
Chứng minh hai mặt phẳng song song	Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. Trong hình hộp, dùng các hình bình hành chéo như A′BCD′, ABC′D′.
Tìm giao tuyến	Tìm hai điểm chung; hoặc một điểm chung và phương song song (nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song, hay cùng cắt hai mặt phẳng song song).
Tìm giao điểm đường thẳng – mặt phẳng	Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng, tìm giao tuyến với mặt phẳng đã cho, rồi lấy giao điểm.
Thiết diện	Dùng tính chất: một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện (song song) theo hai giao tuyến song song.

Bài tập tự luận có lời giải (Bài 1–14)

Dạng 1. Nhận biết các yếu tố

Bài 1. Một hình lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt, bao nhiêu cạnh, bao nhiêu đỉnh?

Lời giải. Với n = 5: số mặt n + 2 = 7 (5 mặt bên, 2 đáy); số cạnh 3n = 15 (10 cạnh đáy, 5 cạnh bên); số đỉnh 2n = 10.

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chỉ ra mặt đối diện với mặt (ABB′A′), cạnh đối diện với cạnh AB, đỉnh đối diện với A, và liệt kê các đường chéo.

Lời giải. Mặt đối diện với (ABB′A′) là (DCC′D′) vì hai mặt không có đỉnh chung. Cạnh đối diện với AB là C′D′ (song song với AB nhưng không cùng mặt). Đỉnh đối diện với A là C′. Bốn đường chéo: AC′, BD′, CA′, DB′.

Dạng 2. Chứng minh quan hệ song song

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA′, BB′, CC′. Chứng minh (MNP) // (ABC).

Lời giải. ABB′A′ là hình bình hành, M, N là trung điểm hai cạnh đối AA′, BB′ nên ABNM là hình bình hành, suy ra MN // AB. Tương tự NP // BC. Hai đường thẳng MN, NP cắt nhau tại N, nằm trong (MNP) và cùng song song với (ABC). Vậy (MNP) // (ABC).

Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh (A′BD) // (CB′D′).

Lời giải. Vì BB′ // DD′ và BB′ = DD′ nên BDD′B′ là hình bình hành, suy ra BD // B′D′. Vì A′D′ // BC và A′D′ = BC (cùng song song và bằng AD) nên A′BCD′ là hình bình hành, suy ra A′B // D′C. Mặt phẳng (A′BD) chứa hai đường thẳng cắt nhau BD và A′B, lần lượt song song với B′D′ và D′C nằm trong (CB′D′). Vậy (A′BD) // (CB′D′).

Bài 5. Chứng minh bốn đường chéo của hình hộp ABCD.A′B′C′D′ cùng đi qua một điểm.

Lời giải. AA′ // CC′ và AA′ = CC′ nên ACC′A′ là hình bình hành; hai đường chéo AC′ và A′C cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Tương tự, AB // D′C′ và AB = D′C′ nên ABC′D′ là hình bình hành, do đó BD′ đi qua trung điểm O của AC′. Lập luận tương tự với hình bình hành BDD′B′… ta được DB′ cũng đi qua trung điểm của BD′, tức là O. Vậy bốn đường chéo đồng quy tại O.

Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi I, I′ lần lượt là trung điểm của BC và B′C′. Chứng minh AII′A′ là hình bình hành và II′ // (ABB′A′).

Lời giải. Trong hình bình hành BCC′B′, I và I′ là trung điểm hai cạnh đối nên II′ // BB′ và II′ = BB′. Mà BB′ // AA′ và BB′ = AA′, suy ra II′ // AA′ và II′ = AA′. Do đó AII′A′ là hình bình hành. Vì II′ // BB′ với BB′ ⊂ (ABB′A′) và II′ không nằm trong mặt phẳng này nên II′ // (ABB′A′).

Dạng 3. Giao tuyến và giao điểm

Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, O = AC ∩ BD, O′ = A′C′ ∩ B′D′. Tìm giao tuyến của (ACC′A′) và (BDD′B′), chứng minh giao tuyến đó song song với AA′.

Lời giải. O thuộc AC và BD nên O là điểm chung của hai mặt phẳng; tương tự O′ là điểm chung. Vậy giao tuyến là OO′. Hai mặt phẳng lần lượt chứa AA′ và BB′ song song với nhau, nên giao tuyến OO′ song song với AA′ (và BB′).

Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Tìm giao điểm G của đường thẳng A′C với mặt phẳng (AB′D′) và tính tỉ số A′G : A′C.

Lời giải. Gọi O′ là tâm hình bình hành A′B′C′D′; O′ ∈ B′D′ nên AO′ ⊂ (AB′D′). Chọn mặt phẳng phụ (ACC′A′) chứa A′C; mặt phẳng này cắt (AB′D′) theo AO′. Trong (ACC′A′), gọi G = A′C ∩ AO′, thì G là giao điểm cần tìm. Vì A′O′ // AC và A′O′ = AC/2, theo định lí Thales: GA′/GC = GO′/GA = A′O′/AC = 1/2. Do đó A′G = A′C/3 và AG = 2/3·AO′. Vì AO′ là trung tuyến của tam giác AB′D′ nên G chính là trọng tâm tam giác AB′D′.

Bài 9. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (A′BC).

Lời giải. Gọi I = AB′ ∩ A′B (tâm hình bình hành ABB′A′) và J = AC′ ∩ A′C (tâm hình bình hành ACC′A′). I và J đều thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến là IJ. Thêm nữa, I, J là trung điểm của AB′, AC′ nên IJ là đường trung bình của tam giác AB′C′, suy ra IJ // B′C′ // BC.

Bài 10. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Tìm giao tuyến của (AB′C′) với (ABC).

Lời giải. A là điểm chung. B′C′ // BC nên B′C′ // (ABC). Mặt phẳng (AB′C′) chứa B′C′ nên cắt (ABC) theo giao tuyến d đi qua A và song song với BC.

Dạng 4. Thiết diện

Bài 11. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, M là trung điểm AB. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (α) qua M và song song với (ACC′A′).

Lời giải. (α) // (ACC′A′) nên (α) cắt (ABC) theo đường qua M song song với AC; đường này cắt BC tại N là trung điểm BC. Tương tự, (α) cắt (ABB′A′) theo MM′ // AA′ với M′ là trung điểm A′B′, và cắt (A′B′C′) theo M′N′ // A′C′ với N′ là trung điểm B′C′. Thiết diện là tứ giác MNN′M′; vì MM′ // NN′ và MM′ = NN′ (cùng bằng AA′) nên đó là hình bình hành.

Bài 12. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, M là trung điểm BB′. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (AMD′).

Lời giải. Mặt phẳng cắt mặt (ADD′A′) theo AD′. Vì (ADD′A′) // (BCC′B′) nên giao tuyến với (BCC′B′) là đường qua M song song với AD′. Mà AD′ // BC′ (ABC′D′ là hình bình hành), nên đường qua M song song với BC′ cắt B′C′ tại trung điểm N của B′C′ (đường trung bình của tam giác BB′C′). Thiết diện là tứ giác AMND′ có MN // AD′ và MN = AD′/2, tức là một hình thang.

Dạng 5. Tính toán

Bài 13. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3 cm, 4 cm, 12 cm. Tính độ dài đường chéo.

Lời giải. d = √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 (cm).

Bài 14. Với hình lập phương cạnh 2 trong Bài 12, tính chu vi và diện tích thiết diện AMND′.

Lời giải. AD′ = 2√2, MN = √2; AM = √(2² + 1²) = √5 và D′N = √(2² + 1²) = √5. Chu vi = 3√2 + 2√5 ≈ 8,71. Hình thang cân có chiều cao h = √(AM² − ((AD′ − MN)/2)²) = √(5 − 1/2) = 3/√2. Diện tích S = (2√2 + √2)/2 · 3/√2 = 9/2 = 4,5.

Bài tập trắc nghiệm có đáp án (Bài 15–20)

Bài 15. Hình lăng trụ lục giác có bao nhiêu mặt?

• A. 6
• B. 7
• C. 8
• D. 12

Đáp án C. 6 mặt bên và 2 mặt đáy: 6 + 2 = 8.

Bài 16. Mệnh đề nào sau đây sai đối với mọi hình hộp?

• A. Các mặt đều là hình bình hành.
• B. Bốn đường chéo cắt nhau tại một điểm.
• C. Các cạnh bên bằng nhau.
• D. Hai mặt bên kề nhau luôn vuông góc.

Đáp án D. Chỉ hình hộp chữ nhật (hoặc hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật) mới có các mặt kề nhau vuông góc; hình hộp xiên thì không.

Bài 17. Một hình lăng trụ có 30 cạnh. Số đỉnh của nó là

• A. 10
• B. 12
• C. 20
• D. 30

Đáp án C. 3n = 30 ⇒ n = 10, số đỉnh 2n = 20.

Bài 18. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Mặt phẳng (AB′D′) song song với mặt phẳng nào?

• A. (A′BD)
• B. (C′BD)
• C. (ACC′)
• D. (A′B′C)

Đáp án B. AB′ // DC′ (hình bình hành AB′C′D) và AD′ // BC′ (hình bình hành ABC′D′), nên (AB′D′) // (C′BD).

Bài 19. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng A′C cắt (AB′D′) tại G. Tỉ số A′G : A′C bằng

• A. 1/2
• B. 1/3
• C. 2/3
• D. 1/4

Đáp án B (xem lời giải Bài 8).

Bài 20. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Giao tuyến của (AB′C′) và (ABC) song song với đường thẳng nào?

• A. AB
• B. AC
• C. BC
• D. AA′

Đáp án C (xem lời giải Bài 10).

Lỗi thường gặp khi làm bài hình lăng trụ, hình hộp

• Nhầm hình hộp với hình hộp chữ nhật. Hình hộp chỉ chắc chắn có các mặt là hình bình hành; không được dùng góc vuông hay định lí Pythagore nếu đề không cho hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
• Chứng minh hai mặt phẳng song song chỉ bằng một cặp đường thẳng. Cần hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thứ nhất cùng song song với mặt phẳng thứ hai.
• Vẽ sai nét khuất. Cạnh bị che phải vẽ nét đứt; vẽ sai dễ dẫn tới chọn nhầm giao điểm của hai đường thẳng không đồng phẳng.
• Quên điều kiện đồng phẳng khi lấy giao điểm. Chỉ được gọi giao điểm của hai đường thẳng khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, ví dụ A′C và AO′ cùng thuộc (ACC′A′) ở Bài 8.

Câu hỏi thường gặp

Hình hộp có phải là hình lăng trụ không?

Có. Hình hộp là hình lăng trụ đặc biệt có đáy là hình bình hành, nên mọi mặt của nó đều là hình bình hành.

Hình lăng trụ n-giác có bao nhiêu cạnh?

Có 3n cạnh gồm 2n cạnh đáy và n cạnh bên; ngoài ra có n + 2 mặt và 2n đỉnh.

Vì sao bốn đường chéo của hình hộp đồng quy?

Mỗi cặp đường chéo là hai đường chéo của một hình bình hành (như ACC′A′, ABC′D′), nên chúng cắt nhau tại trung điểm; cả bốn cùng đi qua trung điểm O của AC′.

Hình lăng trụ và hình hộp học ở bài nào trong Toán 11?

Nội dung này thuộc chương Quan hệ song song trong không gian, học sau bài Hai mặt phẳng song song ở cả ba bộ sách mới.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Tính giới hạn khi x tiến tới dương vô cùng: cách làm và ví dụ
• Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 4, u(n+1) = un + n: tìm số hạng thứ năm
• Nghiệm của phương trình cos x = 1/2 là gì? Cách giải chi tiết
• Giải phương trình tanx = 1: nghiệm x = π/4 + kπ và cách làm
• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và cách áp dụng