Trả lời nhanh
Góc lượng giác (Ou, Ov) có vô số số đo, các số đo hơn kém nhau một bội của 2π (hay 360°): sđ(Ou, Ov) = α + k2π, k ∈ ℤ. Trên đường tròn lượng giác, điểm M biểu diễn góc α có tọa độ (cos α; sin α); tan α = sin α / cos α và cot α = cos α / sin α. Bài viết gồm 20 bài tập góc lượng giác và giá trị lượng giác (15 tự luận, 5 trắc nghiệm) có lời giải, sau đó là phần tóm tắt lý thuyết.
Bài tập tự luận góc lượng giác có lời giải (Bài 1–15)
Dạng 1. Đổi đơn vị, độ dài cung tròn
Bài 1. Trên đường tròn bán kính 5 cm, tính độ dài cung có số đo 2π/3.
Lời giải: l = Rα = 5 · 2π/3 = 10π/3 ≈ 10,47 cm.
Bài 2. Đổi sang radian: a) −125°; b) 42°.
Lời giải: Dùng 1° = π/180 rad. a) −125° = −125π/180 = −25π/36 rad. b) 42° = 42π/180 = 7π/30 rad.
Bài 3. Đổi sang độ: a) 3π/7; b) 2π/9.
Lời giải: Dùng 1 rad = (180/π)°. a) 3π/7 = 540°/7 ≈ 77°8’34”. b) 2π/9 = 40°.
Bài 4. Một bánh xe bán kính 30 cm quay được 5 vòng. Tính góc quay (radian) và quãng đường một điểm trên vành bánh xe đi được.
Lời giải: Mỗi vòng ứng với 2π rad nên góc quay 10π rad. Quãng đường l = Rα = 0,3 · 10π = 3π ≈ 9,42 m.
Bài 5. Kim phút của đồng hồ quay từ 12 giờ đến 12 giờ 20 phút. Tính số đo góc lượng giác mà kim phút và kim giờ đã quay.
Lời giải: Kim quay theo chiều kim đồng hồ (chiều âm). Kim phút quay 20/60 vòng = 1/3 vòng, góc −2π/3 (−120°). Kim giờ quay 1/12 quãng của kim phút: −120° : 12 = −10° = −π/18.
Dạng 2. Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác
Bài 6. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc 135° và −765°.
Lời giải: 135° nằm ở góc phần tư thứ II, điểm M sao cho góc AOM = 135°. Vì −765° = −45° + (−2) · 360° nên −765° được biểu diễn bởi cùng điểm với −45°, nằm ở góc phần tư thứ IV, là điểm chính giữa cung nhỏ AB’.
Bài 7. Cho sđ(Ou, Ov) = π/3 + k2π. Tìm số đo thuộc khoảng (4π; 6π).
Lời giải: 4π < π/3 + k2π < 6π ⇔ 11/6 < k < 17/6 ⇒ k = 2. Số đo cần tìm là π/3 + 4π = 13π/3.
Dạng 3. Tính giá trị lượng giác khi biết một giá trị
Bài 8. Biết sin α = −2/5 và 3π/2 < α < 2π. Tính cos α, tan α, cot α.
Lời giải: α thuộc góc phần tư IV nên cos α > 0. cos2α = 1 − 4/25 = 21/25 ⇒ cos α = √21/5. tan α = (−2/5) : (√21/5) = −2/√21 = −2√21/21; cot α = −√21/2.
Bài 9. Biết tan α = −4/5 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, cot α.
Lời giải: cot α = −5/4. Từ 1 + tan2α = 1/cos2α ⇒ cos2α = 1 : (1 + 16/25) = 25/41. Vì cos α > 0 nên cos α = 5/√41; sin α = tan α · cos α = −4/√41.
Bài 10. Biết cot α = −19/7 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α.
Lời giải: tan α = −7/19. Từ 1 + cot2α = 1/sin2α ⇒ sin2α = 1 : (1 + 361/49) = 49/410. Góc phần tư II nên sin α > 0: sin α = 7/√410; cos α = cot α · sin α = −19/√410.
Bài 11. Biết cos α = −3/5 và π < α < 3π/2. Tính sin α, tan α, cot α.
Lời giải: Góc phần tư III nên sin α < 0: sin α = −√(1 − 9/25) = −4/5. tan α = 4/3, cot α = 3/4.
Dạng 4. Tính giá trị biểu thức, rút gọn, chứng minh
Bài 12. Tính a) cos(17π/3); b) tan(−780°); c) E = sin(5π/6) + cos(2π/3) + tan(π/4) · cot(3π/4).
Lời giải: a) 17π/3 = −π/3 + 3 · 2π ⇒ cos(17π/3) = cos(−π/3) = 1/2. b) −780° = −60° − 2 · 360° ⇒ tan(−780°) = tan(−60°) = −√3. c) E = 1/2 + (−1/2) + 1 · (−1) = −1.
Bài 13. Tính Q = tan 10° · tan 20° · tan 30° · … · tan 80° (8 thừa số).
Lời giải: Hai góc phụ nhau có tan x · tan(90° − x) = tan x · cot x = 1. Ghép cặp (10°, 80°), (20°, 70°), (30°, 60°), (40°, 50°), mỗi cặp bằng 1 nên Q = 1.
Bài 14. Rút gọn A = sin(π − x) + cos(π/2 − x) − sin(π + x).
Lời giải: sin(π − x) = sin x; cos(π/2 − x) = sin x; sin(π + x) = −sin x. Vậy A = sin x + sin x + sin x = 3 sin x.
Bài 15. Cho sin α + cos α = 1/2. Tính sin α · cos α và sin3α + cos3α.
Lời giải: Bình phương hai vế: 1 + 2 sin α cos α = 1/4 ⇒ sin α cos α = −3/8. Khi đó sin3α + cos3α = (sin α + cos α)(1 − sin α cos α) = 1/2 · (1 + 3/8) = 11/16.
Bài tập trắc nghiệm góc lượng giác (Bài 16–20)
Bài 16. Góc có số đo 3π/4 rad đổi sang độ là:
A. 120° B. 135° C. 150° D. 145°
Đáp án B vì 3 · 180° : 4 = 135°.
Bài 17. Cho π/2 < α < π. Khẳng định nào đúng?
A. sin α < 0 B. cos α > 0 C. tan α < 0 D. cot α > 0
Đáp án C. Ở góc phần tư II, sin dương, cos âm nên tan và cot âm.
Bài 18. cos(α + π) bằng:
A. cos α B. −cos α C. sin α D. −sin α
Đáp án B (hai góc hơn kém π).
Bài 19. Trên đường tròn bán kính 20 cm, cung có số đo 1,5 rad dài:
A. 15 cm B. 20 cm C. 30 cm D. 40 cm
Đáp án C vì l = 20 · 1,5 = 30 cm.
Bài 20. Cho sđ(Ou, Ov) = π/3 + k2π. Số nào cũng là một số đo của góc này?
A. −5π/3 B. 2π/3 C. 4π/3 D. −π/3
Đáp án A vì −5π/3 = π/3 − 2π (k = −1).
Lý thuyết góc lượng giác và giá trị lượng giác cần nhớ
1. Góc lượng giác và số đo
- Cho tia Om quay quanh O từ vị trí Ou đến vị trí Ov, ta được góc lượng giác (Ou, Ov). Chiều quay ngược kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
- Đơn vị: độ và radian, với 180° = π rad. Độ dài cung tròn bán kính R có số đo α rad: l = Rα.
- Hệ thức Chasles: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k2π.
2. Đường tròn lượng giác và giá trị lượng giác
Đường tròn lượng giác có tâm O, bán kính 1, điểm gốc A(1; 0). Nếu M là điểm biểu diễn góc α thì cos α là hoành độ, sin α là tung độ của M; tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0), cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0).
| Góc phần tư | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| sin α | + | + | − | − |
| cos α | + | − | − | + |
| tan α, cot α | + | − | + | − |
3. Các hệ thức cơ bản
- sin2α + cos2α = 1; tan α · cot α = 1.
- 1 + tan2α = 1/cos2α; 1 + cot2α = 1/sin2α.
- sin(α + k2π) = sin α, cos(α + k2π) = cos α; tan(α + kπ) = tan α, cot(α + kπ) = cot α.
4. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
- Góc đối nhau (α và −α): cos bằng nhau, sin, tan, cot đối nhau.
- Góc bù nhau (α và π − α): sin bằng nhau, cos, tan, cot đối nhau.
- Góc phụ nhau (α và π/2 − α): sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
- Góc hơn kém π (α và α + π): tan, cot bằng nhau; sin, cos đối nhau.
Câu nhớ nhanh: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan – cot”.
5. Dùng máy tính cầm tay
Trước khi bấm, chuyển máy sang chế độ độ (D) nếu góc tính bằng độ, hoặc radian (R) nếu góc tính bằng radian. Sai chế độ là lỗi phổ biến nhất khiến kết quả lệch hoàn toàn.
Câu hỏi thường gặp
Góc lượng giác khác góc hình học thế nào?
Góc hình học chỉ có số đo từ 0° đến 180°, còn góc lượng giác có chiều quay và nhận vô số số đo, hơn kém nhau bội của 360° (2π).
Đổi độ sang radian như thế nào?
Nhân số đo độ với π/180. Ví dụ 60° = 60π/180 = π/3 rad.
Làm sao xác định dấu của sin, cos khi biết góc?
Xác định góc phần tư chứa điểm biểu diễn: cos là hoành độ, sin là tung độ của điểm đó trên đường tròn lượng giác.
Công thức độ dài cung tròn trong lượng giác là gì?
l = Rα, trong đó R là bán kính và α là số đo cung tính bằng radian.