Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Chương 2 Đại số: Phân thức đại số hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 4.

Lý tuyết Toán 8 Chương 2 Đại số: Phân thức đại số

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa về phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

Trong đó:

+ A được gọi là tử thức (hay gọi là tử).

+ B được gọi là mẫu thức (hay gọi là mẫu).

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau nếu: A.D = B.C

Ta viết: A/B = C/D nếu A.D = B.C .

3. Tính chất cơ bản của phân thức

+ Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

A/B = (A.M)/(B.M) (M là một đa thức khác đa thức 0)

+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

A/B = (A:M)/(B:M) (M là một đa thức khác đa thức 0)

+ Quy tắc đổi dấu.

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì nhận được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

Ta có thể viết như sau: A/B = (-A)/(-B)

4. Quy tắc rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta cần phải:

+ Đặt điều kiện xác định cho mẫu thức.

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

Chú ý:

+ Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

+ Cần chú ý tính chất A = -(-A)

5. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

a) Quy tắc tìm mẫu thức chung

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể theo hướng như sau:

+ Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

+ Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

   Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

   Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với só mũ cao nhất.

b) Quy đồng phân thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

+ Nhân tử và mẫu của mỗi phânthức với nhân tử phụ tương ứng

6. Phép cộng các phân thức đại số

a) Cùng mẫu số

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

Ta có thể viết như sau: A/B + C/B = (A +C)/B

b) Khác mẫu

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ta có thể viết như sau: A/B + C/D = (A.D)/(B.D) + (C.B)/(B.D) = (AD + BC)/BD

7. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là phân thức đối nếu tổng của chúng bằng 0.

Tổng quát: A/B + (-A/B) = 0

+ Phân thức đối của phân thức A/B là -A/B

+ Phân thức đối của phân thức -A/B là A/B.

b) Quy tắc

Muốn trừ phân thức A/B cho phân thức C/D, ta cộng phân thức A/B cho phân thức đối của phân thức C/D.

Ta có thể viết như sau: A/B - C/D = A/B + (-C/D)

Kết quả của phép trừ A/B cho C/D được gọi là hiệu của A/B và C/D.

8. Phép nhân các phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức với nhân, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Ta có thể viết như sau: A/B .CD = (A.C)/(B.D)

9. Phép chia các phân thức đại số

a) Phân thức nghịch đảo

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Tổng quát: A/B là một phân thức khác 0, ta có A/B . B/A =1

Do đó ta có:

   B/A được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức A/B.

   A/B được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức B/A.

b) Phép chia

Quy tắc: Muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D khác 0, ta nhân phân thức A/B với phân thức nghịch đảo của C/D

Ta có thể viết: A/B : C/D = A/B . D/C với C/D≠0

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Điều kiện xác định của phân thức là ?

   A. x = ± 4/3.   B. x ≠ ± 4/3.

   C. - 4/3 < x < 4/3.   D. x > 4/3.

Ta có điều kiện xác định của phân thức là 9x² - 16 ≠ 0

⇔ 9x² ≠ 16 ⇔ x² ≠ 16/9 ⇔ x ≠ ± 43.

Chọn đáp án B.

Bài 2: Giá trị của x để phân thức bằng 0 ?

   A. x = ± 4.   B. x ≠ 1.

   C. x = 0.   D. x = - 1.

Để phân thức

bằng 0 ⇒

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cặp phân thức nào không bằng nhau ?

+ Ta có  ⇒ 16xy.3 = 24x.2y ⇔ (16xy)/(24x) = (2y)/3.

+ Ta có ⇒ 3.16xy = 2y.24x ⇔ 3/(24x) = (2y)/(16xy).

+ Ta có ⇒ - 16xy.3 = - 2y.24x ⇔ (- 16xy)/(24x) = (- 2y)/3.

+ Ta có ⇒ - x²y.3ykhông bằng xy.3xy.

⇒ (- x²y)/(3xy) không bằng (xy)/(3y).

Chọn đáp án D.

Bài 4: Tìm biểu thức A sao cho :

   A. - 2x²y.   B. x²y⁴.

   C. - 2xy⁴.   D. - x³y.

Ta có: ⇔ x²y³.( - 2xy² ) = x²y.A

Chọn đáp án C.

Bài 5: Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số ?

   A. 1/(x² + 1)   B. (x + 1)/2

   C. x² - 5   D. (x + 1)/0

Nhớ lại định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

+ 1/(x² + 1) có A = 1;B = x² + 1 ≠ 0 ⇒ 1/(x² + 1) là phân thức đại số.

+ (x + 1)/2 có A = x + 1;B = 2 ≠ 0 ⇒ (x + 1)/2 là phân thức đại số.

+ x² - 5 có A = x² - 5;B = 1 ⇒ x² - 5 là phân thức đại số.

+ (x + 1)/0 có A = x + 1;B = 0 ⇒ (x + 1)/0 không phải là phân thức đại số .

Chọn đáp án D.

Bài 6: Cho phân thức 2/(x - 1), nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x + 1 ) ta được phân thức mới là ?

   

Nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x + 1 ) ta được phân thức mới là

Ta có (áp dụng hằng đẳng thức A² - B² = ( A - B )( A + B ) )

Chọn đáp án C.

Bài 7: Với giá trị nào của x thì hai phân thức (x - 2)/(x² - 5x + 6) và 1/(x - 3) bằng nhau ?

   A. x = 2   B. x = 3

   C. x ≠ 2,x ≠ 3.   D. x = 0.

+ Giá trị của phân thức (x - 2)/(x² - 5x + 6) được xác định khi và chỉ khi x² - 5x + 6 ≠ 0

⇔ ( x - 3 )( x - 2 ) ≠ 0 hay x ≠ 2,x ≠ 3.

+ Giá trị của phân thức 1/(x - 3) được xác định khi và chỉ khi x - 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

Với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có:

Vậy với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 8: Phân thức 2/(x + 3) bằng với phân thưc nào dưới đây ?

   

Ta có:

+

⇒ Đáp án A sai.

+

⇒ Đáp án B sai.

+

⇒ Đáp án C đúng.

+

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 9: Điền vào chỗ trống đa thức sao cho

   A. x² - 4x.   B. x² + 4x.

   C. x² + 4.   D. x² - 4.

Gọi A là đa thức cần tìm thỏa mãn A( x - 4 ) = x( x² - 16 )

Ta có: A( x - 4 ) = x( x - 4 )( x + 4 ) ⇒ A = x( x + 4 ) = x² + 4x

Chọn đáp án B.

Bài 10: Kết quả của rút gọn biểu thức (6x²y²)/(8xy⁵) là ?

   A. 6/8   B. (3x)/(4y³)

   C. 2xy²   D. (x²y²)/(xy⁵)

Điều kiện xác định là x ≠ 0;y ≠ 0.

Ta có (6x²y²)/(8xy⁵) = (2.3.xy².x)/(2.4.xy².y³) = (3x)/(4y³).

Chọn đáp án B.

Bài 11: Kết quả của rút gọn biểu thức (x² - 16)/(4x - x²)( x ≠ 0,x ≠ 4 ) là ?

   A. (x - 4)/x.   B. (x + 4)/(x - 4).

   C. (x + 4)/( - x)   D. (4 - x)/( - x).

Điều kiện xác định là x ≠ 0;x ≠ 4

Ta có 

Chọn đáp án C.

Bài 12: Rút gọn biểu thức là

Điều kiện xác định x,y ≠ 0;x² + 3x + 2 ≠ 0

Ta có 

Chọn đáp án B.

Bài 13: Rút gọn phân thức được kết quả là ?

   A. ( - x - 2)/(x + 8)   B. (x + 2)/(x - 8)

   C. (x + 2)/(x + 8)   D. ( - x - 2)/(x - 8)

Điều kiện xác định: 9 - ( x + 5 )² ≠ 0.

Ta có: 

Chọn đáp án A.

Bài 14: Cho kết quả sai trong các phương án sau đây ?

Ta có:

+

⇒ Đáp án A đúng.

+

⇒ Đáp án B đúng.

+

⇒ Đáp án C đúng.

+

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

Bài 15: Hai phân thức 1/(4x²y) và 5/(6xy³z) có mẫu thức chung đơn giản nhất là ?

   A. 8x²y³z   B. 12x³y³z

   C. 24x²y³z   D. 12x²y³z

Ta có ⇒ Mẫu thức chung đơn giản nhất là: 12x²y³z

Chọn đáp án D.

Bài 16: Hai phân thức 5/(2x + 6) và 3/(x² - 9) có mẫu thức chung đơn giản nhất là ?

   A. x² - 9.   B. 2( x² - 9 ).

   C. x² + 9.   D. x - 3

Ta có: 

⇒ MTC = 2( x - 3 )( x + 3 ) = 2( x² - 9 )

Chọn đáp án B.

Bài 17: Hai phân thức (x + 1)/(x² + 2x - 3) và (-2x)/(x² + 7x + 10) có mẫu thức chung là ?

   A. x³ + 6x² + 5x - 12

   B. x³ - 6x² + 3x - 10

   C. x³ + 6x² - 3x - 10

   D. x³ + 6x² + 3x + 10

Chọn đáp án A.

Bài 18: Kết quả của phép cộng là ?

   

Ta có: ⇒ MTC = - 2( x - 1 )( x + 1 ).

Khi đó ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 19: Kết quả của phép cộng là ?

   A. 4/(xy²)   B. (4x)/(y³)

   C. 2/(x²y²)   D. (2y)/(x²)

Ta có

Chọn đáp án A.

Bài 20: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. 3.   B. - 3.

   C. 3/(x - 5)   D. ( - 3)/(x - 5).

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 21: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. 3 - x.   B. x - 3

   C. x + 3.   D. - x - 3.

Ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 22: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. (2x + y)/(xy)   B. (2x - y)/(xy)

   C. ( - 2x - y)/(xy)   D. (y - 2x)/(xy)

Ta có: ⇒ MTC = - xy( 2x - y ).

Khi đó ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 23: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. 1/(xy)   B. ( - 1)/(xy)

   C. (x - 1)/(xy)   D. (1 - x)/(xy)

Ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 24: Rút gọn biểu thức được kết quả ?

   A. 1/2   B. - 1/2.

   C. 1/(10x - 4)   D. - 1/(10x - 4).

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 25: Thực hiện phép trừ phân thức được kết quả là ?

   A. - 1/x.   B. 1/(x + 3).

   C. 1/x   D. - 1/(x + 3)

Ta có:  ⇒ MTC = 2x( x + 3 )

Khi đó ta có: 

Chọn đáp án C.

Bài 26: Thực hiện phép tính được kết quả là?

   A. 3/(x² - 1)   B. 3/(1 - x²)

   C. 3   D. - 3

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 27: Rút gọn biểu thức được kết quả là?

   

+ ⇒ MTC = - x( 5x + 1 )( 5x - 1 ).

Khi đó ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 28: Kết quả của phép tính là ?

   A. - (3y)/(22x²)   B. (3y)/(22x²)

   C. y/(11x²)   D. - y/(11x²)

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 29: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   

Ta có: 

Chọn đáp án C.

Bài 30: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. 5/2   B. 3/2

   C. - 3/2   D. - 5/2

Ta có:

Chọn đáp án D.

Bài 31: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   

Ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 32: Rút gọn biểu thức được kết quả là ?

   A. (2x³ - 1)/x   B. (1 - 2x³)/x

   C. 1/x   D. - 1/x

Ta có: 

Chọn đáp án A.

Bài 33: Kết quả của phép chia là ?

   A. 5/(3x²y)   B. - 5/(x²y)

   C. 25/(3x²y)   D. - 25/(3x²y)

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 34: Kết quả của phép tính là ?

   

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 35: Kết quả của phép tính là ?

   

Ta có: 

Chọn đáp án A.

Bài 36: Kết quả của phép tính được kết quả là ?

   

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 37: Biểu thức Q nào thỏa mãn là?

   A. (2 - x)/(x²)   B. (x - 2)/(x²)

   C. (x + 2)/(x²)   D. - (x + 2)/(x²)

Ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 38: Biến đổi biểu thức thành phân thức đại số là ?

   A. ( x - 1 )²   B. - ( x - 1 )²

   C. ( x + 1 )²   D. - ( x + 1 )²

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 39: Với giá trị nào của x thì phân thức (5x)/(2x + 4) xác định ?

   A. x = 2.   B. x ≠ -2.

   C. x > 2.   D. x ≤ 2.

Giá trị của phân thức (5x)/(2x + 4) xác định khi và chỉ khi 2x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 2.

Chọn đáp án B.

Bài 40: Giá trị của biểu thức tại x = 1 là ?

   A. A = 1.   B. A = - 2.

   C. A = - 1.   D. Đáp án khác.

Tại x = 1 thì biểu thức đã cho không xác định

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

Hướng dẫn:

a) Phân thức xác định ⇔ x² - 4x + 4 ≠ 0

⇔ ( x - 2 )² ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 (vì ( x - 2 )² ≥ 0 )

Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 2.

b) Phân thức xác định ⇔ x² - 1 ≠ 0

⇔ ( x - 1 )( x + 1 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1.

Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ ± 1.

c) Phân thức xác định ⇔ ( x + 1 )( x - 3 ) ≠ 0

Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ - 1 và x ≠ 3

Bài 2: Chứng minh các phân thức sau bằng nhau

Hướng dẫn:

a) Ta có

Vì  ⇒ 3x²y.( (- 1/3)xy² ) = - xy³.x²

⇒

b) Ta có

Vì

⇒ 2( x + 1 )y.x( x + 1 )²y = - xy². - 2( x + 1 )³

⇒

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

  

Hướng dẫn:

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Bài 4: Quy đồng mẫu của các phân thức sau:

Hướng dẫn:

a) Coi x² + 1 = (x² + 1)/1

⇒ Mẫu thức chung là x² - 1.

Khi đó ta có:

b) Ta có

+ x³ - 3x²y + 3xy² - y³ = ( x - y )³

+ y² - xy = y( y - x ) = - y( x - y )

⇒ Mẫu thức chung là -y( x - y )³.

Khi đó ta có:

+

+

Bài 5: Thực hiện phép cộng các phân thức sau:

Hướng dẫn:

a) Ta có:

+ ⇒ MTC = 2x( x + 3 )

Khi đó ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

+ ⇒ MTC = - ( x - 1 )( x² + x + 1 )

Khi đó ta có:

Bài 6: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức với x= 14 và y= -15

Hướng dẫn:

Ta có:

Với x= 14 và y= -15 , ta có: 

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Rút gọn phân thức sau:

 

Hướng dẫn:

a) Ta có:

b) Ta có: 

Bài 2: Xác định giá trị a, b, c để

Hướng dẫn:

Ta có:

Dùng phương pháp hệ số bất định, khi đó ta có hệ:

Bài 3:

a) Rút gọn biểu thức

b) Xác định giá trị a, b để

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Vậy

b) Ta có: 

Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có: 

Vậy giá trị a, b cần tìm là a= 1/4, b= -1/4

Bài 4:

a) Xác định giá trị a, b để

b) Áp dụng để rút gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có:

Vậy giá trị a, b cần tìm là a= 1, b= -1

b) Áp dụng kết quả của phần a, ta có:

Bài 5: Xác định giá trị của a, b, c để

Hướng dẫn:

Ta có:

Áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có:

Vậy giá trị a, b, c cần tìm là a= 1, b= -1, c= 0.

Bài 6: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Rút gọn biểu thức.

c) Tính giá trị của biểu thức tại

Hướng dẫn:

a) Giá trị của biểu thức xác định khi mỗi giá trị của phân thức trong biểu thức đều được xác định.

Khi đó điều kiện xác định: x² - 10x ≠ 0,x² + 10x ≠ 0,x² + 4 ≠ 0

+ x² - 10x ≠ 0 ⇔ x( x - 10 ) ≠ 0 khi x ≠ 0 và x - 10 ≠ 0 hay x ≠ 0,x ≠ 10.

+ x² + 10x ≠ 0 ⇔ x( x + 10 ) ≠ 0 khi x ≠ 0 và x + 10 ≠ 0 hay x ≠ 0,x ≠ - 10.

+ x² + 4 > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 0,x ≠ ± 10.

b) Ta có: 

Vậy 

c) Với x = 20040, ta có: A = 10/20040 = 1/2004.

Vậy A = 1/2004 khi x = 20040.

Bài 7: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện giác trị của x để giá trị của biểu thức xác định.

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào biến x

Hướng dẫn:

a) Giá trị của biểu thức xác định khi mỗi giá trị của phân thức trong biểu thức đều được xác định.

Khi đó điều kiện xác định là: 2x - 2 ≠ 0;x² - 1 ≠ 0;2x + 2 ≠ 0 hay x ≠ ± 1

Vậy với x ≠ ± 1 thì giá trị của biểu thức xác định.

b) Ta có: 

⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x

Bài 8: Tìm giá trị của x để

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: x² - 5x ≠ 0 ⇔ x( x - 5 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0,x ≠ 5.

Ta có: (x³ - 10x² + 25x)/(x² - 5x) = 0 ⇔ x³ - 10x² + 25x = 0

⇔ x( x² - 10x + 25 ) = 0 ⇔ x( x - 5 )² = 0

So sánh điều kiện, không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy không có giá trị x nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 9: Cho a³ + b³ + c³ = 3abc và a + b + c ≠ 0.Tính giá trị của biểu thức

Hướng dẫn:

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc ⇔ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

⇔ ( a + b )³ + c³ - 3ab( a + b ) - 3abc = 0

⇔ ( a + b )³ + c³ - 3ab( a + b + c ) = 0

⇔ ( a + b + c )³ - 3( a + b )c( a + b + c ) - 3ab( a + b + c ) = 0

⇔ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) = 0

⇒ a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0 (vì a + b + c ≠ 0. )

⇔ a² + b² + c² = ab + bc + ca.

Khi đó ta có:

Vậy A= 1/3

Bài 10: Rút gọn biểu thức

Hướng dẫn:

Xét biểu thức tổng quát:

Khi đó ta có: 

Vậy